Tale PCM · Chapitre 01 · Analyse

Intégration

Aire sous la courbe, méthode des rectangles, propriétés, valeur moyenne, calcul par primitives.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Aire sous la courbe
Méthode des rectangles
Propriétés
Valeur moyenne
Calcul par primitives

Le cours

Reprenons le problème qui avait ouvert le chapitre Primitives, en toute fin de première. Un enregistreur embarqué relève la vitesse d'un véhicule à chaque instant : comment en déduire la distance parcourue ? Si la vitesse était constante, la réponse tiendrait en une multiplication : distance égale vitesse fois durée. Mais une vitesse réelle varie sans cesse, et cette multiplication n'a plus de sens. Voici pourtant une idée : traçons la courbe de la vitesse en fonction du temps. Pour une vitesse constante de $20$ m/s pendant $10$ s, la distance vaut $20 \times 10 = 200$ m, et ce produit est exactement l'aire du rectangle situé sous la courbe (horizontale) de la vitesse. Et si la vitesse varie ? L'intuition suggère que la distance reste l'aire du domaine situé sous la courbe, aussi tordue soit-elle. La même situation se répète partout en sciences : l'aire sous la courbe d'un courant $i (t)$ donne la quantité d'électricité qui a traversé le dipôle, l'aire sous la courbe d'une vitesse de réaction donne la quantité de matière transformée. Ce chapitre donne un nom à cette aire : c'est l'intégrale de la fonction.

Nous allons construire cette notion pas à pas. D'abord la définir proprement pour une fonction positive, avec son unité naturelle, l'unité d'aire, et la calculer dans les cas où la géométrie suffit : rectangles, triangles, trapèzes. Ensuite, pour les courbes qui échappent à la géométrie élémentaire, nous encadrerons l'aire par la méthode des rectangles, que nous programmerons en Python. Nous étendrons alors la définition aux fonctions de signe quelconque, puis nous établirons les propriétés de calcul de l'intégrale. Viendra enfin le résultat central du chapitre, celui qui relie tout : l'intégrale se calcule avec une primitive, exactement celles que vous avez apprises en fin de première pour les polynômes et les signaux sinusoïdaux. Ce savoir-faire va devenir notre principal outil, et il nous ouvrira deux applications essentielles : la valeur moyenne d'un signal, et le calcul des distances en cinématique.

L'intégrale d'une fonction continue positive

Avant de mesurer des aires, il faut fixer l'unité de mesure. Dans un repère orthogonal, les graduations des deux axes définissent un rectangle de référence : celui construit sur une unité de l'axe des abscisses et une unité de l'axe des ordonnées. Son aire sert d'étalon : c'est l'unité d'aire, notée u.a. Toutes les aires du chapitre seront exprimées dans cette unité ; pour revenir à des centimètres carrés, il suffit de convertir à la fin (par exemple, si une unité d'abscisse mesure $2$ cm et une unité d'ordonnée $1$ cm sur la feuille, alors $1$ u.a. $= 2 cm^{2}$ ).

Un mot sur les fonctions concernées. Nous travaillerons avec des fonctions continues, c'est-à-dire, de façon intuitive, dont la courbe se trace sans lever le crayon : pas de saut, pas de trou. Toutes les fonctions usuelles du programme (polynômes, sinus, cosinus, et leurs combinaisons sur un intervalle où elles sont définies) sont continues, et cette simple régularité garantit que le domaine sous la courbe a bien une aire.

Définition

Intégrale d'une fonction continue positive. Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a; b]$ , de courbe $C_{f}$ dans un repère orthogonal. L'intégrale de $a$ à $b$ de $f$ est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe $C_{f}$ , l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations $t = a$ et $t = b$ . On la note :

\int_{a}^{b} f (t) d t

Courbe d'une fonction continue positive dans un repère orthogonal, domaine sous la courbe hachuré entre les droites verticales t = 1 et t = 5, avec un carré unité mis en évidence près de l'origine et étiqueté 1 u.a.

La figure illustre la définition : le domaine hachuré, compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les verticales $t = 1$ et $t = 5$ , a pour aire $\int_{1}^{5} f (t) d t$ , mesurée en prenant le petit rectangle « $1$ u.a. » comme étalon. Détaillons la notation, qui deviendra vite familière. Les réels $a$ et $b$ sont les bornes de l'intégrale ( $a$ la borne inférieure, $b$ la borne supérieure). Le symbole $\int$ est un S étiré, initiale de « somme » : nous verrons avec la méthode des rectangles que l'aire s'obtient bien en sommant de petits morceaux. Le symbole $d t$ ferme la notation et précise le nom de la variable. Ce nom, justement, n'a aucune importance : $\int_{a}^{b} f (t) d t$ et $\int_{a}^{b} f (x) d x$ désignent exactement le même nombre, la même aire. On dit que la variable d'intégration est muette. Nous utiliserons le plus souvent $t$ , la variable naturelle des signaux et des mouvements.

Dans certains cas, aucune théorie n'est nécessaire : le domaine sous la courbe est une figure de géométrie élémentaire, et son aire se calcule avec les formules du collège.

Exemple

Deux intégrales calculées par la géométrie.

Une fonction constante. Calculons $\int_{1}^{4} 3 d t$ , l'intégrale de la fonction constante $f (t) = 3$ entre $1$ et $4$ . Le domaine est un rectangle de largeur $4 - 1 = 3$ et de hauteur $3$ , donc :

\int_{1}^{4} 3 d t = 3 \times 3 = 9 u.a.

Une fonction affine. Calculons $\int_{0}^{4} (0, 5 t + 1) d t$ . La fonction $g (t) = 0, 5 t + 1$ est affine et positive sur $[0; 4]$ : le domaine est un trapèze de hauteur $4$ (la largeur de l'intervalle), dont les côtés parallèles ont pour longueurs $g (0) = 1$ et $g (4) = 3$ . La formule de l'aire du trapèze donne :

\int_{0}^{4} (0, 5 t + 1) d t = \frac{( 1 + 3 ) \times 4}{2} = 8 u.a.

Si la fonction affine s'annule à l'une des bornes, le trapèze dégénère en triangle et le calcul est encore plus simple. Retenez le réflexe : devant une fonction constante ou affine, un croquis et une formule de géométrie suffisent.

La méthode des rectangles

La géométrie élémentaire s'arrête vite. Prenons la fonction $f (t) = t^{2}$ sur l'intervalle $[0; 2]$ : le domaine sous cette parabole n'est ni un rectangle, ni un triangle, ni un trapèze, et aucune formule du collège ne donne son aire. L'idée qui débloque la situation est vieille comme la géométrie : à défaut de calculer l'aire exactement, encadrons-la entre deux valeurs, à l'aide de figures dont l'aire est connue, les rectangles. Découpons l'intervalle en bandes verticales de même largeur ; dans chaque bande, remplaçons la courbe par un palier horizontal, une fois trop bas, une fois trop haut. La somme des rectangles trop bas sous-estime l'aire, la somme des rectangles trop haut la surestime : l'aire cherchée est prise en étau.

Méthode

Encadrer une intégrale par la méthode des rectangles. Soit $f$ une fonction continue, positive et croissante sur $[a; b]$ , et $n$ un entier non nul.

Découper $[a; b]$ en $n$ intervalles de même largeur $h = \frac{b - a}{n}$ , le pas, de bornes $t_{0} = a$ , $t_{1} = a + h$ , …, $t_{n} = b$ .
Sur chaque intervalle $[t_{k}; t_{k + 1}]$ , construire le rectangle de hauteur $f (t_{k})$ (valeur au bord gauche) : comme $f$ est croissante, il reste sous la courbe.
Construire de même les rectangles de hauteur $f (t_{k + 1})$ (bord droit) : ils dépassent la courbe.
Sommer les aires de chaque famille pour obtenir l'encadrement :

h (f (t_{0}) + \dots + f (t_{n - 1})) \leq \int_{a}^{b} f (t) d t \leq h (f (t_{1}) + \dots + f (t_{n}))

Si $f$ est décroissante, les rôles s'échangent : les rectangles à gauche dépassent, ceux à droite sont en dessous.

Exemple

Encadrement de $\int_{0}^{2} t^{2} d t$ avec $n = 4$ rectangles. Le pas vaut $h = \frac{2 - 0}{4} = 0, 5$ , et les bornes de découpage sont $0$ , $0, 5$ , $1$ , $1, 5$ et $2$ . Dressons le tableau des valeurs de $f (t) = t^{2}$ :

$t_{k}$	$0$	$0, 5$	$1$	$1, 5$	$2$
$f (t_{k})$	$0$	$0, 25$	$1$	$2, 25$	$4$

La fonction carré est croissante sur $[0; 2]$ : les rectangles à gauche sont sous la courbe. Leur somme vaut :

0, 5 \times (0 + 0, 25 + 1 + 2, 25) = 0, 5 \times 3, 5 = 1, 75

Les rectangles à droite dépassent la courbe, et leur somme vaut :

0, 5 \times (0, 25 + 1 + 2, 25 + 4) = 0, 5 \times 7, 5 = 3, 75

Nous obtenons donc l'encadrement :

1, 75 \leq \int_{0}^{2} t^{2} d t \leq 3, 75

Parabole de la fonction carré sur l'intervalle de 0 à 2, avec les quatre rectangles à gauche colorés sous la courbe et les quatre rectangles à droite en surimpression dépassant la courbe, pas de 0,5

La figure montre les deux familles de rectangles : on y voit à l'œil nu que la somme de gauche oublie de l'aire et que la somme de droite en compte trop. L'encadrement obtenu est encore grossier, deux unités d'écart, mais il porte en lui sa propre amélioration : plus les rectangles sont fins, mieux les paliers épousent la courbe. Rien ne nous empêche de prendre $n = 100$ , $n = 1000$ rectangles, sauf la longueur du calcul, et c'est exactement le travail d'une machine. La fonction Python suivante calcule les deux sommes pour n'importe quelle fonction et n'importe quel découpage.

def rectangles(f, a, b, n):
    """Retourne les sommes des rectangles a gauche et a droite."""
    h = (b - a) / n
    somme_gauche = 0
    somme_droite = 0
    for k in range(n):
        somme_gauche = somme_gauche + h * f(a + k * h)
        somme_droite = somme_droite + h * f(a + (k + 1) * h)
    return somme_gauche, somme_droite

f = lambda t: t**2
print(rectangles(f, 0, 2, 4))     # (1.75, 3.75)
print(rectangles(f, 0, 2, 1000))  # (2.662668, 2.670668)

L'appel avec $n = 4$ retrouve nos calculs à la main. Avec $n = 1000$ , l'étau se resserre de façon spectaculaire : l'intégrale est comprise entre $2, 6626$ et $2, 6707$ , un encadrement d'amplitude huit millièmes. Les deux sommes semblent converger vers une valeur proche de $2, 67$ ; retenez ce nombre, car la fin du chapitre révélera sa valeur exacte, et elle est remarquablement simple.

Fonctions de signe quelconque : aire algébrique

Jusqu'ici, nos fonctions étaient positives, et leurs courbes restaient au-dessus de l'axe des abscisses. Mais un courant alternatif change de signe cent fois par seconde, une vitesse devient négative quand le mobile recule : les fonctions des sciences ne restent pas confinées au demi-plan supérieur. Comment étendre l'intégrale ? La convention adoptée est la plus naturelle qui soit : les portions de domaine situées sous l'axe des abscisses comptent négativement.

Définition

Intégrale d'une fonction de signe quelconque. Soit $f$ une fonction continue sur $[a; b]$ . L'intégrale $\int_{a}^{b} f (t) d t$ est l'aire algébrique du domaine compris entre la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les droites $t = a$ et $t = b$ : les parties situées au-dessus de l'axe sont comptées positivement, les parties situées en dessous sont comptées négativement.

Courbe d'une fonction changeant de signe sur l'intervalle d'intégration, avec les zones au-dessus de l'axe des abscisses hachurées et marquées d'un signe plus, et les zones sous l'axe hachurées différemment et marquées d'un signe moins

Exemple

Une aire algébrique calculée par la géométrie. Calculons $\int_{0}^{3} (t - 2) d t$ . La fonction affine $f (t) = t - 2$ est négative sur $[0; 2]$ et positive sur $[2; 3]$ . Le domaine se compose de deux triangles : sous l'axe, un triangle de base $2$ et de hauteur $2$ , d'aire $\frac{2 \times 2}{2} = 2$ , compté négativement ; au-dessus de l'axe, un triangle de base $1$ et de hauteur $1$ , d'aire $\frac{1 \times 1}{2} = 0, 5$ , compté positivement. Au total :

\int_{0}^{3} (t - 2) d t = 0, 5 - 2 = - 1, 5

Une intégrale peut donc être négative : c'est le signe que la courbe passe, en bilan, plus de « surface » sous l'axe qu'au-dessus.

Une mise en garde s'impose, car la confusion est fréquente : aire et intégrale ne sont plus synonymes dès que la fonction change de signe. L'intégrale est un bilan, où les zones se compensent ; l'aire géométrique totale du domaine, elle, additionne toutes les zones sans signe. Dans l'exemple ci-dessus, l'intégrale vaut $- 1, 5$ , mais l'aire totale hachurée vaut $2 + 0, 5 = 2, 5$ u.a. Une intégrale peut même être nulle alors que le domaine est très étendu : il suffit que les zones positives et négatives s'équilibrent exactement, ce qui est précisément le cas d'un signal alternatif sur une période entière, comme nous le verrons avec la valeur moyenne.

Propriétés de l'intégrale

L'intégrale étant une aire (algébrique), ses propriétés de calcul se lisent sur les figures. Commençons par les deux règles de linéarité, qui permettent de découper un calcul en morceaux.

Propriété

Linéarité de l'intégrale. Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur $[a; b]$ et $k$ un réel. Alors :

\int_{a}^{b} (u (t) + v (t)) d t = \int_{a}^{b} u (t) d t + \int_{a}^{b} v (t) d t

\int_{a}^{b} k u (t) d t = k \int_{a}^{b} u (t) d t

En pratique : on intègre une somme terme à terme, et les coefficients multiplicatifs sortent de l'intégrale. C'est la même souplesse que pour le calcul des primitives en première.

La seconde règle se comprend bien graphiquement : multiplier une fonction par $k$ étire sa courbe verticalement d'un facteur $k$ , et toutes les aires sont étirées dans la même proportion. La propriété suivante, elle, exprime qu'une aire se découpe en tranches : le domaine entre $a$ et $c$ est la juxtaposition du domaine entre $a$ et $b$ et du domaine entre $b$ et $c$ .

Propriété

Relation de Chasles. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle contenant $a$ , $b$ et $c$ . Alors :

\int_{a}^{c} f (t) d t = \int_{a}^{b} f (t) d t + \int_{b}^{c} f (t) d t

Cette relation est précieuse pour les fonctions définies par morceaux (un signal en créneaux, une vitesse avec plusieurs phases), et c'est aussi elle qui permet de calculer l'aire géométrique totale d'un domaine quand la fonction change de signe : on découpe aux points d'annulation, et on compte chaque morceau avec le bon signe. Signalons au passage deux conventions naturelles : $\int_{a}^{a} f (t) d t = 0$ (un domaine de largeur nulle n'a pas d'aire), et lorsque les bornes sont échangées, l'intégrale change de signe :

\int_{b}^{a} f (t) d t = - \int_{a}^{b} f (t) d t

Avec cette convention, la relation de Chasles reste vraie quel que soit l'ordre des réels $a$ , $b$ et $c$ . Terminons par deux propriétés de comparaison, évidentes sur un dessin mais très utiles pour contrôler un résultat.

Propriété

Positivité et ordre. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a; b]$ , avec $a \leq b$ .

Positivité : si $f (t) \geq 0$ pour tout $t$ de $[a; b]$ , alors $\int_{a}^{b} f (t) d t \geq 0$ .
Conservation de l'ordre : si $f (t) \leq g (t)$ pour tout $t$ de $[a; b]$ , alors $\int_{a}^{b} f (t) d t \leq \int_{a}^{b} g (t) d t$ .

La positivité ne dit rien d'autre que ceci : l'aire d'un domaine entièrement au-dessus de l'axe est positive. La conservation de l'ordre s'en déduit : si la courbe de $g$ domine celle de $f$ , le domaine sous $g$ contient au moins autant d'aire algébrique que celui sous $f$ . C'est exactement le raisonnement de la méthode des rectangles : la fonction en escalier des rectangles à gauche est en dessous de $f$ , celle des rectangles à droite au-dessus, et l'encadrement des intégrales en découle.

Le calcul par primitives

Tout est en place pour le théorème central du chapitre, celui qui transforme un problème d'aire en un simple calcul. Le lien avec les primitives de première n'est pas un hasard : reprenons l'exemple de la vitesse. La distance parcourue depuis l'instant $a$ est l'aire sous la courbe de la vitesse, donc une intégrale ; mais la position $x$ est aussi, nous le savons depuis la première, une primitive de la vitesse, et la distance parcourue entre $a$ et $b$ s'écrit $x (b) - x (a)$ . L'aire et la variation de la primitive mesurent la même chose. Ce fait, vrai en toute généralité, est le résultat suivant, que nous admettons.

Propriété

Calcul d'une intégrale par une primitive (admis). Soit $f$ une fonction continue sur $[a; b]$ et $F$ une primitive quelconque de $f$ sur $[a; b]$ . Alors :

\int_{a}^{b} f (t) d t = F (b) - F (a)

La différence $F (b) - F (a)$ se note $[F (t)]_{a}^{b}$ , ce qui donne la présentation usuelle du calcul :

\int_{a}^{b} f (t) d t = [F (t)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

Un détail du théorème mérite une seconde de réflexion : il dit une primitive quelconque. N'importe laquelle ? Oui, et voici pourquoi le choix n'a aucune importance. Deux primitives de $f$ diffèrent d'une constante : si $G = F + C$ , alors

G (b) - G (a) = (F (b) + C) - (F (a) + C) = F (b) - F (a)

La constante disparaît dans la différence. On choisira donc toujours la primitive la plus simple, celle dont la constante est nulle.

Méthode

Calculer une intégrale à l'aide d'une primitive. Pour calculer $\int_{a}^{b} f (t) d t$ :

déterminer une primitive $F$ de $f$ , avec les tableaux de première (polynômes, signaux sinusoïdaux) — en choisissant $C = 0$ ;
écrire le crochet $[F (t)]_{a}^{b}$ ;
calculer $F (b)$ , puis $F (a)$ , puis la différence $F (b) - F (a)$ , en surveillant les signes ;
contrôler la cohérence du résultat : signe attendu (la fonction est-elle positive ?), ordre de grandeur, encadrement graphique éventuel.

Exemple

Le retour de la parabole. Calculons enfin la valeur exacte de $\int_{0}^{2} t^{2} d t$ , que la méthode des rectangles avait coincée entre $1, 75$ et $3, 75$ , puis entre $2, 6626$ et $2, 6707$ . Une primitive de $f (t) = t^{2}$ est $F (t) = \frac{t ^{3}}{3}$ , donc :

\int_{0}^{2} t^{2} d t = [\frac{t ^{3}}{3}]_{0}^{2} = \frac{2 ^{3}}{3} - \frac{0 ^{3}}{3} = \frac{8}{3} \approx 2, 67

La valeur exacte est $\frac{8}{3}$ , parfaitement compatible avec nos encadrements : les rectangles convergeaient bien vers elle. Là où l'ordinateur alignait mille rectangles, une ligne de calcul suffit.

Exemple

Un polynôme complet. Calculons $\int_{1}^{3} (6 t^{2} - 4 t + 3) d t$ . Vous reconnaissez peut-être la fonction du chapitre Primitives : nous y avions établi qu'une primitive est $F (t) = 2 t^{3} - 2 t^{2} + 3 t$ . Le calcul s'enchaîne :

\int_{1}^{3} (6 t^{2} - 4 t + 3) d t = [2 t^{3} - 2 t^{2} + 3 t]_{1}^{3} = (2 \times 27 - 2 \times 9 + 9) - (2 - 2 + 3) = 45 - 3 = 42

La fonction est positive sur $[1; 3]$ (chaque terme s'y contrôle sans peine), et le résultat est bien positif : le contrôle de cohérence est satisfait.

Exemple

Un signal sinusoïdal. Calculons $\int_{0}^{π /2} cos (t) d t$ . D'après le tableau de première, une primitive de $cos$ est $sin$ , donc :

\int_{0}^{π /2} cos (t) d t = [sin (t)]_{0}^{π /2} = sin (\frac{π}{2}) - sin (0) = 1 - 0 = 1

L'aire sous une demi-arche de cosinus vaut donc exactement $1$ u.a. : un résultat d'une propreté inattendue pour un domaine aux bords si courbes.

La valeur moyenne

Que vaut « en moyenne » une grandeur qui varie sans arrêt ? La question est quotidienne en sciences : tension moyenne d'un signal, concentration moyenne pendant une réaction, vitesse moyenne d'un trajet. Pour une série de valeurs isolées, on additionne et on divise par l'effectif. Pour une fonction, qui prend une infinité de valeurs, l'addition devient une intégrale et l'effectif devient la largeur de l'intervalle : c'est la définition suivante.

Définition

Valeur moyenne d'une fonction. Soit $f$ une fonction continue sur $[a; b]$ , avec $a < b$ . La valeur moyenne de $f$ sur $[a; b]$ est le réel :

m = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (t) d t

L'interprétation graphique éclaire la formule. Réécrivons-la sous la forme $m \times (b - a) = \int_{a}^{b} f (t) d t$ : le rectangle de base $[a; b]$ et de hauteur $m$ a exactement la même aire que le domaine sous la courbe. La valeur moyenne est la hauteur à laquelle il faudrait « niveler » la courbe, comme un liquide qui, versé dans un bac de largeur $b - a$ , se répartirait à hauteur constante $m$ : les bosses de la courbe comblent exactement ses creux.

Courbe d'une fonction variable sur un intervalle, superposée au rectangle de même base dont la hauteur est la valeur moyenne m, avec les zones où la courbe dépasse le rectangle et celles où elle est en dessous qui se compensent

Exemple

Valeur moyenne d'une tension. Une tension, en volts, est modélisée par $u (t) = 10 + 5 cos (100 π t)$ , où $t$ est en secondes : une composante constante de $10$ V, sur laquelle se superpose une ondulation sinusoïdale d'amplitude $5$ V et de pulsation $ω = 100 π$ rad/s, soit une période $T = \frac{2 π}{100 π} = 0, 02$ s. Calculons la valeur moyenne de $u$ sur une période, c'est-à-dire sur $[0; 0, 02]$ .

Cherchons d'abord une primitive de $u$ . Le terme constant $10$ a pour primitive $10 t$ ; le signal $5 cos (100 π t)$ a pour primitive $\frac{5}{100 π} sin (100 π t) = \frac{1}{20 π} sin (100 π t)$ , d'après la formule de première. Donc :

\int_{0}^{0, 02} u (t) d t = [10 t + \frac{1}{20 π} sin (100 π t)]_{0}^{0, 02} = (10 \times 0, 02 + \frac{1}{20 π} sin (2 π)) - (0 + \frac{1}{20 π} sin (0)) = 0, 2 + 0 - 0 = 0, 2

La valeur moyenne vaut alors :

m = \frac{1}{0 , 02 - 0} \times 0, 2 = 10 V

Le résultat mérite d'être médité : la partie sinusoïdale s'intègre à zéro sur une période complète, car $sin (2 π) = sin (0) = 0$ — graphiquement, ses arches positives et négatives se compensent exactement, comme annoncé avec l'aire algébrique. Il ne reste que la composante constante : la valeur moyenne du signal est sa composante continue, $10$ V. C'est précisément ce que mesure un voltmètre numérique en position DC.

Intégrale et cinématique

Refermons la boucle ouverte dans l'introduction. La vitesse est la dérivée de la position : $v (t) = x^{'} (t)$ , donc la position est une primitive de la vitesse. Le théorème du calcul par primitives donne alors, pour un mouvement entre les instants $a$ et $b$ :

\int_{a}^{b} v (t) d t = x (b) - x (a)

Le membre de droite est la variation de position du mobile, qui coïncide avec la distance parcourue lorsque la vitesse reste positive (le mobile ne recule pas). L'intuition du début du chapitre est donc démontrée : la distance parcourue est l'aire sous la courbe de vitesse. Et remarquez le gain par rapport à la première : là où le calcul de la loi horaire exigeait une condition initiale pour fixer la constante, l'intégrale livre directement la variation de position entre deux instants, sans qu'on ait besoin de savoir d'où le mobile est parti — la constante, une fois encore, disparaît dans la différence.

Exemple

Distance de freinage. Un véhicule roulant à $20$ m/s (soit $72$ km/h) freine de façon constante : sa vitesse suit la loi $v (t) = 20 - 4 t$ , en m/s, jusqu'à l'arrêt complet à $t = 5$ s. La distance parcourue pendant le freinage vaut :

\int_{0}^{5} (20 - 4 t) d t = [20 t - 2 t^{2}]_{0}^{5} = (100 - 50) - 0 = 50 m

On peut vérifier géométriquement : la courbe de $v$ est un segment qui descend de $20$ à $0$ , et le domaine est un triangle de base $5$ et de hauteur $20$ , d'aire $\frac{5 \times 20}{2} = 50$ . Cinquante mètres pour s'arrêter : l'aire sous la courbe n'est pas qu'une abstraction, c'est une donnée de sécurité routière.

Ce premier chapitre de l'année a doté d'un sens précis une intuition géométrique : l'aire sous une courbe est un nombre que l'on sait définir, encadrer par des rectangles, et surtout calculer exactement dès qu'une primitive est disponible. Les propriétés de linéarité, la relation de Chasles et les règles de comparaison en font un outil de calcul souple, et la valeur moyenne comme la cinématique montrent qu'il parle directement le langage des sciences. Pour l'instant, notre réserve de primitives se limite aux polynômes et aux signaux sinusoïdaux de la première ; d'autres familles de fonctions viendront enrichir le tableau au fil de l'année, et chacune élargira d'autant le champ des intégrales que nous saurons calculer. Les exercices vont maintenant faire travailler chaque registre : la géométrie, l'encadrement, le calcul exact et les applications physiques.

Le cours en PDF(PDF, 157 Ko)

Les exercices

16 exercices, difficulté croissante de ★ (application directe) à ★★★★ (défi). Les corrigés détaillés sont dans le PDF — cherchez d'abord, le corrigé ensuite : c'est là que ça progresse.

Exercice 1 ★★★★ — Lire une intégrale sur un quadrillage

Intégrale et aire sous la courbe : unité d'aire

On a représenté ci-dessous une fonction $v$ affine par morceaux sur l'intervalle $[0; 6]$ . Sa courbe est la ligne brisée passant par les points de coordonnées $(0; 1)$ , $(2; 3)$ , $(4; 3)$ et $(6; 1)$ . Le quadrillage est unitaire : chaque carreau représente une unité d'aire (u.a.). Le domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $t = 0$ et $t = 6$ est hachuré.

Courbe de la fonction v : ligne brisée passant par les points (0 ; 1), (2 ; 3), (4 ; 3) et (6 ; 1), quadrillage unitaire, domaine sous la courbe hachuré entre t = 0 et t = 6

a. Déterminer la valeur exacte de $\int_{0}^{6} v (t) d t$ en découpant le domaine hachuré en rectangles et en trapèzes, et en détaillant le calcul de l'aire de chaque morceau.

b. Déterminer de même la valeur exacte de $\int_{2}^{4} v (t) d t$ .

c. Calculer $\int_{0}^{2} v (t) d t$ , puis vérifier que les trois résultats obtenus sont cohérents avec la relation de Chasles.

Exercice 2 ★★★★ — Intégrales de fonctions affines par calcul d'aire

Intégrale et aire sous la courbe : unité d'aire

Dans cet exercice, on calcule des intégrales sans utiliser de primitive : chaque fonction est positive sur l'intervalle d'intégration, l'intégrale est donc l'aire d'une région géométrique simple. Pour chaque question, préciser la nature de la région située sous la courbe (rectangle, triangle ou trapèze), donner ses dimensions, puis calculer l'intégrale par une formule d'aire.

a. $\int_{1}^{4} 3 d t$

b. $\int_{0}^{3} (2 t + 1) d t$

c. $\int_{2}^{5} (t - 2) d t$

Exercice 3 ★★★★ — Encadrer une intégrale par la méthode des rectangles

Méthode des rectangles : encadrement et algorithmeIntégrale et aire sous la courbe : unité d'aire

On considère la fonction $f$ définie sur $[0; 2]$ par $f (t) = 4 - t^{2}$ , et on cherche à encadrer l'intégrale $I = \int_{0}^{2} f (t) d t$ par la méthode des rectangles, avec $n = 4$ rectangles de largeur $h = 0, 5$ .

Courbe de f(t) = 4 - t² sur [0 ; 2] avec les deux escaliers de la méthode des rectangles pour n = 4 : rectangles appuyés sur les bords gauches (au-dessus de la courbe) et rectangles appuyés sur les bords droits (au-dessous de la courbe)

a. Calculer $f^{'} (t)$ et justifier que $f$ est décroissante sur $[0; 2]$ .

b. La fonction $f$ étant décroissante, expliquer pourquoi les rectangles construits sur les bords gauches des intervalles donnent une somme qui majore $I$ , tandis que ceux construits sur les bords droits donnent une somme qui minore $I$ .

c. Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous, puis calculer la somme des aires des rectangles « gauches » et celle des rectangles « droits ». En déduire un encadrement de $I$ .

$t$	$0$	$0, 5$	$1$	$1, 5$	$2$
$f (t)$	$4$		$3$

d. On admet que la valeur exacte de l'intégrale est $I = \frac{16}{3} \approx 5, 33$ . Cette valeur est-elle cohérente avec l'encadrement obtenu à la question précédente ?

Exercice 4 ★★★★ — La méthode des rectangles en Python

Méthode des rectangles : encadrement et algorithme

Le script Python ci-dessous doit calculer les sommes « gauche » et « droite » de la méthode des rectangles pour la fonction $f (t) = 4 - t^{2}$ sur l'intervalle $[0; 2]$ , avec $n$ rectangles de largeur $h = \frac{b - a}{n}$ . Trois lignes sont incomplètes (marquées ...).

def f(t):
    return 4 - t**2

a = 0
b = 2
n = 4
h = (b - a) / n

somme_gauche = 0
somme_droite = 0
for k in ...:                  # k prend les valeurs 0, 1, ..., n-1
    t = ...                    # abscisse du bord gauche du rectangle numero k
    somme_gauche = somme_gauche + f(t) * h
    somme_droite = somme_droite + ... * h    # hauteur lue au bord droit

print("Somme gauche :", somme_gauche)
print("Somme droite :", somme_droite)

a. Recopier et compléter les trois lignes incomplètes.

b. Qu'affiche ce script pour $n = 4$ ? (On pourra s'appuyer sur les calculs de l'exercice précédent.)

c. On exécute maintenant le script avec n = 100. Que peut-on dire de l'encadrement de $\int_{0}^{2} f (t) d t$ obtenu, sachant que la valeur exacte est $\frac{16}{3} \approx 5, 33$ ? Expliquer pourquoi on préfère confier ce calcul à la machine plutôt que de le faire à la main.

Exercice 5 ★★★★ — Calculer des intégrales de polynômes

Calcul d'une intégrale par primitives

Calculer chacune des intégrales suivantes à l'aide d'une primitive. La notation crochet $[F (t)]_{a}^{b}$ est exigée à chaque calcul.

a. $\int_{0}^{2} (3 t^{2} + 2) d t$

b. $\int_{1}^{3} (2 t - 1) d t$

c. $\int_{0}^{1} (4 t^{3} - 3 t^{2} + 1) d t$

d. $\int_{- 1}^{1} t^{2} d t$

e. $\int_{1}^{2} (6 t^{2} - 4 t + 5) d t$

f. $\int_{0}^{4} (\frac{t}{2} - 1) d t$

Exercice 6 ★★★★ — Intégrales de signaux sinusoïdaux

Calcul d'une intégrale par primitives

On rappelle qu'une primitive de $t \mapsto A cos (ω t + φ)$ est $t \mapsto \frac{A}{ω} sin (ω t + φ)$ , et qu'une primitive de $t \mapsto A sin (ω t + φ)$ est $t \mapsto - \frac{A}{ω} cos (ω t + φ)$ .

Calculer chacune des intégrales suivantes, en écrivant la notation crochet :

a. $\int_{0}^{π /2} cos (t) d t$
b. $\int_{0}^{π} 2 sin (t) d t$
c. $\int_{0}^{π /4} cos (2 t) d t$
d. $\int_{0}^{π /6} 3 cos (3 t) d t$
En utilisant la linéarité de l'intégrale, calculer $\int_{0}^{π /2} (2 sin (t) + cos (t)) d t$ .

Exercice 7 ★★★★ — Vérifier une primitive, puis calculer l'intégrale

Calcul d'une intégrale par primitives

Dans cet exercice, la primitive est fournie : il s'agit de vérifier qu'elle convient en la dérivant, puis de l'utiliser pour calculer une intégrale.

On considère la fonction $F$ définie sur $[0; 2]$ par $F (t) = \frac{t}{t + 1}$ .

a. À l'aide de la formule de dérivation d'un quotient, montrer que $F^{'} (t) = \frac{1}{( t + 1 ) ^{2}}$ pour tout $t$ de $[0; 2]$ , en détaillant le calcul.

b. En déduire la valeur exacte de $\int_{0}^{2} \frac{1}{( t + 1 ) ^{2}} d t$ .
On considère la fonction $G$ définie sur $[0; 1]$ par $G (t) = \frac{( 2 t + 1 ) ^{3}}{6}$ .

a. À l'aide de la règle de dérivation de $t \mapsto g (a t + b)$ , montrer que $G^{'} (t) = (2 t + 1)^{2}$ pour tout $t$ de $[0; 1]$ .

b. En déduire la valeur exacte de $\int_{0}^{1} (2 t + 1)^{2} d t$ .

Exercice 8 ★★★★ — Intégrale d'une fonction qui change de signe

Fonctions de signe quelconque : aire algébriqueCalcul d'une intégrale par primitives

On considère la fonction $f$ définie sur $[0; 3]$ par $f (t) = t^{2} - 4$ . Sa courbe est représentée ci-dessous : la région comprise entre la courbe et l'axe des abscisses est coloriée d'une couleur lorsque la courbe est sous l'axe, et d'une autre couleur lorsqu'elle est au-dessus.

Courbe de f(t) = t² - 4 sur [0 ; 3] : la zone entre la courbe et l'axe des abscisses est coloriée d'une couleur pour t entre 0 et 2 (courbe sous l'axe) et d'une autre couleur pour t entre 2 et 3 (courbe au-dessus de l'axe)

a. Factoriser $f (t)$ , puis étudier le signe de $f$ sur $[0; 3]$ .

b. Calculer $\int_{0}^{3} f (t) d t$ à l'aide d'une primitive, avec la notation crochet.

c. Calculer $\int_{0}^{2} f (t) d t$ et $\int_{2}^{3} f (t) d t$ , puis vérifier que la relation de Chasles est satisfaite avec le résultat de la question b.

d. En déduire l'aire totale, en unités d'aire, de la région délimitée par la courbe de $f$ et l'axe des abscisses sur $[0; 3]$ . Expliquer pourquoi cette aire est différente de $\int_{0}^{3} f (t) d t$ .

Exercice 9 ★★★★ — Linéarité et relation de Chasles

Propriétés : linéarité, relation de Chasles, positivité et ordre

Partie 1. On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $[0; 5]$ , dont on connaît seulement les intégrales suivantes :

\int_{0}^{3} f (t) d t = 5, \int_{0}^{3} g (t) d t = - 2, \int_{3}^{5} f (t) d t = 4.

À l'aide des propriétés de l'intégrale, calculer :

a. $\int_{0}^{3} (2 f (t) - 3 g (t)) d t$

b. $\int_{0}^{5} f (t) d t$

c. $\int_{5}^{3} f (t) d t$

d. $\int_{0}^{3} (g (t) + 1) d t$

Partie 2. Soit $f$ la fonction définie sur $[0; 4]$ par :

f (t) = {2 t 2 si 0 \leq t \leq 1 si 1 < t \leq 4

À l'aide de la relation de Chasles, calculer $\int_{0}^{4} f (t) d t$ .
Retrouver ce résultat par un calcul d'aire, en représentant la courbe de $f$ dans un repère orthonormé.

Exercice 10 ★★★★ — Comparer et encadrer des intégrales sans les calculer

Propriétés : linéarité, relation de Chasles, positivité et ordre

Partie 1.

Justifier, sans calculer les intégrales, que :

\int_{0}^{1} t^{2} d t \leq \int_{0}^{1} t d t .

On pourra comparer $t^{2}$ et $t$ pour $t$ compris entre $0$ et $1$ .

Vérifier cette inégalité en calculant les deux intégrales à l'aide de primitives.

Partie 2. On considère la fonction $f$ définie sur $[0; 1]$ par :

f (t) = \frac{1}{1 + t ^{2}} .

On ne connaît aucune primitive de cette fonction en terminale : il est donc impossible de calculer exactement $I = \int_{0}^{1} f (t) d t$ avec les outils du chapitre. On cherche à l'encadrer.

Montrer que pour tout $t$ de $[0; 1]$ , on a $\frac{1}{2} \leq f (t) \leq 1$ .
En déduire que $\frac{1}{2} \leq I \leq 1$ . Interpréter cet encadrement à l'aide d'aires de rectangles.
La méthode des rectangles avec $n = 5$ subdivisions donne l'encadrement $0, 73 \leq I \leq 0, 83$ (résultat admis). Lequel des deux encadrements est le plus précis ? Comment pourrait-on faire encore mieux ?

Exercice 11 ★★★★ — Valeur moyenne : premiers calculs

Valeur moyenne d'une fonctionCalcul d'une intégrale par primitives

Calculer la valeur moyenne de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué.

$f (t) = t^{2}$ sur $[0; 3]$ .
$g (t) = 3 t^{2} - 2 t + 1$ sur $[0; 2]$ .
$s (t) = sin (t)$ sur $[0; π]$ . Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée au centième.
$h (t) = cos (2 t)$ sur $[0; π]$ , c'est-à-dire sur une période complète. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

Exercice 12 ★★★★ — Distance parcourue au freinage

Applications physiques : distances, charges, signauxCalcul d'une intégrale par primitives

Un TGV en approche de gare roule à la vitesse de $50$ m/s. À l'instant $t = 0$ (en secondes), le conducteur déclenche un freinage qui impose au train la vitesse :

v (t) = 50 - 2 t (en m/s) .

À quel instant le train s'arrête-t-il ?
Justifier que la distance parcourue par le train pendant le freinage est donnée par :

d = \int_{0}^{25} v (t) d t .

Calculer cette distance.
Calculer la vitesse moyenne du train pendant le freinage, puis vérifier qu'elle est égale à la valeur moyenne de la fonction $v$ sur $[0; 25]$ .

Exercice 13 ★★★★ — Quantité d'électricité traversant un dipôle

Applications physiques : distances, charges, signaux

En électricité, l'intensité $i (t)$ (en ampères) mesure le débit de charges électriques dans un circuit. La quantité d'électricité $Q$ (en coulombs) qui traverse un dipôle entre les instants $0$ et $T$ (en secondes) est donnée par :

Q = \int_{0}^{T} i (t) d t .

Un dipôle est parcouru par le courant alternatif d'intensité :

i (t) = 0, 4 cos (100 π t) (en amp \overset{e}{ˋ} res) .

Vérifier que la période de ce courant vaut $T = 0, 02$ s.
Calculer la quantité d'électricité $Q_{1} = \int_{0}^{0, 005} i (t) d t$ qui traverse le dipôle pendant le premier quart de période. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée à $1 0^{- 4}$ près.
Calculer $Q_{2} = \int_{0}^{0, 02} i (t) d t$ , la quantité d'électricité qui traverse le dipôle pendant une période complète. Interpréter ce résultat pour un courant alternatif.

Exercice 14 ★★★★ — Aire entre deux courbes

Fonctions de signe quelconque : aire algébriqueCalcul d'une intégrale par primitives

Dans un repère orthonormé (unité d'aire : le carré unité), on a tracé la parabole représentant la fonction $f$ définie par $f (t) = 6 t - t^{2}$ et la droite représentant la fonction $g$ définie par $g (t) = t$ , pour $t$ compris entre $0$ et $5$ . La région comprise entre les deux courbes est coloriée.

Parabole d'équation y égale 6t moins t carré et droite d'équation y égale t sur l'intervalle de 0 à 5, la région comprise entre les deux courbes étant coloriée

Vérifier par le calcul que les deux courbes se coupent aux points d'abscisses $0$ et $5$ .
Montrer que pour tout $t$ de $[0; 5]$ :

f (t) - g (t) = t (5 - t) \geq 0.

On admet que l'aire de la région coloriée, en unités d'aire, est donnée par :

A = \int_{0}^{5} (f (t) - g (t)) d t .

Calculer cette aire. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée au dixième.

Exercice 15 ★★★★ — Valeur moyenne d'une tension périodique

Valeur moyenne d'une fonctionApplications physiques : distances, charges, signauxCalcul d'une intégrale par primitives

Aux bornes d'un composant électronique, on mesure la tension :

u (t) = 10 + 5 cos (100 π t) (en volts),

où $t$ est exprimé en secondes. Cette tension est périodique, de période $T = 0, 02$ s.

Donner la valeur minimale $u_{m i n}$ et la valeur maximale $u_{m a x}$ de cette tension.
Calculer $\int_{0}^{T} u (t) d t$ .
En déduire la valeur moyenne $⟨ u ⟩$ de la tension sur une période.
Que vaut la valeur moyenne du terme $5 cos (100 π t)$ sur une période ? En électronique, on dit que $⟨ u ⟩$ est la composante continue du signal : expliquer pourquoi ce nom est bien choisi.
Justifier sans aucun calcul d'intégrale que l'on a nécessairement $5 \leq ⟨ u ⟩ \leq 15$ .

Exercice 16 ★★★★ — Remplissage d'un bassin de rétention

Applications physiques : distances, charges, signauxPropriétés : linéarité, relation de Chasles, positivité et ordreValeur moyenne d'une fonction

Lors d'un orage qui dure $8$ heures, l'eau de pluie est collectée dans un bassin de rétention. Le débit d'eau entrant dans le bassin, en $m^{3} / h$ , est modélisé par la fonction :

d (t) = - t^{2} + 8 t, t \in [0; 8],

où $t$ est le temps écoulé (en heures) depuis le début de l'orage.

Étudier les variations de $d$ sur $[0; 8]$ et dresser son tableau de variations. À quel instant le débit est-il maximal, et que vaut-il alors ?
Justifier que le volume total d'eau reçu par le bassin pendant l'orage vaut :

V = \int_{0}^{8} d (t) d t,

puis calculer $V$ . Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée au dixième.

Le bassin a une capacité de $90 m^{3}$ . Déborde-t-il pendant cet orage ?
Calculer le volume d'eau reçu pendant les $4$ premières heures. Vérifier, à l'aide de la relation de Chasles, qu'il représente exactement la moitié du volume total. Proposer une explication graphique de ce résultat.
Calculer le débit moyen d'entrée d'eau sur la durée de l'orage. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée au dixième.

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Le devoir surveillé

Sujet type DS — 60 min, barème sur 20 points. Faites-le en conditions réelles avant de regarder le corrigé (PDF).

Exercice 1 (7 points) — Calculs d'intégrales

1. ( $3$ pts, soit $0, 75$ pt par intégrale) Calculer les intégrales suivantes :

a. $\int_{- 1}^{2} (3 t^{2} - 2 t + 1) d t$

b. $\int_{0}^{π /6} 6 cos (3 t) d t$

c. $\int_{0}^{2} (t^{3} - t) d t$

d. $\int_{0}^{π} sin (\frac{t}{2}) d t$

2. ( $2, 5$ pts) On considère la fonction $F$ définie sur $[0; 1]$ par $F (t) = \frac{t}{2 t + 1}$ .

a. Montrer, à l'aide de la formule de dérivation d'un quotient, que $F^{'} (t) = \frac{1}{( 2 t + 1 ) ^{2}}$ pour tout $t$ de $[0; 1]$ .

b. En déduire la valeur exacte de $\int_{0}^{1} \frac{1}{( 2 t + 1 ) ^{2}} d t$ .

3. ( $1, 5$ pt) Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ définie par $f (t) = 3 t^{2} - 2 t + 1$ sur l'intervalle $[- 1; 2]$ . On pourra utiliser le résultat de la question 1.a.

Exercice 2 (5 points) — Aire algébrique et lecture graphique

On considère la fonction $g$ définie sur $[0; 4]$ par $g (t) = t^{2} - 2 t - 3$ , et sa courbe représentative $C_{g}$ ci-dessous. La zone comprise entre la courbe et l'axe des abscisses est coloriée : d'une couleur là où la courbe est sous l'axe (entre $t = 0$ et $t = 3$ , signe $-$ ), d'une autre là où elle est au-dessus (entre $t = 3$ et $t = 4$ , signe $+$ ).

Parabole g(t) = t² - 2t - 3 sur [0 ; 4], tournée vers le haut, coupant l'axe des abscisses en t = 3 : zone entre la courbe et l'axe marquée d'un signe moins pour t entre 0 et 3, et d'un signe plus pour t entre 3 et 4

1. ( $1$ pt) Vérifier que $g (t) = (t - 3) (t + 1)$ pour tout réel $t$ , et en déduire le signe de $g$ sur $[0; 4]$ .

2. ( $1, 5$ pt) Calculer $\int_{0}^{3} g (t) d t$ . Le signe du résultat était-il prévisible ?

3. ( $1, 5$ pt) Calculer $\int_{3}^{4} g (t) d t$ , puis en déduire $\int_{0}^{4} g (t) d t$ à l'aide de la relation de Chasles.

4. ( $1$ pt) En déduire l'aire totale, en unités d'aire, de la zone coloriée délimitée par la courbe $C_{g}$ et l'axe des abscisses sur $[0; 4]$ . Expliquer pourquoi cette aire est différente de $\int_{0}^{4} g (t) d t$ .

Exercice 3 (4 points) — Méthode des rectangles

On considère la fonction $f$ définie sur $[0; 1]$ par $f (t) = \frac{1}{1 + t}$ , et l'intégrale $I = \int_{0}^{1} f (t) d t$ . Aucune primitive de $f$ n'est connue en terminale STI2D/STL : on ne peut donc pas calculer $I$ exactement avec les formules du cours. On cherche à encadrer $I$ par la méthode des rectangles, avec $n = 4$ rectangles de largeur $h = 0, 25$ .

1. ( $1$ pt) Justifier que $f$ est décroissante sur $[0; 1]$ .

2. ( $2$ pts) Calculer la somme $S$ des aires des rectangles construits sur les bords gauches des intervalles, puis la somme $s$ des aires des rectangles construits sur les bords droits. Donner des valeurs approchées au centième, et en déduire un encadrement de $I$ .

3. ( $1$ pt) Comment pourrait-on améliorer la précision de cet encadrement ? Quel outil utilise-t-on alors en pratique ?

Exercice 4 (4 points) — Courant alternatif

Un dipôle est traversé par un courant alternatif d'intensité $i (t) = 2 sin (100 π t)$ , où $i$ est en ampères (A) et $t$ en secondes (s). La quantité d'électricité (en coulombs, C) qui traverse le dipôle entre les instants $0$ et $T$ est donnée par :

Q = \int_{0}^{T} i (t) d t

1. ( $1$ pt) Vérifier que la période du courant $i$ vaut $T = 0, 02$ s.

2. ( $1, 5$ pt) Calculer la quantité d'électricité $Q_{1} = \int_{0}^{0, 01} i (t) d t$ qui traverse le dipôle pendant la première demi-période. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée à $1 0^{- 3}$ près.

3. ( $1$ pt) En déduire la valeur moyenne de l'intensité $i$ sur l'intervalle $[0; 0, 01]$ . Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée au centième.

4. ( $0, 5$ pt) Que vaut $\int_{0}^{0, 02} i (t) d t$ ? Interpréter ce résultat pour le courant $i$ .

Le sujet du DS(PDF, 53 Ko)Le corrigé du DS(PDF, 86 Ko)

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