Tale techno · Chapitre 04 · Analyse

Fonction inverse

Comportement aux bornes, dérivée, asymptotes (approche intuitive), combinaisons avec des polynômes de degré ≤ 3.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Comportement aux bornes
Dérivée
Asymptotes (approche intuitive)
Combinaisons avec des polynômes de degré ≤ 3

Le cours

Une classe organise une sortie de fin d'année et loue un car pour la journée. Le transporteur facture un prix fixe de $600$ €, quel que soit le nombre de participants. Si $20$ élèves s'inscrivent, chacun paie $600 \div 20 = 30$ € ; s'ils sont $30$ , la part descend à $20$ € ; s'ils sont $40$ , à $15$ €. Le coût par personne est donné par la formule $\frac{600}{x}$ , où $x$ désigne le nombre de participants : plus le groupe est nombreux, moins chacun paie, mais la part ne descend jamais tout à fait à zéro.

Cette situation de partage se retrouve partout en économie et en gestion : prix unitaire d'un lot acheté en gros, coût moyen d'un objet quand les frais fixes se répartissent sur la production, débit par utilisateur d'une connexion partagée. Derrière toutes ces grandeurs se cache une seule et même fonction, croisée en seconde parmi les fonctions de référence : la fonction inverse, qui à chaque nombre $x$ non nul associe $\frac{1}{x}$ .

Ce chapitre lui est consacré. Nous allons d'abord la (re)découvrir avec sa courbe si particulière, puis comprendre son comportement extrême : que devient $\frac{1}{x}$ quand $x$ est immense, ou au contraire tout proche de $0$ ? Nous calculerons ensuite sa dérivée en réinvestissant le taux de variation vu en première, et nous saurons enfin étudier des fonctions qui combinent la fonction inverse avec les polynômes déjà connus. C'est exactement l'outillage nécessaire pour répondre à la question du transporteur, et à bien d'autres.

La fonction inverse : définition et courbe

Une seule opération est impossible avec les nombres réels : la division par zéro. La formule $\frac{1}{x}$ a donc un sens pour tous les réels sauf un.

Définition

La fonction inverse est la fonction $f$ qui, à tout réel $x$ non nul, associe son inverse :

f (x) = \frac{1}{x}

Le nombre $0$ est une valeur interdite : on ne peut pas diviser par $0$ . L'ensemble de définition de la fonction inverse est donc

] - \infty; 0 [\cup] 0; + \infty [

Avant toute étude, assurons-nous que les calculs d'images et d'antécédents sont bien en place.

Exemple

Images. L'image de $5$ est $\frac{1}{5} = 0, 2$ . L'image de $0, 2$ est $\frac{1}{0 , 2} = 5$ : prendre l'inverse deux fois de suite redonne le nombre de départ. L'image de $- \frac{2}{3}$ est $- \frac{3}{2}$ : l'inverse d'une fraction s'obtient en échangeant numérateur et dénominateur.

Antécédent. Quel nombre a pour image $4$ ? On résout $\frac{1}{x} = 4$ , ce qui donne $x = \frac{1}{4} = 0, 25$ . Chaque nombre non nul admet exactement un antécédent : son propre inverse.

Commençons l'étude par une table de valeurs, avec des nombres simples de part et d'autre de la valeur interdite.

$x$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$- 0, 5$	$0, 5$	$1$	$2$	$4$
$f (x) = \frac{1}{x}$	$- 0, 25$	$- 0, 5$	$- 1$	$- 2$	$2$	$1$	$0, 5$	$0, 25$

Deux observations sautent aux yeux. D'abord, les valeurs se répondent : l'inverse de $2$ est $0, 5$ , et l'inverse de $0, 5$ est $2$ . Ensuite, aucune valeur n'est calculée en $0$ , et la courbe va en garder la trace : elle est constituée de deux branches séparées, une pour les $x$ négatifs, une pour les $x$ positifs. Cette courbe porte un nom : c'est une hyperbole.

Courbe de la fonction inverse : hyperbole à deux branches, l'une dans le quart de plan où x et y sont tous deux négatifs, l'autre dans celui où x et y sont tous deux positifs. Les points de coordonnées (1 ; 1) et (-1 ; -1) sont marqués, et des pointillés de lecture relient le point (2 ; 0,5) aux deux axes.

La courbe passe par les points de coordonnées $(1; 1)$ et $(- 1; - 1)$ : chacun de ces deux nombres est son propre inverse. Et les deux branches ne sont pas disposées au hasard.

Propriété

Pour tout réel $x$ non nul, l'inverse de $- x$ est l'opposé de l'inverse de $x$ :

\frac{1}{- x} = - \frac{1}{x}

Autrement dit, si le point de coordonnées $(x; y)$ appartient à l'hyperbole, alors le point $(- x; - y)$ lui appartient aussi. La courbe de la fonction inverse est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Concrètement, connaître la branche de droite suffit : la branche de gauche s'en déduit en faisant tourner la figure d'un demi-tour autour de l'origine.

Dernière remarque de lecture : l'inverse d'un nombre positif est positif, l'inverse d'un nombre négatif est négatif. Le quotient $\frac{1}{x}$ est donc toujours du même signe que $x$ . C'est visible sur la figure : la branche de droite est entièrement au-dessus de l'axe des abscisses, la branche de gauche entièrement en dessous.

Comportement aux bornes et asymptotes

L'ensemble de définition $] - \infty; 0 [\cup] 0; + \infty [$ a quatre « extrémités » : très loin à gauche, très loin à droite, et de chaque côté de la valeur interdite $0$ . Que fait la fonction inverse dans ces zones extrêmes ? Les ordres de grandeur donnent la réponse.

Quand $x$ devient très grand :

$x$	$10$	$100$	$10000$
$\frac{1}{x}$	$0, 1$	$0, 01$	$0, 0001$

Quand $x$ est positif et se rapproche de $0$ :

$x$	$0, 1$	$0, 01$	$0, 0001$
$\frac{1}{x}$	$10$	$100$	$10000$

La logique est limpide : l'inverse d'un très grand nombre est un nombre minuscule, et l'inverse d'un nombre minuscule est un très grand nombre. C'est le phénomène du car de l'introduction : avec énormément de participants, la part de chacun devient dérisoire ; avec très peu de participants, elle explose. Du côté des nombres négatifs, le même phénomène se produit avec le signe moins : l'inverse de $- 10000$ vaut $- 0, 0001$ , tout proche de $0$ , et l'inverse de $- 0, 0001$ vaut $- 10000$ .

Propriété

Comportement de la fonction inverse aux bornes de son ensemble de définition.

Lorsque $x$ devient très grand positivement, $\frac{1}{x}$ se rapproche de $0$ en restant positif.
Lorsque $x$ devient très grand négativement, $\frac{1}{x}$ se rapproche de $0$ en restant négatif.
Lorsque $x$ se rapproche de $0$ en restant positif, $\frac{1}{x}$ devient aussi grand que l'on veut.
Lorsque $x$ se rapproche de $0$ en restant négatif, $\frac{1}{x}$ descend aussi bas que l'on veut : il prend des valeurs négatives de plus en plus éloignées de $0$ .

Traduisons ces quatre comportements sur la courbe. Loin de l'origine, à droite comme à gauche, l'hyperbole s'aplatit le long de l'axe des abscisses : elle s'en rapproche de plus en plus, sans jamais le rejoindre. Près de la valeur interdite, elle grimpe (ou plonge) le long de l'axe des ordonnées : plus $x$ est proche de $0$ , plus la courbe est haute (à droite) ou basse (à gauche), et elle serre cet axe d'aussi près que l'on veut. Ce comportement de « droite guide » que la courbe vient longer mérite un nom.

Définition

Lorsqu'une courbe se rapproche d'une droite autant que l'on veut, sans jamais la toucher, on dit que cette droite est asymptote à la courbe.

Pour l'hyperbole de la fonction inverse :

l'axe des abscisses est asymptote à la courbe (la courbe s'aplatit le long de cet axe quand $x$ devient très grand, positivement ou négativement) ;
l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe (la courbe le longe de plus en plus près quand $x$ se rapproche de $0$ ).

Exemple

Reprenons le car de l'introduction : la part de chacun vaut $p (x) = \frac{600}{x}$ euros pour $x$ participants. Cette fonction se comporte comme la fonction inverse, simplement dilatée par le facteur $600$ .

Quand le nombre de participants explose, la part fond : $6$ € chacun pour $100$ participants, $0, 60$ € pour $1000$ . Elle se rapproche de $0$ ... sans jamais l'atteindre : le transporteur facture $600$ €, il y aura toujours quelque chose à payer. La droite horizontale d'équation $y = 0$ est asymptote à la courbe de $p$ , et cette asymptote a ici un sens concret : « gratuit » est un plancher dont on s'approche mais qu'on ne touche jamais.

À l'inverse, si presque personne ne s'inscrit, la part s'envole : $300$ € chacun pour $2$ participants, $600$ € pour un seul. Le modèle mathématique va plus loin que la réalité (on ne peut pas avoir $0, 5$ participant !), mais la tendance est fidèle : plus $x$ est petit, plus la part est écrasante.

Insistons sur un point : l'hyperbole ne coupe jamais les axes. Elle ne coupe pas l'axe des ordonnées puisque $0$ est une valeur interdite : il n'y a aucun point de la courbe d'abscisse $0$ . Et elle ne coupe pas l'axe des abscisses non plus : un quotient est nul uniquement lorsque son numérateur est nul, or le numérateur de $\frac{1}{x}$ vaut toujours $1$ . L'équation $\frac{1}{x} = 0$ n'a donc aucune solution. Se rapprocher de $0$ autant que l'on veut, oui ; valoir $0$ , jamais.

Dérivée et sens de variation

La courbe descend visiblement sur chacune de ses deux branches. Pour le prouver, dérivons la fonction inverse. Elle ne figure pas dans le catalogue des dérivées de première (constante, $a x + b$ , $x^{2}$ , $x^{3}$ ) : nous allons donc revenir à la source, la définition du nombre dérivé à partir du taux de variation. C'est la démonstration centrale du chapitre.

Rappel de première : le nombre dérivé de $f$ en $a$ est la valeur dont se rapproche le taux de variation $\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ lorsque $h$ se rapproche de $0$ .

Prenons un réel $a$ non nul, et un réel $h$ non nul assez petit pour que $a + h$ soit lui aussi non nul. Calculons le taux de variation de la fonction inverse entre $a$ et $a + h$ .

Étape 1 : simplifier le numérateur. On réduit la différence des deux inverses au même dénominateur $a (a + h)$ :

\frac{1}{a + h} - \frac{1}{a} = \frac{a}{a ( a + h )} - \frac{a + h}{a ( a + h )} = \frac{a - ( a + h )}{a ( a + h )} = \frac{- h}{a ( a + h )}

Étape 2 : diviser par $h$ . Diviser par $h$ , c'est multiplier par $\frac{1}{h}$ , et le $h$ du numérateur se simplifie :

\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} = \frac{- h}{a ( a + h )} \times \frac{1}{h} = \frac{- 1}{a ( a + h )}

Étape 3 : rapprocher $h$ de $0$ . Lorsque $h$ se rapproche de $0$ , la quantité $a + h$ se rapproche de $a$ , donc le taux de variation $\frac{- 1}{a ( a + h )}$ se rapproche de :

\frac{- 1}{a \times a} = - \frac{1}{a ^{2}}

Le nombre dérivé de la fonction inverse en $a$ est donc $- \frac{1}{a ^{2}}$ , et ceci pour n'importe quel réel $a$ non nul.

Propriété

La fonction inverse est dérivable sur chacun des intervalles $] - \infty; 0 [$ et $] 0; + \infty [$ , et pour tout réel $x$ non nul :

f^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}}

Le signe de cette dérivée se lit immédiatement : $x^{2}$ est strictement positif pour tout $x$ non nul, donc $- \frac{1}{x ^{2}}$ est strictement négatif. La dérivée ne s'annule jamais et reste négative partout : la fonction inverse est strictement décroissante sur $] - \infty; 0 [$ et strictement décroissante sur $] 0; + \infty [$ .

Attention à la formulation : décroissante sur chacun des deux intervalles, séparément. Il serait faux de dire qu'elle est décroissante « sur son ensemble de définition » tout entier. En effet, si c'était le cas, de $- 1 < 1$ on devrait pouvoir déduire $f (- 1) > f (1)$ ; or $f (- 1) = - 1$ et $f (1) = 1$ , donc $f (- 1) < f (1)$ . En franchissant la valeur interdite, la fonction saute des valeurs négatives aux valeurs positives, et l'inégalité attendue s'effondre. La double barre du tableau de variations est là pour matérialiser cette rupture.

x

- \infty

0

+ \infty

f^{'} (x)

-

-

f (x)

Sur chaque intervalle, la flèche descend : à gauche, la courbe descend depuis des valeurs proches de $0$ jusqu'à des valeurs très négatives ; à droite, elle descend depuis des valeurs immenses jusqu'à des valeurs proches de $0$ . On retrouve exactement les quatre comportements aux bornes de la section précédente.

Remarquons au passage que la dérivée $- \frac{1}{x ^{2}}$ ne s'annule jamais : l'hyperbole n'admet aucune tangente horizontale, ce qui est cohérent avec l'absence totale d'extremum. En revanche, on sait calculer la tangente en n'importe quel point, avec la formule de première.

Exemple

Déterminons l'équation de la tangente à l'hyperbole au point d'abscisse $1$ .

On applique la formule $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ avec $a = 1$ . Ici $f (1) = 1$ et $f^{'} (1) = - \frac{1}{1 ^{2}} = - 1$ , donc :

y = - 1 \times (x - 1) + 1 = - x + 2

La tangente au point $(1; 1)$ est la droite d'équation $y = - x + 2$ . Son coefficient directeur $- 1$ est négatif, comme partout sur l'hyperbole : en chaque point, la tangente descend, trace visible de la décroissance.

Étudier une combinaison avec un polynôme

Le programme demande d'étudier des fonctions construites en additionnant la fonction inverse (éventuellement multipliée par un coefficient) et un polynôme de degré au maximum $3$ : des fonctions de la forme

f (x) = P (x) + \frac{k}{x}

où $P$ est un polynôme et $k$ un réel. Bonne nouvelle : tout l'outillage de première s'applique. La dérivée d'une somme est la somme des dérivées, le polynôme se dérive terme à terme comme d'habitude, et il ne manque qu'une seule brique : la dérivée de $\frac{k}{x}$ .

Propriété

Soit $k$ un réel. La fonction $x \mapsto \frac{k}{x}$ , définie pour tout $x$ non nul, a pour dérivée :

(\frac{k}{x})^{'} = - \frac{k}{x ^{2}}

En effet, $\frac{k}{x} = k \times \frac{1}{x}$ , et multiplier une fonction par une constante multiplie sa dérivée par cette constante : on obtient $k \times (- \frac{1}{x ^{2}}) = - \frac{k}{x ^{2}}$ .

Par exemple, la dérivée de $\frac{4}{x}$ est $- \frac{4}{x ^{2}}$ , et celle de $- \frac{3}{x}$ est $\frac{3}{x ^{2}}$ . L'étude complète d'une telle fonction suit toujours le même chemin.

Méthode

Étudier une fonction du type $f (x) = P (x) + \frac{k}{x}$

Ensemble de définition : $0$ est une valeur interdite ; le plus souvent, l'énoncé impose directement un intervalle d'étude comme $] 0; + \infty [$ .
Dériver terme à terme : le polynôme se dérive comme en première, et la dérivée de $\frac{k}{x}$ est $- \frac{k}{x ^{2}}$ .
Réduire $f^{'} (x)$ au même dénominateur : on obtient un quotient de dénominateur $x^{2}$ , strictement positif. Le signe de $f^{'} (x)$ est donc celui du numérateur, souvent un trinôme que l'on sait factoriser ou dont on connaît les racines.
Dresser le tableau de variations, avec une double barre à la valeur interdite si elle borde la zone d'étude.
Lire les extremums locaux : là où $f^{'}$ s'annule en changeant de signe, la fonction atteint un extremum et la courbe admet une tangente horizontale.

Exemple

Étudions la fonction $f$ définie sur $] 0; + \infty [$ par $f (x) = x + \frac{4}{x}$ .

Dérivée. On dérive terme à terme : la dérivée de $x$ est $1$ , celle de $\frac{4}{x}$ est $- \frac{4}{x ^{2}}$ . Donc pour tout $x > 0$ :

f^{'} (x) = 1 - \frac{4}{x ^{2}}

Même dénominateur. On écrit $1 = \frac{x ^{2}}{x ^{2}}$ pour regrouper :

f^{'} (x) = \frac{x ^{2}}{x ^{2}} - \frac{4}{x ^{2}} = \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2}} = \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x ^{2}}

On a factorisé $x^{2} - 4$ grâce à l'identité remarquable $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

Signe de la dérivée. Sur $] 0; + \infty [$ , le dénominateur $x^{2}$ est strictement positif, et le facteur $x + 2$ aussi. Le signe de $f^{'} (x)$ est donc celui de $x - 2$ : négatif sur $] 0; 2 [$ , nul en $x = 2$ , positif sur $] 2; + \infty [$ .

Variations. La fonction décroît puis croît : elle atteint un minimum en $x = 2$ , qui vaut

f (2) = 2 + \frac{4}{2} = 2 + 2 = 4

x

0

2

+ \infty

f^{'} (x)

-

0

+

f (x)

4

Sur $] 0; + \infty [$ , la fonction $f$ admet donc un minimum égal à $4$ , atteint en $x = 2$ . Au point de coordonnées $(2; 4)$ , la tangente à la courbe est horizontale : c'est la signature graphique de l'extremum, exactement comme en première.

On reconnaît sur la courbe l'influence des deux morceaux : près de $0$ , le terme $\frac{4}{x}$ domine et propulse la courbe vers le haut ; pour les grandes valeurs de $x$ , ce même terme devient négligeable et c'est le terme $x$ qui impose la remontée.

Coût moyen et prix unitaire

Voici le contexte économique type dans lequel ces fonctions apparaissent. Une entreprise fabrique $x$ objets ; son coût total de production $C (x)$ , en euros, comporte des frais fixes (locaux, machines : à payer même sans produire) et des coûts qui augmentent avec la production. Ce coût total est modélisé par un polynôme. La question qui intéresse le gestionnaire n'est pas seulement « combien coûte la production ? » mais « combien coûte chaque objet en moyenne ? ». Le coût moyen par objet s'obtient en divisant le coût total par le nombre d'objets :

M (x) = \frac{C ( x )}{x}

Un obstacle surgit aussitôt : $M$ est un quotient, et nous ne savons pas dériver un quotient. Inutile pourtant d'attendre un futur chapitre : une simple réécriture ramène $M$ dans le monde que nous maîtrisons.

Méthode

Étudier un coût moyen $\frac{C ( x )}{x}$

On ne sait pas dériver un quotient : on réécrit d'abord $\frac{C ( x )}{x}$ comme une somme, en divisant chaque terme du coût total par $x$ . Les termes en $x^{2}$ , $x$ et constants deviennent des termes en $x$ , des constantes et des termes en $\frac{k}{x}$ : on retombe sur une combinaison « polynôme $+ \frac{k}{x}$ », que l'on sait dériver terme à terme. Ce n'est qu'après cette réécriture que l'on dérive.

Exemple

Le coût total de production de $x$ objets est modélisé par $C (x) = 0, 5 x^{2} + 3 x + 50$ (en euros), pour $x > 0$ . Les $50$ € représentent les frais fixes.

Réécriture du coût moyen. On divise chaque terme par $x$ :

M (x) = \frac{0 , 5 x ^{2} + 3 x + 50}{x} = 0, 5 x + 3 + \frac{50}{x}

C'est bien une combinaison d'un polynôme (ici affine) et de la fonction inverse.

Dérivée et signe. Terme à terme, pour tout $x > 0$ :

M^{'} (x) = 0, 5 - \frac{50}{x ^{2}} = \frac{0 , 5 x ^{2} - 50}{x ^{2}}

Le dénominateur est strictement positif ; le numérateur $0, 5 x^{2} - 50$ s'annule lorsque $x^{2} = 100$ , c'est-à-dire en $x = 10$ (seule racine positive). Il est négatif sur $] 0; 10 [$ et positif sur $] 10; + \infty [$ .

Variations et minimum. Le coût moyen décroît puis croît, avec un minimum en $x = 10$ :

M (10) = 0, 5 \times 10 + 3 + \frac{50}{10} = 5 + 3 + 5 = 13

x

0

10

+ \infty

M^{'} (x)

-

0

+

M (x)

13

Interprétation concrète. La production la plus efficace est de $10$ objets : c'est là que chaque objet revient le moins cher, soit $13$ € pièce. En produisant très peu, les frais fixes de $50$ € pèsent lourdement sur chaque unité : pour $2$ objets, $M (2) = 1 + 3 + 25 = 29$ € pièce. En produisant beaucoup, ce sont les coûts de production croissants qui alourdissent la moyenne : pour $50$ objets, $M (50) = 25 + 3 + 1 = 29$ € pièce également. Le minimum du coût moyen indique la taille de production optimale.

C'est exactement la même mécanique qui gouverne le prix unitaire du car de l'introduction : une dépense fixe divisée par un nombre de parts fait apparaître un terme en $\frac{k}{x}$ , et l'étude de la fonction obtenue répond aux questions concrètes (à partir de combien de participants la part descend-elle sous un seuil donné ? quelle production minimise le coût par objet ?).

L'essentiel du chapitre

La fonction inverse $f (x) = \frac{1}{x}$ est définie sur $] - \infty; 0 [\cup] 0; + \infty [$ ( $0$ est une valeur interdite). Sa courbe est une hyperbole à deux branches, symétrique par rapport à l'origine, et $\frac{1}{x}$ est du même signe que $x$ .
Quand $x$ devient très grand (positivement ou négativement), $\frac{1}{x}$ se rapproche de $0$ ; quand $x$ se rapproche de $0$ , $\frac{1}{x}$ devient aussi grand que l'on veut (côté positif) ou descend aussi bas que l'on veut (côté négatif).
Les deux axes du repère sont asymptotes à l'hyperbole : la courbe s'en rapproche autant que l'on veut sans jamais les toucher.
Pour tout $x$ non nul, $f^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}}$ : la fonction inverse est strictement décroissante sur chacun des intervalles $] - \infty; 0 [$ et $] 0; + \infty [$ , mais pas sur leur réunion (double barre dans le tableau de variations).
La dérivée de $\frac{k}{x}$ est $- \frac{k}{x ^{2}}$ . Une fonction $P (x) + \frac{k}{x}$ se dérive terme à terme, puis on réduit $f^{'} (x)$ au même dénominateur $x^{2}$ pour étudier le signe du numérateur.
Coût moyen $=$ coût total divisé par la quantité : on réécrit le quotient en somme avant de dériver. Le minimum du coût moyen donne la taille de production la plus efficace.

Le cours en PDF(PDF, 88 Ko)

Les exercices

14 exercices, difficulté croissante de ★ (application directe) à ★★★★ (défi). Les corrigés détaillés sont dans le PDF — cherchez d'abord, le corrigé ensuite : c'est là que ça progresse.

Exercice 1 ★★★★ — Inverses et ordres de grandeur

La fonction inverse : définition et courbeComportement aux bornes et asymptotes

Sans calculatrice, donner l'inverse de chacun des nombres suivants. On donnera le résultat sous forme décimale ou sous forme de fraction, selon ce qui est le plus simple.

a. $4$
b. $- 5$
c. $0, 5$
d. $- 0, 25$
e. $\frac{2}{3}$
f. $- \frac{3}{4}$
g. $1 0^{4}$
h. $0, 001$
Sans calculatrice, ranger dans l'ordre croissant les inverses des nombres $100$ , $10000$ et $1000000$ . Commenter le résultat en une phrase : que se passe-t-il pour $\frac{1}{x}$ lorsque $x$ devient très grand ?
Donner l'ordre de grandeur du nombre $\frac{1}{0 , 0001}$ . Commenter de même en une phrase : que se passe-t-il pour $\frac{1}{x}$ lorsque $x$ se rapproche de $0$ en restant positif ?

Exercice 2 ★★★★ — Images, antécédents et équations

La fonction inverse : définition et courbe

On note $f$ la fonction inverse, définie pour tout réel $x \neq = 0$ par $f (x) = \frac{1}{x}$ .

Calculer l'image par $f$ de chacun des nombres suivants.

a. $5$
b. $- 2$
c. $0, 1$
d. $\frac{3}{7}$
Déterminer, s'il existe, l'antécédent par $f$ de chacun des nombres suivants. On résoudra à chaque fois l'équation $\frac{1}{x} = b$ .

a. $4$
b. $- 0, 5$
c. $\frac{1}{9}$
Répondre en une phrase à chacune des deux questions suivantes : pourquoi le nombre $0$ n'a-t-il pas d'image par $f$ ? Pourquoi le nombre $0$ n'a-t-il pas d'antécédent par $f$ ?

Exercice 3 ★★★★ — Comparer des inverses sans calculatrice

La fonction inverse : définition et courbeDérivée et sens de variation

La fonction inverse est strictement décroissante sur $] - \infty; 0 [$ et strictement décroissante sur $] 0; + \infty [$ .

Sans calculatrice, comparer les deux nombres proposés dans chaque cas, en justifiant par le sens de variation de la fonction inverse sur l'intervalle concerné.

a. $\frac{1}{3 , 14}$ et $\frac{1}{3 , 15}$
b. $\frac{1}{- 5}$ et $\frac{1}{- 4}$
c. l'inverse de $\frac{2}{3}$ et l'inverse de $\frac{3}{4}$
d. $\frac{1}{0 , 9}$ et $\frac{1}{1 , 1}$
Vrai ou faux, en justifiant : « si $a < b$ , alors $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ». Si l'affirmation est fausse, on donnera un contre-exemple numérique et on précisera dans quels cas elle devient vraie.

Exercice 4 ★★★★ — Lecture graphique sur l'hyperbole

La fonction inverse : définition et courbeComportement aux bornes et asymptotes

La courbe ci-dessous est l'hyperbole représentant la fonction inverse $f : x \mapsto \frac{1}{x}$ . Des pointillés de lecture sont tracés aux points d'abscisses $2$ et $- 0, 5$ .

Hyperbole représentant la fonction inverse, avec les pointillés de lecture aux points d'abscisses 2 et moins 0,5

Lire sur le graphique $f (2)$ et $f (- 0, 5)$ .
Résoudre graphiquement l'équation $f (x) = 0, 5$ .
La courbe coupe-t-elle l'axe des abscisses ? Justifier la réponse par un calcul.
Décrire en une phrase le comportement de la courbe lorsque $x$ devient très grand.

Exercice 5 ★★★★ — Le comportement aux bornes en pratique

Comportement aux bornes et asymptotes

Une association loue une salle pour organiser une soirée. La location coûte $6000$ € au total, et ce montant est partagé équitablement entre les participants. Si $x$ désigne le nombre de participants, le prix payé par personne, en euros, est donné par :

p (x) = \frac{6 000}{x}

Calculer le prix par personne dans chacun des cas suivants.

a. $p (10)$
b. $p (100)$
c. $p (1000)$
d. $p (6000)$
Que devient le prix par personne lorsque le nombre de participants devient très grand ? Interpréter ce résultat dans le contexte de la soirée.
Compléter la phrase suivante : « lorsque $x$ se rapproche de $0$ en restant positif, $p (x)$ devient... ». Le modèle a-t-il un sens pour des valeurs de $x$ très petites ? Expliquer.
Quel nom donne-t-on à la droite dont la courbe de $p$ se rapproche lorsque $x$ devient très grand ? Préciser de quelle droite il s'agit.

Exercice 6 ★★★★ — Vrai ou faux : courbe et asymptotes

Comportement aux bornes et asymptotesLa fonction inverse : définition et courbe

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse à l'aide du cours ou d'un calcul.

La courbe de la fonction inverse passe par l'origine du repère.
La courbe de la fonction inverse coupe l'axe des ordonnées en un point d'ordonnée très grande.
Pour $x > 0$ , le nombre $\frac{1}{x}$ peut devenir inférieur à $0, 00001$ .
L'axe des abscisses est asymptote à la courbe de la fonction inverse.
Puisque $\frac{1}{x}$ se rapproche de $0$ lorsque $x$ devient très grand, il existe un réel $x$ tel que $\frac{1}{x} = 0$ .

Exercice 7 ★★★★ — Dérivée de la fonction inverse et tangentes

Dérivée et sens de variation

On note $f$ la fonction inverse, définie pour tout réel $x \neq = 0$ par $f (x) = \frac{1}{x}$ , et $C$ sa courbe représentative.

Rappeler l'expression de $f^{'} (x)$ , puis calculer chacun des nombres dérivés suivants.

a. $f^{'} (1)$
b. $f^{'} (2)$
c. $f^{'} (- 1)$
d. $f^{'} (0, 5)$
Que remarque-t-on sur le signe de ces quatre nombres dérivés ? Qu'en déduit-on pour la tangente à $C$ en chacun de ces points ?
Déterminer l'équation réduite de la tangente à $C$ au point d'abscisse $1$ .
La courbe $C$ admet-elle une tangente horizontale ? Justifier.

Exercice 8 ★★★★ — Retrouver la dérivée de la fonction inverse

Dérivée et sens de variation

On note $f$ la fonction inverse, définie pour tout réel $x \neq = 0$ par $f (x) = \frac{1}{x}$ . L'objectif de cet exercice est de retrouver l'expression de la dérivée de $f$ à l'aide du taux de variation, comme cela a été fait en classe de première pour les fonctions de référence.

Soit $a$ un réel non nul fixé, et $h$ un réel non nul tel que $a + h \neq = 0$ .

Rappeler la définition du taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$ .
Montrer que ce taux de variation vaut $- \frac{1}{a ( a + h )}$ . On commencera par réduire au même dénominateur la différence $\frac{1}{a + h} - \frac{1}{a}$ .
Que devient ce taux de variation lorsque $h$ se rapproche de $0$ ? En déduire l'expression de $f^{'} (a)$ .
Application. Retrouver la valeur de $f^{'} (3)$ à l'aide du raisonnement de la question 3, puis vérifier la cohérence du résultat avec la formule du cours $f^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}}$ .

Exercice 9 ★★★★ — Dériver des combinaisons

Étudier une combinaison inverse + polynômeDérivée et sens de variation

Dériver chacune des fonctions suivantes, en précisant l'ensemble sur lequel elle est dérivable.

a. $f (x) = \frac{3}{x}$
b. $g (x) = 2 x - \frac{5}{x}$
c. $h (x) = x^{2} + \frac{1}{x}$
d. $k (x) = - x^{3} + 4 x + \frac{2}{x}$
e. $m (x) = 7 - \frac{1}{x}$
f. $n (x) = \frac{x ^{3}}{3} - \frac{9}{x}$
Pour la fonction $g$ de la question 1, calculer $g^{'} (1)$ et interpréter graphiquement ce nombre.

Exercice 10 ★★★★ — Étude guidée d'une fonction combinée

Étudier une combinaison inverse + polynômeDérivée et sens de variation

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par :

f (x) = x + \frac{9}{x}

Calculer $f (1)$ , $f (3)$ et $f (9)$ . Que remarque-t-on ?
Calculer $f^{'} (x)$ pour tout $x$ de $] 0; + \infty [$ , puis montrer que :
$f^{'} (x) = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x ^{2}}$
Étudier le signe de $f^{'} (x)$ sur $] 0; + \infty [$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle.
En déduire que $f$ admet un minimum sur $] 0; + \infty [$ . Préciser la valeur de ce minimum et la valeur de $x$ en laquelle il est atteint.

Exercice 11 ★★★★ — Tangentes à l'hyperbole

Dérivée et sens de variationLa fonction inverse : définition et courbe

On note $f$ la fonction inverse, définie pour tout réel $x \neq = 0$ par $f (x) = \frac{1}{x}$ , et $C$ son hyperbole représentative.

Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à $C$ au point d'abscisse $2$ .
Soit $a$ un réel non nul. Montrer que la tangente à $C$ au point d'abscisse $a$ a pour équation :
$y = - \frac{x}{a ^{2}} + \frac{2}{a}$
Cette tangente coupe l'axe des abscisses en un point $A$ et l'axe des ordonnées en un point $B$ . Montrer que $A$ a pour coordonnées $(2 a; 0)$ et $B$ pour coordonnées $(0; \frac{2}{a})$ .
Vérifier que le point de tangence, c'est-à-dire le point de $C$ d'abscisse $a$ , est le milieu du segment $[A B]$ . Cette jolie propriété est vraie pour toutes les tangentes à l'hyperbole.

Exercice 12 ★★★★ — Lire les variations d'une fonction combinée

Étudier une combinaison inverse + polynômeComportement aux bornes et asymptotes

On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x \neq = 0$ par :

g (x) = x + \frac{4}{x}

Sa courbe représentative est donnée ci-dessous.

Courbe de la fonction g en deux branches, avec tangentes horizontales aux points de coordonnées moins deux moins quatre et deux quatre

Par lecture graphique, donner l'ensemble de définition de $g$ , les abscisses des points où la courbe admet une tangente horizontale, et les extremums locaux de $g$ .
Calculer $g^{'} (x)$ , puis retrouver par le calcul les abscisses des points à tangente horizontale.
Dresser le tableau de variations complet de $g$ sur son ensemble de définition (on n'oubliera pas la double barre en $0$ ).
Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse.

a. « $g$ admet un maximum sur $] 0; + \infty [$ . »

b. « Le maximum local de $g$ sur $] - \infty; 0 [$ vaut $- 4$ . »

Commenter : que peut-on dire du « maximum local » $- 4$ par rapport au « minimum local » $4$ ?

Exercice 13 ★★★★ — Coût moyen de production

Coût moyen, prix unitaire : modélisationÉtudier une combinaison inverse + polynôme

Un atelier produit chaque jour $x$ objets, avec $1 ⩽ x ⩽ 60$ . Le coût total de production, en euros, est modélisé par :

C (x) = 0, 5 x^{2} + 4 x + 128

Calculer le coût total de production de $10$ objets, puis le coût moyen par objet pour cette production de $10$ objets.
Le coût moyen par objet, pour une production de $x$ objets, est défini par $M (x) = \frac{C ( x )}{x}$ . Montrer que, pour tout $x$ de $[1; 60]$ :
$M (x) = 0, 5 x + 4 + \frac{128}{x}$
Calculer $M^{'} (x)$ , puis montrer que :
$M^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 256}{2 x ^{2}}$
Étudier le signe de $M^{'} (x)$ sur $[1; 60]$ , puis dresser le tableau de variations de $M$ sur cet intervalle.
Interpréter : combien d'objets l'atelier doit-il produire chaque jour pour que le coût moyen par objet soit minimal ? Quel est alors ce coût moyen ?

Exercice 14 ★★★★ — Optimiser un coût avec Python

Coût moyen, prix unitaire : modélisationÉtudier une combinaison inverse + polynôme

Une entreprise fabrique des cuves. Lorsqu'elle produit $x$ cuves par semaine, avec $x$ entier et $1 ⩽ x ⩽ 40$ , le coût moyen de fabrication d'une cuve, en dizaines d'euros, est modélisé par :

u (x) = 2 x + 18 + \frac{200}{x}

Calculer $u (5)$ , $u (10)$ et $u (20)$ .
Étude de la fonction. On étudie $u$ sur l'intervalle réel $] 0; 40]$ .

a. Calculer $u^{'} (x)$ , puis montrer que $u^{'} (x) = \frac{2 x ^{2} - 200}{x ^{2}}$ .

b. Étudier le signe de $u^{'} (x)$ sur $] 0; 40]$ et dresser le tableau de variations de $u$ .

c. En déduire la valeur de $x$ qui rend le coût moyen minimal, et la valeur de ce coût moyen minimal.

On donne le script Python suivant.

def u(x):
    return 2 * x + 18 + 200 / x

mini = u(1)
xmin = 1
for x in range(2, 41):
    if u(x) < mini:
        mini = u(x)
        xmin = x
print(xmin, mini)

Expliquer ce que calcule ce script, puis donner la valeur qu'il affiche.

L'entreprise souhaite que le coût moyen d'une cuve soit strictement inférieur à $60$ dizaines d'euros. En s'aidant du tableau de variations et de calculs de $u$ pour des valeurs entières bien choisies, déterminer toutes les productions entières $x$ qui conviennent.

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Le devoir surveillé

Sujet type DS — 60 min, barème sur 20 points. Faites-le en conditions réelles avant de regarder le corrigé (PDF).

Exercice 1 (5 points) — Lecture graphique et comportement

On a représenté ci-dessous la courbe $C$ de la fonction inverse $f$ définie par $f (x) = \frac{1}{x}$ .

Hyperbole représentant la fonction inverse, pointillés de lecture aux points d'abscisse 0,5 et moins 2

Lire graphiquement $f (0, 5)$ et $f (- 2)$ .
Résoudre graphiquement l'équation $f (x) = 2$ .
Donner l'ensemble de définition de $f$ et expliquer pourquoi le nombre $0$ n'a pas d'image par $f$ .
Décrire le comportement de $f (x)$ lorsque $x$ devient très grand. De quelle droite la courbe $C$ se rapproche-t-elle alors ?
Vrai ou faux ? Justifier : « la courbe $C$ coupe l'axe des ordonnées pour $x$ très proche de $0$ ».

Exercice 2 (5 points) — Calculs de dérivées et tangente

Dériver chacune des fonctions suivantes, définies pour tout réel $x \neq = 0$ .

a. $f_{1} (x) = \frac{5}{x}$
b. $f_{2} (x) = 3 x^{2} - \frac{2}{x}$
c. $f_{3} (x) = - x^{3} + x - \frac{4}{x}$
d. $f_{4} (x) = 10 + \frac{7}{x}$
On note $C_{2}$ la courbe représentative de la fonction $f_{2}$ de la question précédente. Calculer $f_{2}^{'} (1)$ , puis déterminer l'équation réduite de la tangente à $C_{2}$ au point d'abscisse $1$ .
La fonction inverse admet-elle une tangente horizontale en un point de sa courbe ? Justifier.

Exercice 3 (6 points) — Étude d'une fonction combinée

On considère la fonction $g$ définie sur $] 0; + \infty [$ par

g (x) = x + \frac{16}{x}

Calculer $g (2)$ , $g (4)$ et $g (8)$ .
Calculer $g^{'} (x)$ , puis montrer que pour tout $x > 0$ , $g^{'} (x) = \frac{( x - 4 ) ( x + 4 )}{x ^{2}}$ .
Étudier le signe de $g^{'} (x)$ sur $] 0; + \infty [$ , puis dresser le tableau de variations de $g$ .
En déduire que pour tout $x > 0$ , on a $g (x) ⩾ 8$ .
Que peut-on dire de $g (x)$ lorsque $x$ devient très grand ? Justifier.

Exercice 4 (4 points) — Coût moyen d'un objet

Une imprimerie produit $x$ affiches par heure, où $x$ appartient à l'intervalle $[5; 50]$ . Le coût total horaire de production, en euros, est donné par

C (x) = 0, 2 x^{2} + 5 x + 45

Le coût moyen par affiche, en euros, est $M (x) = \frac{C ( x )}{x}$ .

Montrer que pour tout $x$ de $[5; 50]$ , $M (x) = 0, 2 x + 5 + \frac{45}{x}$ .
Calculer $M^{'} (x)$ , puis montrer que $M^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 225}{5 x ^{2}}$ .
Dresser le tableau de variations de $M$ sur $[5; 50]$ . Combien d'affiches par heure l'imprimerie doit-elle produire pour que le coût moyen par affiche soit minimal ? Préciser ce coût minimal.

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