Tale techno · Chapitre 09 · Activités géométriques

Perspective centrale

STD2A uniquement

Points et lignes de fuite, ligne d'horizon, image d'un quadrillage et de solides simples.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Points et lignes de fuite
Ligne d'horizon
Image d'un quadrillage et de solides simples

Le cours

Ouvrez n'importe quelle photo de rue : les deux bords du trottoir, rigoureusement parallèles dans la réalité, s'y rejoignent au loin. En première, la perspective cavalière représentait l'espace par une projection parallèle : les arêtes parallèles restaient parallèles, quitte à ne pas ressembler tout à fait à ce que voit l'œil. La perspective centrale remplace cette direction de projection par un point, l'œil : les fuyantes n'y sont plus parallèles, elles convergent. C'est le modèle mathématique exact du dessin d'observation, de la photographie et du décor peint, et c'est l'objet de ce chapitre : son vocabulaire, ses propriétés, et les constructions de base du dessinateur.

De l'ombre au flambeau à la projection centrale

Commençons par une expérience que tout le monde a faite : éclairer une pièce avec une source de lumière ponctuelle, flamme de bougie ou ampoule nue. Chaque objet projette une ombre sur le sol : l'ombre d'un point $M$ est le point où le rayon lumineux issu de la source et passant par $M$ rencontre le sol. On appelle cette situation l'ombre au flambeau. Elle contient déjà toute l'idée du chapitre : une image obtenue en faisant passer des droites par un point fixe, puis en les coupant par un plan.

Ombre au flambeau : la lampe ponctuelle projette l'ombre du bâton sur le sol

Les peintres de la Renaissance ont compris qu'on pouvait dessiner exactement de cette manière. Le graveur Albrecht Dürer a décrit un dispositif resté célèbre, la fenêtre de Dürer : l'artiste fixe son œil en un point (par exemple à l'aide d'un viseur), place une vitre verticale entre lui et le sujet, et décalque sur la vitre ce qu'il voit au travers. Chaque point du sujet est relié à l'œil par un rayon visuel, et ce rayon perce la vitre en un point : c'est là qu'on pose le crayon. Le dessin obtenu sur la vitre est une perspective parfaite. La fenêtre de Dürer fait ainsi la transition entre l'ombre au flambeau et le tableau du peintre : la source ponctuelle est devenue l'œil, le sol est devenu la vitre.

La fenêtre de Dürer vue de profil : les rayons visuels percent la vitre

Il ne reste qu'à traduire ce dispositif en langage géométrique.

Définition

Projection centrale. Un plan $P$ et un point $O$ non situé dans $P$ étant donnés, l'image d'un point $M$ distinct de $O$ est, si elle existe, l'intersection de la droite $(O M)$ avec le plan $P$ .

Le point $O$ s'appelle le point de vue (c'est l'œil de l'observateur) et le plan $P$ le plan de représentation, ou tableau (c'est la vitre de Dürer, la toile du peintre, la feuille du dessinateur).

Le schéma de la définition : l'image M' d'un point M est l'intersection de la droite (OM) avec le tableau

Deux remarques sur cette définition. D'abord le « si elle existe » : lorsque la droite $(O M)$ est parallèle au tableau, elle ne le coupe pas et le point $M$ n'a pas d'image. En pratique on ne dessine que ce qui est devant l'observateur, au-delà du tableau, et la question ne se pose pas. Ensuite, un appareil photo réalise exactement cette projection : le centre optique de l'objectif joue le rôle de $O$ et le capteur celui du tableau (l'image y est simplement renversée). Étudier la perspective centrale, c'est donc aussi comprendre ses photos.

Dans tout le chapitre, sauf mention contraire, le sol est horizontal et le tableau est un plan vertical. La droite d'intersection du tableau et du sol s'appelle la ligne de terre.

Exemple

Calculer une ombre au flambeau avec le théorème de Thalès. Une lampe ponctuelle $O$ est fixée au sommet d'un mât vertical de $3$ m, de pied $P$ . Un bâton vertical de $1, 20$ m est planté à $2, 40$ m du pied du mât : on note $B^{'}$ son pied et $B$ son sommet. Quelle est la longueur de l'ombre du bâton ?

L'ombre du sommet $B$ est le point $E$ où le rayon $(O B)$ rencontre le sol : l'ombre du bâton est le segment $[B^{'} E]$ . Les points $E$ , $B^{'}$ , $P$ sont alignés sur le sol, les points $E$ , $B$ , $O$ sont alignés sur le rayon, et les droites $(B B^{'})$ et $(O P)$ sont parallèles (deux verticales). Le théorème de Thalès donne :

\frac{E B ^{'}}{E P} = \frac{B B ^{'}}{P O} = \frac{1 , 2}{3} = 0, 4

Or $E P = E B^{'} + B^{'} P = E B^{'} + 2, 4$ . L'égalité $E B^{'} = 0, 4 \times (E B^{'} + 2, 4)$ donne $0, 6 \times E B^{'} = 0, 96$ , donc $E B^{'} = 1, 6$ .

L'ombre du bâton mesure $1, 60$ m, et son extrémité $E$ se trouve à $2, 4 + 1, 6 = 4$ m du pied du mât. C'est la configuration exacte de la figure ci-dessus.

Ce que la perspective conserve, ce qu'elle déforme

Avant de construire quoi que ce soit, il faut savoir à quoi s'attendre : parmi les propriétés géométriques d'un objet, lesquelles survivent au passage en perspective ? La réponse est brutale, et c'est elle qui fait toute la difficulté (et tout le charme) du dessin d'observation.

Propriété

Conservation et non-conservation. Par une projection centrale :

l'alignement est conservé : des points alignés ont des images alignées (l'image d'une droite est une droite, l'image d'un segment est un segment) ;
le contact est conservé : si deux lignes se coupent ou se touchent en un point, leurs images se coupent ou se touchent en l'image de ce point.

En revanche, ne sont pas conservés en général :

les longueurs ;
les milieux des segments ;
les rapports de longueurs ;
les angles ;
le parallélisme.

Perspective d'une voie ferrée : rails convergents, traverses resserrées, poteaux de même hauteur réelle représentés à des tailles différentes

Exemple

Sur la photo d'une voie ferrée. La figure ci-dessus concentre toutes les déformations de la liste :

les deux rails sont parallèles dans la réalité, mais leurs images convergent : le parallélisme n'est pas conservé ;
les traverses sont toutes de la même longueur et régulièrement espacées ; sur l'image, elles raccourcissent et se resserrent en s'approchant de l'horizon : ni les longueurs, ni les rapports de longueurs, ni les milieux ne sont conservés ;
rails et traverses se croisent à angle droit dans la réalité, presque jamais sur l'image : les angles ne sont pas conservés ;
les deux poteaux ont la même hauteur réelle ( $3$ m), mais le plus proche paraît nettement plus grand.

Et pourtant tout reste lisible : chaque rail est bien une droite (alignement conservé), chaque traverse touche bien les deux rails et chaque poteau touche bien le sol (contact conservé). C'est ce couple conservation-déformation qui rend une perspective à la fois juste et expressive.

Conséquence pratique immédiate : mesurer sur la photo ne marche pas. Prendre sa règle sur un tirage pour en déduire qu'un poteau est deux fois plus grand qu'un autre, ou qu'une fenêtre est au milieu d'un mur, mène droit au contresens, puisque ni les longueurs, ni les rapports, ni les milieux ne survivent à la projection. Il existe pourtant une exception de taille, bien connue des architectes et des photographes : elle fait l'objet de la section suivante.

Les plans frontaux

Définition

Plan frontal. Un plan est dit frontal lorsqu'il est parallèle au tableau.

Une façade regardée bien en face, le mur du fond d'une pièce vu depuis la porte, la page d'un livre tenue face à l'objectif : autant de figures situées dans des plans frontaux. Pour elles, la perspective se montre beaucoup plus douce.

Propriété

Conservation de forme dans les plans frontaux. Une figure située dans un plan frontal est représentée en vraie forme, à l'échelle : dans ce plan, toutes les longueurs sont multipliées par un même coefficient, et les angles sont conservés.

En particulier, dans un plan frontal : un carré reste un carré, un cercle reste un cercle, les milieux et les rapports de longueurs sont conservés, et deux droites parallèles ont des images parallèles. Le coefficient de réduction dépend du plan : plus le plan frontal est loin de l'observateur, plus ce coefficient est petit.

Cas particulier : une figure tracée dans le tableau lui-même est sa propre image, en vraie grandeur (coefficient $1$ ).

À gauche, une façade dans un plan frontal, représentée en vraie forme ; à droite, le même bâtiment avec un mur en fuite, déformé

C'est exactement ce qui se passait derrière la fenêtre de Dürer vue de profil : l'objet, situé dans un plan frontal, donnait sur la vitre une image réduite mais fidèle. Et c'est pour cela qu'un architecte qui veut documenter une façade la photographie de face : dans un plan frontal, la photo redevient un document mesurable.

Exemple

Photographier une façade de face. Une façade de $6$ m de large est photographiée bien de face : elle est dans un plan frontal, donc représentée en vraie forme, à l'échelle. Sur le tirage, la façade mesure $12$ cm de large.

Le coefficient de l'échelle vaut $\frac{12}{600} = \frac{1}{50}$ : toutes les longueurs de la façade sont divisées par $50$ sur le tirage. On peut alors tout mesurer :

la porte, haute de $2, 40$ m dans la réalité, mesure $240 \div 50 = 4, 8$ cm sur la photo ;
la fenêtre circulaire de $1, 60$ m de diamètre est un cercle parfait de $160 \div 50 = 3, 2$ cm de diamètre ;
les angles droits de la façade sont des angles droits sur l'image.

Dès que le photographe se décale et que la façade cesse d'être frontale, tout cela s'effondre : le rectangle devient un quadrilatère quelconque et le cercle un ovale.

Points de fuite et ligne d'horizon

Revenons aux droites qui s'enfoncent dans la profondeur. On appelle fuyante une droite perpendiculaire au tableau : c'est la direction de profondeur pure, celle des rails quand on regarde la voie dans son axe. Sur l'image, toutes les fuyantes semblent converger vers un même point. Ce phénomène mérite une définition précise, et elle est plus simple qu'il n'y paraît.

Définition

Point de fuite d'une droite. Le point de fuite d'une droite $d$ non parallèle au tableau est l'intersection du plan de représentation avec la droite parallèle à $d$ passant par le point de vue.

Concrètement, l'image de la droite $d$ est une droite qui « aboutit » à ce point : plus un point de $d$ est loin de l'observateur, plus son image est proche du point de fuite. Le point de fuite ne dépend que de la direction de $d$ . Une droite frontale (parallèle au tableau), elle, n'a pas de point de fuite.

Point de fuite principal. Le point de fuite commun à toutes les fuyantes s'appelle le point de fuite principal, noté $F$ . La parallèle à une fuyante passant par $O$ est la perpendiculaire au tableau issue de $O$ : le point $F$ est donc le point du tableau situé exactement en face de l'œil.

Définition

Ligne de fuite, ligne d'horizon. La ligne de fuite d'un plan non frontal est la droite du tableau formée par les points de fuite de toutes les droites de ce plan (non frontales).

Les plans horizontaux (le sol, un plafond, un plateau de table) ont pour ligne de fuite une droite horizontale du tableau appelée ligne d'horizon. Elle est située à la hauteur de l'œil et passe par le point de fuite principal $F$ .

La ligne d'horizon est le premier trait que pose un dessinateur, et pour cause : elle encode la hauteur du regard. Œil au ras du sol (contre-plongée), horizon bas et sujet écrasé contre le ciel ; point de vue en hauteur (plongée), horizon haut et sol largement déployé. Tout ce qui est à hauteur d'œil dans la scène se dessine sur la ligne d'horizon.

Propriété

Images de droites parallèles.

Deux droites parallèles non frontales ont le même point de fuite : leurs images sont concourantes, elles se coupent en ce point de fuite commun.
Deux droites parallèles frontales ont des images parallèles.
Deux plans parallèles non frontaux ont la même ligne de fuite.

C'est la propriété la plus utile du chapitre pour dessiner juste : une famille de droites parallèles dans la réalité, c'est un point de fuite unique sur le papier, un seul point vers lequel tout converge. Et réciproquement, deux segments d'une perspective qui ne convergent pas vers le même point ne peuvent pas représenter des droites parallèles.

Perspective d'une rue : les fuyantes convergent vers le point de fuite principal F, l'allée oblique vers un second point de fuite F' situé lui aussi sur la ligne d'horizon

Exemple

Lire une perspective. Sur la figure ci-dessus, une rue bordée de deux façades est traversée en biais par une allée. Tout se lit avec les définitions :

les lignes de base et de sommet des façades sont des fuyantes : leurs images convergent vers le point de fuite principal $F$ , sur la ligne d'horizon ;
les bords de l'allée sont deux droites parallèles horizontales, mais obliques par rapport au tableau : leurs images convergent vers un autre point de fuite $F^{'}$ . Comme ces droites sont dans le sol, plan horizontal, $F^{'}$ est lui aussi sur la ligne d'horizon : la ligne de fuite du sol ;
les arêtes verticales des façades sont des droites frontales parallèles (le tableau est vertical) : leurs images restent verticales et parallèles entre elles ;
les deux façades sont des plans parallèles non frontaux : elles ont la même ligne de fuite, la droite verticale du tableau passant par $F$ .

Enfin, la ligne d'horizon coupe les portes aux deux tiers de leur hauteur : pour des portes de $2, 40$ m, cela place l'œil à $1, 60$ m du sol. L'observateur est un piéton debout dans la rue.

Construire : quadrillage et solides simples

Passons à la pratique : construire une perspective exacte à la règle, comme le faisaient les ateliers de la Renaissance. La scène est installée ainsi : tableau vertical, ligne de terre en bas, ligne d'horizon à hauteur d'œil, point de fuite principal $F$ sur l'horizon. L'objet à représenter est un carrelage à carreaux carrés posé au sol, dont le premier bord est sur la ligne de terre : ce bord est dans le tableau, donc en vraie grandeur, et on peut y reporter les mesures réelles.

Il manque un seul outil : de quoi contrôler la profondeur. Ce sont les diagonales du carrelage qui le fournissent. Les diagonales des carreaux sont des droites horizontales faisant un angle de $4 5^{\circ}$ avec le tableau : elles ont donc leur point de fuite sur la ligne d'horizon. On l'appelle le point de distance, noté $D$ : c'est le point de fuite des diagonales à $4 5^{\circ}$ du quadrillage. Son nom vient d'une propriété remarquable : la parallèle aux diagonales menée par l'œil $O$ fait elle aussi $4 5^{\circ}$ avec le tableau, si bien que le triangle $O F D$ est rectangle isocèle en $F$ ; ainsi $F D = O F$ , la distance de $D$ au point de fuite principal est exactement la distance de l'œil au tableau.

Méthode

Construire l'image d'un carrelage. Pour représenter un carrelage de $4 \times 4$ carreaux de $1$ m de côté :

tracer la ligne de terre, et y graduer en vraie grandeur les pieds des lignes du quadrillage : cinq points $A_{0}$ , $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ , $A_{4}$ espacés de $1$ m (à l'échelle du dessin) ;
tracer la ligne d'horizon (sa hauteur au-dessus de la ligne de terre est la hauteur de l'œil, à l'échelle), y placer le point de fuite principal $F$ et un point de distance $D$ ;
joindre chaque graduation $A_{i}$ à $F$ : ce sont les images des fuyantes du carrelage ;
tracer la diagonale : la droite joignant $A_{0}$ au point de distance $D$ . Elle représente la diagonale du carrelage, qui traverse les carreaux coin par coin ;
par chaque point d'intersection de cette diagonale avec les fuyantes, tracer la parallèle à la ligne de terre : ce sont les lignes de profondeur du carrelage (les images des rangées successives).

La justification tient en une phrase : la diagonale réelle passe par les coins successifs des carreaux, donc son image (alignement conservé) passe par les images de ces coins, qui sont précisément sur les fuyantes.

Construction de l'image d'un carrelage 4 sur 4 : ligne de terre graduée, fuyantes vers F, diagonale vers le point de distance D, lignes de profondeur

Ce quadrillage en perspective est l'outil universel du dessinateur : une fois posé, il sert de repère pour placer au sol n'importe quel objet, meuble, personnage ou bâtiment, à la bonne taille et à la bonne profondeur. Le même principe du report de profondeur par la diagonale permet de construire les solides du programme, à commencer par le parallélépipède rectangle.

Méthode

Construire l'image d'un pavé droit ayant une face frontale en vraie grandeur. Pour représenter un pavé droit (par exemple un socle d'exposition de $3$ m de large, $1$ m de haut et $2$ m de profondeur) dont la face avant est dans le tableau :

dessiner la face avant en vraie grandeur : un rectangle de $3$ sur $1$ (à l'échelle), posé sur la ligne de terre ;
joindre les quatre sommets de ce rectangle à $F$ : les arêtes de profondeur du pavé sont des fuyantes ;
reporter la profondeur en vraie grandeur sur la ligne de terre : depuis le pied $A$ d'une arête verticale avant, marquer le point $B$ tel que $A B = 2$ m (à l'échelle) ;
tracer la droite $(B D)$ , où $D$ est un point de distance : elle coupe la fuyante issue de $A$ au pied du sommet arrière correspondant (c'est le report de profondeur par la diagonale, exactement comme pour le carrelage) ;
compléter la face arrière : elle est dans un plan frontal, c'est donc un rectangle en vraie forme, réduit ; il suffit de mener par le point obtenu la parallèle à la ligne de terre et les verticales jusqu'aux autres fuyantes ;
repasser les arêtes visibles en trait plein et les arêtes cachées en pointillés.

Construction de l'image d'un pavé droit à face avant frontale : face avant en vraie grandeur, fuyantes vers F, profondeur reportée par la diagonale vers le point de distance

Les autres solides simples du programme s'en déduisent sans outil nouveau. Pour un prisme droit à base frontale, même démarche que pour le pavé : la face avant se dessine en vraie forme (triangle, hexagone...), chaque sommet file vers $F$ , et la face arrière est la même figure réduite, placée grâce au report de profondeur. Pour une pyramide posée sur une base carrée, on construit d'abord l'image de la base (un carreau du quadrillage), puis on trace ses deux diagonales : elles se coupent en l'image du centre de la base, puisque l'alignement et le contact sont conservés. Le sommet de la pyramide est à la verticale de ce centre : on le place sur la droite verticale passant par ce point (les verticales restent verticales quand le tableau est vertical).

Le programme évoque enfin l'esquisse d'un cylindre ou d'un cône inscrits dans un pavé, et le quadrillage y suffit encore. Si l'axe du cylindre est une fuyante, ses deux disques de base sont dans des plans frontaux : ce sont de vrais cercles, inscrits dans les faces avant et arrière du pavé, qu'on relie par deux segments fuyants tangents. Si le cylindre est debout (axe vertical), chaque cercle de base est inscrit dans un carré horizontal : il touche les côtés du carré en leurs milieux. On repère les images de ces quatre points de contact en traçant, par le centre de l'image du carré (croisement des diagonales), la fuyante vers $F$ et la parallèle à la ligne de terre ; l'image du cercle est l'ovale régulier qui passe par ces quatre points, tangent aux côtés. Pour le cône, même base, et le sommet se place à la verticale du centre de la face supérieure, trouvé lui aussi par les diagonales.

Retenez la logique d'ensemble, car c'est celle de tout le chapitre : la perspective centrale détruit les mesures mais conserve les alignements et les contacts. Toute construction exacte s'appuie donc sur ce qui reste vrai, les droites, leurs points de fuite, les plans frontaux en vraie forme, et va y rechercher les informations que le dessin ne montre plus.

Le cours en PDF(PDF, 120 Ko)

Les exercices

14 exercices, difficulté croissante de ★ (application directe) à ★★★★ (défi). Les corrigés détaillés sont dans le PDF — cherchez d'abord, le corrigé ensuite : c'est là que ça progresse.

Exercice 1 ★★★★ — Le vocabulaire de la perspective

Projection centrale : définition et vocabulaire

Le croquis ci-dessous représente une rue bordée d'immeubles, dessinée en perspective centrale comme on l'apprend en dessin d'observation. Cinq éléments y sont repérés par des lettres :

(a) une droite horizontale en pointillés qui traverse tout le dessin ;
(b) un point où se rejoignent plusieurs droites du dessin ;
(c) la droite qui suit le haut de l'immeuble de droite ;
(d) la façade de l'immeuble qui ferme la rue, dessinée face à nous ;
(e) l'arête verticale de l'immeuble de droite, au premier plan.

Croquis d'une rue en perspective centrale : deux immeubles se font face de part et d'autre de la chaussée, leurs lignes de toit et les bords des trottoirs convergent vers un point situé au fond du dessin, sur une droite horizontale en pointillés. Un immeuble vu de face ferme la rue. Des lampadaires longent le trottoir de droite. Cinq éléments sont repérés par les lettres a, b, c, d et e.

Parmi les éléments repérés, identifier :

a. la ligne d'horizon ;
b. le point de fuite principal ;
c. un plan frontal.
L'élément (c) est une fuyante. Citer deux autres fuyantes visibles sur le croquis.
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier en une phrase.

a. Toutes les droites du croquis passent par le point (b).

b. La droite (a) est à la hauteur des yeux de l'observateur.

c. L'arête (e) est une fuyante.

Exercice 2 ★★★★ — L'ombre au flambeau

Projection centrale : définition et vocabulaire

Pour préparer un shooting photo de nuit, une décoratrice étudie les ombres produites par un lampadaire. La lampe, assimilée à une source ponctuelle $S$ , est située au sommet du lampadaire, à $2, 4$ m du sol. Le pied du lampadaire est noté $P$ . Tout se passe dans un même plan vertical, représenté ci-dessous vu de profil : c'est exactement la situation de l'« ombre au flambeau », qui illustre la projection centrale (le centre de projection est la lampe $S$ , l'écran est le sol).

Vue de profil : un lampadaire vertical de sommet S, haut de 2,4 m, est planté en P sur un sol horizontal. Un bâton vertical de 0,8 m de haut est planté en A, à 1,2 m de P. Un rayon lumineux en pointillés part de S, frôle le sommet B du bâton et atteint le sol en un point E. Le segment du sol compris entre A et E, l'ombre du bâton, est mis en évidence.

Un bâton vertical $[A B]$ de $0, 8$ m de haut est planté en $A$ , à $1, 2$ m de $P$ . Son ombre s'étend de $A$ jusqu'au point $E$ où le rayon lumineux issu de $S$ et passant par $B$ touche le sol.

a. Justifier que les droites $(A B)$ et $(P S)$ sont parallèles, puis écrire l'égalité de Thalès dans le triangle $E P S$ .

b. Montrer que $E$ se trouve à $1, 8$ m du pied $P$ du lampadaire.

c. En déduire la longueur de l'ombre du bâton.
La décoratrice remplace le bâton par un autre, de $0, 6$ m de haut, planté à $1, 5$ m de $P$ . Montrer que l'extrémité de son ombre se trouve à $2$ m de $P$ , puis donner la longueur de cette ombre.
Sur une photo du décor, elle repère un piquet dont l'ombre s'arrête exactement à $3$ m de $P$ . Le piquet est planté à $2, 25$ m de $P$ . Calculer la hauteur de ce piquet.

Exercice 3 ★★★★ — La fenêtre de Dürer

Projection centrale : définition et vocabulaire

Le graveur Albrecht Dürer dessinait ses modèles à travers une vitre quadrillée : il marquait sur la vitre le point où son regard rencontrait chaque détail du modèle. La vitre joue le rôle du tableau, l'œil celui du point de vue $O$ : c'est une projection centrale.

On étudie la situation vue de profil. L'œil $O$ est à $1, 5$ m du sol. La vitre est verticale, à $2$ m de l'œil. Derrière la vitre, à $3$ m de celle-ci (donc à $5$ m de l'œil), se dresse un poteau vertical $[F T]$ de $3$ m de haut : $F$ est son pied, posé au sol, et $T$ son sommet.

Le rayon visuel $(O F)$ coupe la vitre en un point noté $F^{'}$ : c'est l'image du pied du poteau. En utilisant le théorème de Thalès avec la droite horizontale passant par $O$ (à $1, 5$ m du sol), montrer que $F^{'}$ se trouve à $0, 9$ m du sol.
De la même façon, le rayon $(O T)$ coupe la vitre en $T^{'}$ , image du sommet. Montrer que $T^{'}$ se trouve à $2, 1$ m du sol.
En déduire la hauteur de l'image du poteau sur la vitre. Comparer à la hauteur réelle du poteau : la longueur est-elle conservée ?
Le poteau recule maintenant à $8$ m de l'œil, sans changer de hauteur. Sans faire tout le calcul, expliquer comment évolue son image sur la vitre : sa taille, et sa position par rapport à la hauteur d'œil. Vers quelle ligne du tableau l'image se resserre-t-elle quand le poteau s'éloigne indéfiniment ?

Exercice 4 ★★★★ — Conservé ou déformé ?

Propriétés conservées et non conservées

En perspective centrale, certaines propriétés géométriques de la scène réelle se retrouvent sur le dessin, d'autres non. Savoir lesquelles, c'est tout l'art du dessin d'observation : cela évite de « mesurer » sur un croquis des choses qui n'y ont aucun sens.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier en une ou deux phrases (au besoin à l'aide d'un exemple : rue en perspective, carrelage, voie ferrée…).

Si trois points de la scène sont alignés, leurs images sur le tableau sont alignées.
L'image du milieu d'un segment est toujours le milieu de l'image de ce segment.
Un angle droit de la scène a toujours pour image un angle droit.
Deux droites parallèles de la scène ont toujours des images parallèles.
Si un objet est posé sur une table (contact), son image touche l'image de la table.
Si un segment de la scène est deux fois plus long qu'un autre, son image est deux fois plus longue que celle de l'autre.
L'image d'un carré tracé au sol (non frontal) est encore un carré.
Deux segments de la scène de même longueur peuvent avoir des images de longueurs différentes.

Exercice 5 ★★★★ — Lire une photographie

Propriétés conservées et non conservéesPoints de fuite et ligne d'horizon

Une photographe a pris ce cliché le long d'une voie ferrée rectiligne, appareil tenu bien horizontal. Le schéma ci-dessous reprend la photo : on y voit les deux rails, une rangée de poteaux électriques tous de même hauteur réelle plantés le long de la voie, et un chemin rectiligne horizontal qui s'écarte de la voie en oblique. Une photographie est une perspective centrale : le point de vue est l'objectif, le tableau est le capteur.

Schéma d'une photographie : deux rails convergent vers un point du fond de l'image ; un chemin bordé de deux lignes converge vers un autre point, plus à droite et à la même hauteur ; une rangée de poteaux verticaux de plus en plus courts longe la voie. Aucune ligne d'horizon n'est tracée.

La ligne d'horizon n'est pas visible sur la photo (le fond est masqué par la végétation). Expliquer comment la retrouver à la règle en utilisant les deux familles de droites parallèles au sol présentes sur l'image : les rails d'une part, les deux bords du chemin d'autre part. Quelle propriété des points de fuite utilise-t-on ?
Les poteaux ont tous la même hauteur réelle. Expliquer pourquoi leurs images sont de plus en plus courtes à mesure que les poteaux s'éloignent de la photographe.
Sur le tirage, l'image du premier poteau mesure $4$ cm et celle du cinquième $1$ cm. Un élève en conclut : « le cinquième poteau est en réalité quatre fois plus petit que le premier ». Expliquer pourquoi ce raisonnement est faux, et pourquoi, plus généralement, on ne peut pas mesurer un rapport de longueurs sur la photo pour des objets qui ne sont pas dans un même plan frontal.
Sur la photo, la crête du talus qui borde la voie, dont on sait qu'elle est partout à $1, 6$ m au-dessus du sol, s'aligne exactement sur la ligne d'horizon trouvée à la question 1. Que peut-on en déduire sur la hauteur de l'objectif au moment de la prise de vue ? Justifier.

Exercice 6 ★★★★ — La façade en plan frontal

Plans frontaux et conservation de forme

Pour un projet de rénovation, un architecte photographie la façade d'une maison bien de face : le plan de la façade est parallèle au capteur de l'appareil, c'est un plan frontal. Dans ce cas, la perspective centrale se comporte comme une réduction : la façade est reproduite à l'échelle, formes et proportions conservées.

La façade réelle mesure $8$ m de large et $5$ m de haut. Sur le tirage papier, sa largeur mesure $6, 4$ cm.

Photographie schématisée d'une façade vue parfaitement de face : un rectangle représente le mur, percé d'une porte rectangulaire et d'un œil-de-bœuf circulaire sous le pignon. Les cotes réelles, 8 m de large et 5 m de haut, sont indiquées à l'extérieur ; la largeur sur le tirage, 6,4 cm, est indiquée sous l'image. Sur la droite, le mur latéral part en fuite vers le fond.

Vérifier que le coefficient de réduction entre la façade réelle et son image vaut $\frac{1}{125}$ , puis en déduire la hauteur de la façade sur le tirage.
Sur le tirage, la porte mesure $1, 6$ cm de haut. Quelle est sa hauteur réelle ?
L'œil-de-bœuf (la petite fenêtre ronde sous le toit) a un diamètre réel de $1, 25$ m.

a. Quel est son diamètre sur le tirage ?

b. Quelle est la forme de son image : cercle, ellipse, ovale quelconque ? Justifier à l'aide de la propriété des plans frontaux.
Vrai ou faux, à justifier : « sur la même photo, le mur latéral de la maison, qui part en fuite vers le fond, peut se mesurer avec le même coefficient $\frac{1}{125}$ ».

Exercice 7 ★★★★ — La vitrine et le carrelage

Plans frontaux et conservation de formePropriétés conservées et non conservées

Un designer photographie la vitrine d'une boutique, bien de face. La vitrine est aménagée ainsi :

le panneau du fond, vertical et parallèle à la vitre (donc frontal), est décoré d'un damier carré de $6 \times 6$ carreaux de $25$ cm de côté ;
le sol de la vitrine, horizontal, part en profondeur vers le fond ; il est carrelé avec le même damier ( $6 \times 6$ carreaux de $25$ cm).

Photographie schématisée d'une vitrine : au fond, un damier carré régulier de 6 carreaux sur 6, parfaitement quadrillé ; au sol, le même damier vu en perspective, dont les carreaux du premier plan paraissent nettement plus grands que ceux du fond et dont les lignes de profondeur, prolongées, convergeraient vers un même point.

Sur la photo, le damier du fond reste un damier parfaitement régulier : tous les carreaux y sont des carrés égaux. Justifier à l'aide de la propriété des plans frontaux.
Le damier du sol, lui, apparaît déformé.

a. Les carreaux les plus proches de la vitre paraissent plus grands que ceux du fond, alors qu'ils sont identiques en réalité. Expliquer pourquoi.

b. Sur la photo, les lignes du carrelage qui partent en profondeur ne sont plus parallèles. Que font-elles, et comment s'appelle le point où elles se rejoignent ?

c. Les lignes du carrelage parallèles à la vitre restent-elles parallèles entre elles sur la photo ? Justifier.
Sur le tirage, le damier du fond mesure $3$ cm de large.

a. Vérifier que le damier réel mesure $1, 50$ m de large, puis calculer le coefficient de réduction entre le panneau du fond et son image.

b. En déduire la longueur du côté d'un carreau du fond sur le tirage.

Exercice 8 ★★★★ — Points de fuite sur un croquis

Points de fuite et ligne d'horizon

En design d'espace, savoir lire un croquis en perspective est aussi utile que savoir le tracer. On étudie le croquis ci-dessous : un pavillon d'exposition en forme de parallélépipède rectangle, vu d'angle. Aucune de ses façades n'est parallèle au tableau, mais les arêtes verticales du bâtiment restent verticales sur le dessin. Le dessinateur travaillait debout, l'œil à $1, 60$ m du sol. Ni la ligne d'horizon ni les points de fuite n'ont été tracés sur le croquis.

Croquis en perspective d'un pavillon parallélépipédique vu d'angle, avec un bandeau vitré horizontal sur chaque façade ; ni horizon ni points de fuite tracés

Prolonger les images des arêtes horizontales de la façade de droite (bord du toit, bandeau vitré, pied de façade) : que constate-t-on ? On note $F_{1}$ le point obtenu. Faire de même avec la façade de gauche et noter $F_{2}$ le point obtenu. Justifier cette observation à l'aide d'une propriété du cours.
En déduire le tracé de la ligne d'horizon du croquis. Justifier que $F_{1}$ et $F_{2}$ se trouvent nécessairement tous les deux sur cette ligne. À quelle hauteur réelle la ligne d'horizon coupe-t-elle chacune des arêtes verticales du pavillon ?
Sur le croquis, les images des arêtes verticales sont parallèles entre elles. Expliquer pourquoi ces arêtes n'ont pas de point de fuite.
Dans la réalité, quelles arêtes du pavillon sont parallèles entre elles ? Regrouper les douze arêtes du parallélépipède en familles de droites parallèles, et indiquer comment chaque famille se reconnaît sur le croquis.

Exercice 9 ★★★★ — La bonne hauteur des personnages

Points de fuite et ligne d'horizonPropriétés conservées et non conservées

Une illustratrice de bande dessinée met en scène des personnages sur une esplanade parfaitement horizontale. Elle dessine debout : la ligne d'horizon de sa planche est à hauteur de son œil, soit $1, 60$ m au-dessus du sol. Sur la figure ci-dessous, elle a déjà dessiné un premier personnage adulte $A$ au premier plan ; comme elle, il a les yeux à $1, 60$ m du sol, et sur le dessin ses yeux sont exactement sur la ligne d'horizon. Un point $P$ est marqué au sol, beaucoup plus loin dans la scène.

Scène de bande dessinée : sol horizontal, ligne d'horizon, un personnage adulte au premier plan dont les yeux touchent l'horizon, un point P marqué au sol plus loin

L'illustratrice veut placer en $P$ un deuxième adulte de la même taille, debout, les yeux également à $1, 60$ m du sol. Où ses yeux se trouveront-ils sur le dessin ? Justifier soigneusement à l'aide de la définition de la ligne d'horizon, puis expliquer comment dessiner ce personnage sans aucun calcul.
Elle veut maintenant dessiner en $P$ , à la place de l'adulte, un enfant dont les yeux sont à $1, 20$ m du sol.

a. Le point $P$ et le personnage qui s'y tient appartiennent à un même plan frontal. Rappeler ce que devient un plan frontal par projection centrale, et en déduire que, à cet emplacement, les hauteurs dessinées sont proportionnelles aux hauteurs réelles.

b. En déduire une méthode : à quelle fraction de la hauteur « pieds-yeux » de l'adulte dessiné en $P$ faut-il placer les yeux de l'enfant ? Les yeux de l'enfant sont-ils au-dessus ou au-dessous de la ligne d'horizon ?
Vrai ou faux (justifier) : « un personnage assis au premier plan peut avoir la tête dessinée sous la ligne d'horizon, même s'il est tout proche du spectateur ».

Exercice 10 ★★★★ — Parallèles ou pas ?

Points de fuite et ligne d'horizonPropriétés conservées et non conservées

La figure ci-dessous représente une galerie d'exposition dessinée en perspective centrale : sol, plafond, murs latéraux et mur du fond. La ligne d'horizon et le point de fuite principal $F$ sont tracés. Une porte est entrouverte dans le mur de droite, son battant ouvert vers l'intérieur de la galerie. Huit segments sont repérés sur le dessin :

$[A B]$ : le pied du mur de gauche

$[C D]$ : le haut du mur de droite

$[E G]$ : le bord supérieur du mur du fond

$[H I]$ : une cimaise fixée sur le mur du fond

$[J K]$ : un ruban adhésif rectiligne collé au sol

$[L M]$ : l'arête entre le mur du fond et le mur de gauche

$[N P]$ : le bord supérieur du battant de la porte

$[QR]$ : le bord inférieur du battant, au ras du sol

Galerie en perspective frontale à un point de fuite, avec ligne d'horizon, point F, porte entrouverte dans le mur de droite et huit segments repérés de A à R

En prolongeant les segments à la règle, repérer tous ceux dont l'image passe par le point de fuite principal $F$ . Que peut-on en déduire pour les droites réelles correspondantes ? Justifier.
Pour chacune des paires suivantes, dire si les droites réelles sont parallèles, sécantes, ou si l'on ne peut pas conclure. Justifier chaque réponse à l'aide des points de fuite.

a. $(E G)$ et $(H I)$ .

b. $(N P)$ et $(QR)$ .

c. $(A B)$ et $(QR)$ .
Sur le dessin, les images de $[J K]$ et de $[L M]$ sont parallèles (toutes deux verticales). Peut-on en conclure que les droites réelles $(J K)$ et $(L M)$ sont parallèles ? Analyser précisément la situation de chacune des deux droites, puis conclure.

Exercice 11 ★★★★ — Le carrelage en perspective

Construire l'image d'un quadrillage ou d'un solidePoints de fuite et ligne d'horizon

Une designeuse d'intérieur dessine le sol d'un showroom : un carrelage carré de $4 \times 4$ carreaux, chaque carreau mesurant $1$ m de côté. Elle travaille en perspective centrale, à l'échelle $\frac{1}{50}$ : $2$ cm sur le dessin représentent $1$ m dans la réalité.

Sur la figure de départ ci-dessous sont déjà tracés :

la ligne de terre, sur laquelle est posé le bord avant du carrelage, donc représenté en vraie grandeur : les points $A_{0}$ , $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ , $A_{4}$ sont régulièrement espacés de $2$ cm ;
la ligne d'horizon, $4$ cm au-dessus de la ligne de terre ;
le point de fuite principal $F$ , sur l'horizon, au-dessus de $A_{2}$ ;
un point $D$ sur la ligne d'horizon, à $6$ cm à droite de $F$ : c'est le point de fuite des diagonales du carrelage (les diagonales des carreaux orientées à $4 5^{\circ}$ vers la droite).

Figure de départ : ligne de terre graduée de A0 à A4, ligne d'horizon 4 cm au-dessus, point de fuite principal F au-dessus de A2 et point D sur l'horizon à 6 cm de F

Reproduire la figure, puis construire l'image du carrelage en suivant les étapes.

Tracer les cinq droites $(A_{0} F)$ , $(A_{1} F)$ , $(A_{2} F)$ , $(A_{3} F)$ , $(A_{4} F)$ . De quelles lignes du carrelage sont-elles les images ? Justifier qu'elles passent toutes par $F$ .
Tracer le segment $[A_{0} D]$ : c'est l'image de la diagonale du carrelage qui part de $A_{0}$ et traverse le sol à $4 5^{\circ}$ . Justifier que le point de fuite d'une telle diagonale se trouve nécessairement sur la ligne d'horizon.
Marquer les points d'intersection de $[A_{0} D]$ avec les droites $(A_{1} F)$ , $(A_{2} F)$ , $(A_{3} F)$ et $(A_{4} F)$ , puis tracer par chacun de ces points une droite horizontale. Expliquer pourquoi ces horizontales sont les images des quatre lignes de profondeur du carrelage, et pourquoi elles restent horizontales sur le dessin. Achever le tracé du carrelage.
Que représente la distance $F D$ pour la designeuse ? En déduire à quelle distance du tableau se trouve son œil dans la réalité.

Exercice 12 ★★★★ — La boîte en perspective frontale

Construire l'image d'un quadrillage ou d'un solide

Pour une scénographie de vitrine, un designer doit dessiner un socle d'exposition en forme de parallélépipède rectangle : $160$ cm de largeur, $100$ cm de hauteur et $160$ cm de profondeur (sa base est donc un carré). Il le dessine en perspective frontale à l'échelle $\frac{1}{40}$ ( $1$ cm sur le dessin représente $40$ cm) : la face avant du socle est dans le plan du tableau, donc représentée en vraie grandeur.

Sur la figure de départ ci-dessous sont déjà tracés :

la ligne de terre, et la face avant du socle : le rectangle $P QR S$ de $4$ cm $\times$ $2, 5$ cm posé sur la ligne de terre ( $P$ en bas à gauche, $Q$ en bas à droite, $R$ en haut à droite, $S$ en haut à gauche) ;
la ligne d'horizon, $3$ cm au-dessus de la ligne de terre ;
le point de fuite principal $F$ , sur l'horizon, $2$ cm à droite de la verticale de $Q$ ;
le point $D$ , sur l'horizon, $5$ cm à droite de $F$ : c'est le point de fuite des droites horizontales qui font un angle de $4 5^{\circ}$ avec le tableau (point de fuite des diagonales, comme à l'exercice 11).

Figure de départ : rectangle PQRS de 4 cm sur 2,5 cm posé sur la ligne de terre, ligne d'horizon 3 cm au-dessus, point de fuite F et point de distance D

Reproduire la figure, puis construire l'image du socle.

Tracer les quatre fuyantes $(P F)$ , $(QF)$ , $(R F)$ et $(S F)$ . Justifier que les images des quatre arêtes de profondeur du socle sont portées par ces droites.
La base du socle est un carré de $160$ cm de côté. Justifier que la diagonale de la base issue de $P$ a pour point de fuite le point $D$ . Tracer le segment $[P D]$ et marquer le point $Q^{'}$ où il coupe la droite $(QF)$ . Que représente $Q^{'}$ ?
Achever la construction : tracer l'horizontale passant par $Q^{'}$ , qui coupe $(P F)$ en $P^{'}$ ; élever les verticales en $P^{'}$ et $Q^{'}$ jusqu'aux droites $(S F)$ et $(R F)$ , ce qui donne $S^{'}$ et $R^{'}$ ; tracer $[S^{'} R^{'}]$ . Repasser en traits pointillés les arêtes cachées du socle : lesquelles sont-ce, et pourquoi ?
Questions de justification.

a. La face arrière $P^{'} Q^{'} R^{'} S^{'}$ est-elle encore un rectangle sur le dessin ? Justifier, puis comparer ses dimensions à celles de la face avant (on pourra mesurer).

b. Soit $M$ le milieu de l'arête de profondeur au sol issue de $P$ (le point situé à $80$ cm du bord avant, sur le socle réel). Construire l'image de $M$ : tracer la seconde diagonale de la base, le segment $[Q P^{'}]$ , marquer le point $Ω$ où elle coupe $[P Q^{'}]$ , puis tracer l'horizontale passant par $Ω$ . L'image de $M$ est-elle le milieu du segment $[P P^{'}]$ ? Quelle propriété du cours retrouve-t-on ?

Exercice 13 ★★★★ — Prisme et pyramide

Construire l'image d'un quadrillage ou d'un solidePoints de fuite et ligne d'horizon

Pour un salon du design, une agence dessine deux volumes d'exposition posés au sol : un totem en forme de pyramide à base carrée (base de $2$ m de côté, hauteur $3$ m) et un module en forme de prisme droit à base triangulaire (face avant : triangle isocèle de $1, 50$ m de base et $1, 50$ m de hauteur ; profondeur : $1$ m). Le dessin est en perspective frontale à l'échelle $\frac{1}{50}$ ( $2$ cm pour $1$ m). L'œil est à $1, 60$ m du sol et à $3$ m du tableau.

Sur la figure de départ sont déjà tracés :

la ligne de terre et la ligne d'horizon, $3, 2$ cm au-dessus ;
le point de fuite principal $F$ et le point de fuite des diagonales $D$ , sur l'horizon, $6$ cm à droite de $F$ ;
l'image de la base carrée de la pyramide, construite comme un carreau de carrelage (méthode de l'exercice 11) : le quadrilatère $A B B^{'} A^{'}$ , avec $[A B]$ posé sur la ligne de terre ( $A B = 4$ cm) et $[A^{'} B^{'}]$ horizontal ;
la face avant du prisme : le triangle $P QR$ en vraie grandeur, $[P Q]$ posé sur la ligne de terre ( $P Q = 3$ cm) et $R$ à $3$ cm au-dessus du milieu de $[P Q]$ .

Figure de départ : ligne de terre, horizon, points F et D, image de la base carrée de la pyramide et triangle avant du prisme en vraie grandeur

La pyramide.

a. Tracer les segments $[A B^{'}]$ et $[B A^{'}]$ et marquer leur point d'intersection $Ω$ . Justifier que $Ω$ est l'image du centre de la base carrée.

b. Le sommet de la pyramide est à la verticale du centre de la base, à $3$ m de hauteur. Construire son image $S$ en suivant les étapes, et en justifiant chacune : prolonger la droite $(F Ω)$ jusqu'à la ligne de terre, en un point noté $H$ ; placer $H^{'}$ à $6$ cm au-dessus de $H$ ; tracer la droite $(H^{'} F)$ ; $S$ est son intersection avec la verticale passant par $Ω$ . Pourquoi le report de $6$ cm se fait-il en vraie grandeur en $H$ ?

c. Tracer les arêtes de la pyramide, en repassant les arêtes cachées en pointillés. Lesquelles sont cachées ?

d. L'image $Ω$ du centre est-elle le milieu du segment $[A B^{'}]$ ? Vérifier à la règle et expliquer.
Le prisme.

a. Tracer les fuyantes $(P F)$ , $(QF)$ et $(R F)$ . Quelles arêtes du prisme ont leur image portée par ces droites ?

b. Placer le point $I$ sur la ligne de terre, $2$ cm à gauche de $Q$ . Tracer la droite $(I D)$ et marquer le point $Q^{'}$ où elle coupe $(QF)$ . Justifier que $Q^{'}$ est l'image du pied de l'arête arrière issue de $Q$ (on rappelle que le prisme a $1$ m de profondeur).

c. Achever le prisme : horizontale par $Q^{'}$ jusqu'à $(P F)$ en $P^{'}$ , puis sommet arrière $R^{'}$ sur $(R F)$ , à la verticale du milieu de $[P^{'} Q^{'}]$ . Justifier que le triangle arrière est un triangle isocèle de même forme que $P QR$ , puis repasser en pointillés les arêtes cachées.

Exercice 14 ★★★★ — Le décor de scène

Construire l'image d'un quadrillage ou d'un solidePoints de fuite et ligne d'horizonPlans frontaux et conservation de forme

Une scénographe prépare le décor d'une pièce de théâtre. La salle à représenter est une « boîte ouverte » : $6$ m de largeur, $3$ m de hauteur, $4$ m de profondeur. Le sol est carrelé de carreaux carrés de $1$ m de côté ; une porte de $2$ m de haut et $1$ m de large est percée dans le mur de droite, son montant le plus proche du fond étant à mi-profondeur de la salle ( $2$ m du mur du fond).

Elle dessine la salle en perspective frontale en prenant pour plan du tableau le plan du mur du fond, et pour échelle $\frac{1}{50}$ . Le spectateur de référence est assis dans l'axe de la salle, l'œil à $1, 50$ m du sol et à $6$ m du mur du fond. Toute la salle est donc située entre l'œil et le tableau : sur le dessin, le sol, le plafond et les murs latéraux s'étalent autour du mur du fond, jusqu'aux bords de la feuille. La ligne de terre est ici le pied du mur du fond, gradué tous les $2$ cm.

Décor de scène en perspective frontale : mur du fond rectangulaire au centre, sol carrelé s'étalant vers le spectateur, porte dans le mur de droite, ligne d'horizon avec les points F et D

Le mur du fond.

a. Vérifier par le calcul les dimensions de l'image du mur du fond sur le dessin, et justifier pourquoi ce mur y apparaît en vraie forme, sans aucune déformation.

b. La ligne d'horizon est tracée $3$ cm au-dessus du pied du mur du fond. Retrouver la hauteur de l'œil du spectateur de référence, en justifiant.
Le carrelage du sol. Décrire, étape par étape, la construction de l'image du carrelage : que fait-on des graduations du pied du mur, quel rôle jouent le point $F$ puis le point $D$ , et comment obtient-on les lignes frontales du carrelage ? Justifier que $D$ est sur la ligne d'horizon, puis vérifier que la position de $D$ ( $12$ cm de $F$ ) correspond bien à un spectateur placé à $6$ m du mur du fond.
La porte. Les hauteurs sur le mur de droite ne peuvent pas se mesurer directement sur le dessin, car ce mur est en fuite. Décrire la construction de l'image du montant de la porte situé à $2$ m du fond : où reporte-t-on la hauteur de $2$ m en vraie grandeur, quelle fuyante trace-t-on ensuite, et comment obtient-on le haut du montant ? Donner alors la hauteur de l'image de ce montant, mesurée sur le dessin achevé, et expliquer pourquoi elle dépasse $4$ cm.
Question critique. Le metteur en scène souhaite aussi un damier peint de carreaux de $1$ m sur le mur du fond. Des deux quadrillages du décor — celui du mur du fond et celui du sol — lequel peut être dessiné directement à la règle, à l'échelle, sans aucune construction de perspective ? Justifier soigneusement la différence.

Les exercices(PDF, 173 Ko)Les corrigés(PDF, 305 Ko)

Le devoir surveillé

Sujet type DS — 60 min, barème sur 20 points. Faites-le en conditions réelles avant de regarder le corrigé (PDF).

Exercice 1 (4 points) — Vocabulaire et propriétés

Perspective centrale du couloir d'une galerie d'exposition, avec ligne d'horizon, point de fuite principal F, points A, B, C sur le pied du mur de droite, points R, M, S sur le pied du mur de gauche et cadres accrochés aux murs

La figure ci-dessus représente, en perspective centrale, le couloir d'une galerie d'exposition. La ligne d'horizon et le point de fuite principal $F$ y sont tracés.

Les points $A$ , $B$ et $C$ sont les images de trois spots lumineux alignés le long du pied du mur de droite.
Les points $R$ et $S$ sont les images des deux extrémités du pied du mur de gauche, et $M$ est l'image du milieu réel de ce pied de mur.
Un cadre rectangulaire est accroché au mur du fond, deux autres au mur de droite.

Pour chacune des affirmations suivantes ( $0, 8$ point par affirmation), dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse à l'aide d'une propriété du cours. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

« Les trois spots réels étant alignés, leurs images $A$ , $B$ et $C$ sont nécessairement alignées sur le dessin. »
« Les pieds des murs de gauche et de droite sont deux droites parallèles dans la réalité, donc leurs images sur le dessin sont deux droites parallèles. »
« La ligne d'horizon du dessin est à la hauteur de l'œil de l'observateur. »
« Comme $M$ est l'image du milieu du pied du mur de gauche, $M$ est le milieu du segment $[R S]$ . »
« Le cadre accroché au mur du fond est représenté en vraie forme, c'est-à-dire que son image est à l'échelle du cadre réel. »

Exercice 2 (5 points) — L'affiche en plan frontal

À gauche, photo prise de face : l'affiche rectangulaire avec son logo circulaire, largeur cotée 4,8 cm et hauteur marquée d'un point d'interrogation ; à droite, photo de la même affiche collée sur le mur latéral, vue en fuite vers un point de fuite F

Pour le dossier de presse d'une exposition, on photographie une affiche rectangulaire de $1, 2$ m de large et $1, 8$ m de haut, collée sur le mur du fond de la salle. Ce mur est un plan frontal : il est parallèle au tableau (photo n°1, prise de face). Sur la photo n°1, l'affiche mesure $4, 8$ cm de large.

a. (1 point) Justifier que le coefficient de réduction entre l'affiche réelle et son image sur la photo n°1 est égal à $\frac{1}{25}$ .

b. (1 point) Calculer la hauteur de l'affiche sur la photo n°1.

c. ( $1, 5$ point) L'affiche porte un logo circulaire de $30$ cm de diamètre. Quel est le diamètre du logo sur la photo n°1 ? Quelle est la forme de son image ? Justifier à l'aide d'une propriété du cours.

d. ( $1, 5$ point) La même affiche est ensuite collée sur le mur latéral de la salle, qui s'éloigne en fuite, puis photographiée du même point de vue (photo n°2). Léa affirme : « il suffit de mesurer sur la photo n°2 et de multiplier par $25$ pour retrouver les dimensions réelles de l'affiche ». A-t-elle raison ? Justifier soigneusement.

Exercice 3 (5 points) — L'ombre et la lanterne

Vue de profil : mât vertical PL de 3 m surmonté d'une lanterne L, borne verticale BH de 1 m située à 2 m du pied P du mât, rayon lumineux en pointillés issu de L passant par H, point d'interrogation au sol au-delà de la borne

Dans une cour de musée, une lanterne éclaire la scène depuis le sommet d'un mât vertical $[P L]$ de $3$ m de haut : $P$ est le pied du mât, au sol, et la lanterne est assimilée au point $L$ . On étudie, de profil, les ombres portées sur le sol horizontal.

Une borne verticale $[B H]$ de $1$ m de haut est plantée à $2$ m du pied du mât : $B$ est au sol, avec $P B = 2$ m, et $H$ est le sommet de la borne.

a. (2 points) L'ombre de la borne s'étend de $B$ jusqu'à un point $E$ du sol tel que $E$ , $H$ et $L$ sont alignés. En appliquant le théorème de Thalès dans le triangle $E L P$ , montrer que $\frac{E B}{E B + 2} = \frac{1}{3}$ , puis calculer $E B$ et la distance $P E$ .

b. (2 points) Une deuxième borne verticale $[B^{'} H^{'}]$ , de $0, 9$ m de haut, est plantée plus loin dans l'alignement : son ombre s'arrête en un point $E^{'}$ situé à $4, 5$ m du pied du mât. Calculer la distance $P B^{'}$ entre cette borne et le mât.

c. (1 point) Question de cours : expliquer en quoi l'ombre au flambeau relève de la projection centrale. On précisera quel point joue le rôle du centre de projection et quel plan joue le rôle du plan de projection.

Exercice 4 (6 points) — La salle d'exposition

Figure de départ : ligne de terre graduée par les points A0, A1, A2, A3 espacés de 2 cm, ligne d'horizon à 3,5 cm au-dessus portant le point de fuite principal F au centre et le point de distance D à 5 cm de F

On veut représenter en perspective centrale le sol carrelé d'une salle d'exposition. Sur la figure de départ (à compléter) :

la ligne de terre est graduée par les points $A_{0}$ , $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ , régulièrement espacés de $2$ cm ; à l'échelle du dessin, $2$ cm représentent $1$ m réel ;
la ligne d'horizon est tracée à $3, 5$ cm au-dessus de la ligne de terre ; le point de fuite principal $F$ est placé à la verticale du milieu de $[A_{0} A_{3}]$ ;
le point $D$ , situé sur la ligne d'horizon à $5$ cm de $F$ , est le point de distance : c'est le point de fuite des diagonales du carrelage, c'est-à-dire des droites horizontales du sol faisant un angle de $4 5^{\circ}$ avec le tableau.

Le carrelage réel est un quadrillage carré de $3 \times 3$ carreaux de $1$ m de côté, dont le bord avant, posé dans le plan du tableau, est représenté par le segment $[A_{0} A_{3}]$ .

a. (2 points) Construire sur la figure l'image du carrelage $3 \times 3$ en utilisant le point de distance $D$ . Décrire les étapes de la construction.

b. (1 point) Dans la réalité, les joints du carrelage parallèles au bord avant sont des droites horizontales du sol. Justifier que leurs images sont des segments parallèles à la ligne de terre.

c. (2 points) Sur le carreau avant-gauche du carrelage, on pose un cube de $1$ m d'arête dont la face avant est dans le plan du tableau : cette face avant est donc représentée en vraie grandeur par un carré de $2$ cm de côté construit sur $[A_{0} A_{1}]$ . Décrire la construction de l'image de la face arrière du cube, puis la réaliser sur la figure.

d. (1 point) Expliquer pourquoi l'image de la face arrière du cube est un carré, et pourquoi ce carré est plus petit que la face avant.

Le sujet du DS(PDF, 82 Ko)Le corrigé du DS(PDF, 117 Ko)

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