Probabilités conditionnelles

Dans tout l'exercice, $A$ et $B$ désignent deux événements d'une même expérience aléatoire, avec $P(A)\ne 0$.

1. Dans chaque cas, calculer $P_A(B)$.

   a. $P(A)=0,4$ et $P(A\cap B)=0,12$

   b. $P(A)=0,25$ et $P(A\cap B)=0,2$

2. Dans chaque cas, calculer $P(A\cap B)$.

   a. $P(A)=0,6$ et $P_A(B)=0,35$

   b. $P(A)=0,8$ et $P_A(B)=0,45$

3. On sait que $P_A(B)=0,72$. Calculer $P_A(\overline{B})$.

Une entreprise emploie $250$ salariés. Le service des ressources humaines a interrogé l'ensemble du personnel sur la pratique du télétravail. Les résultats sont regroupés dans le tableau croisé d'effectifs ci-dessous.

On choisit un salarié au hasard (tous les salariés ont la même probabilité d'être choisis). On note :

• $A$ l'événement « le salarié a moins de 40 ans » ;
• $B$ l'événement « le salarié pratique le télétravail ».

1. Combien de salariés pratiquent le télétravail ? Parmi eux, combien ont moins de 40 ans ?
2. Calculer $P(A)$ et $P(A\cap B)$.
3. Calculer $P_A(B)$.
4. Calculer $P_B(A)$.
5. Interpréter la valeur de $P_B(A)$ par une phrase.

Une salle de sport étudie les habitudes de ses abonnés. On choisit un abonné au hasard et on note :

• $S$ l'événement « l'abonné suit des cours collectifs » ;
• $M$ l'événement « l'abonné utilise l'application mobile de la salle ».

On sait que $P(S)=0,4$, que $P_S(M)=0,75$ et que $P_{\overline{S}}(M)=0,3$. La situation est représentée par l'arbre pondéré ci-dessous, dans lequel trois poids sont manquants.

1. Reproduire l'arbre et compléter les trois poids manquants, en justifiant chaque valeur.
2. Donner, par lecture de l'arbre complété, $P_S(\overline{M})$.
3. Calculer $P(S\cap M)$ et interpréter le résultat par une phrase.

Une médiathèque a relevé, sur une journée, les $200$ emprunts effectués. Chaque emprunteur est reparti avec un seul document, un roman ou une bande dessinée (BD).

On choisit un emprunteur au hasard et on note :

• $A$ l'événement « l'emprunteur est un adulte » ;
• $R$ l'événement « l'emprunteur est reparti avec un roman ».

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant par un calcul.

1. Affirmation 1. Sachant que l'emprunteur est reparti avec un roman, la probabilité que ce soit un adulte est égale à $0,75$.
2. Affirmation 2. La probabilité que l'emprunteur soit un adulte et qu'il soit reparti avec un roman est égale à $0,75$.
3. Affirmation 3. Sachant que l'emprunteur est un adulte, la probabilité qu'il soit reparti avec une BD est égale à $0,25$.
4. Affirmation 4. La phrase « parmi les adolescents, $87,5\%$ sont repartis avec une BD » se traduit par l'égalité $P(\overline{A}\cap \overline{R})=0,875$.

Un garage automobile a reçu $600$ clients au cours du dernier trimestre. Chaque client est soit un particulier, soit un professionnel, et chaque visite concerne soit un entretien, soit une réparation.

Le gérant a relevé les informations suivantes :

• $75\%$ des clients sont des particuliers ;
• parmi les particuliers, $60\%$ sont venus pour un entretien ;
• parmi les professionnels, $20\%$ sont venus pour un entretien.

On choisit un client au hasard parmi les $600$ et on note :

• $A$ l'événement « le client est un particulier » ;
• $E$ l'événement « la visite concerne un entretien ».

1. Recopier et compléter le tableau croisé d'effectifs ci-dessous.

   	Entretien	Réparation	Total
   Particuliers
   Professionnels
   Total			$600$

2. Calculer $P(E)$ et $P(A\cap \overline{E})$.

3. Calculer $P_{\overline{E}}(A)$ et interpréter cette probabilité par une phrase.

Une boulangerie étudie le comportement de ses clients. On choisit un client au hasard et on note :

• $T$ l'événement « le client achète une baguette tradition » ;
• $C$ l'événement « le client achète une pâtisserie ».

On sait que $P(T)=0,65$. Sachant que le client achète une tradition, la probabilité qu'il prenne aussi une pâtisserie est égale à $0,2$. Sachant qu'il n'achète pas de tradition, cette probabilité est égale à $0,55$.

1. Construire un arbre pondéré complet décrivant la situation (avec le poids de chacune des six branches).
2. Calculer la probabilité de chacun des quatre chemins de l'arbre, c'est-à-dire $P(T\cap C)$, $P(T\cap \overline{C})$, $P(\overline{T}\cap C)$ et $P(\overline{T}\cap \overline{C})$.
3. Vérifier que la somme de ces quatre probabilités est égale à $1$. Pourquoi ce résultat était-il prévisible ?

Dans un lycée, $30\%$ des élèves sont inscrits à l'association sportive. On choisit un élève au hasard et on note :

• $I$ l'événement « l'élève est inscrit à l'association sportive » ;
• $B$ l'événement « l'élève vient au lycée à vélo ».

Une enquête montre que la moitié des élèves inscrits à l'association sportive viennent au lycée à vélo, contre seulement $20\%$ des élèves non inscrits. On a donc $P(I)=0,3$, $P_I(B)=0,5$ et $P_{\overline{I}}(B)=0,2$.

1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
2. Calculer $P(I\cap B)$ et $P(\overline{I}\cap B)$.
3. En déduire $P(B)$ à l'aide de la formule des probabilités totales.
4. Interpréter le résultat par une phrase.

À la sortie d'un cinéma, on a interrogé $400$ spectateurs. Les réponses sont regroupées dans le tableau croisé d'effectifs ci-dessous.

On choisit un spectateur au hasard et on note :

• $A$ l'événement « le spectateur a moins de 25 ans » ;
• $B$ l'événement « le spectateur a assisté à une séance en version originale (VO) ».

1. Calculer $P(A)$, $P(B)$ et $P(A\cap B)$.
2. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier.
3. Calculer $P_A(B)$ et comparer avec $P(B)$. Comment retrouve-t-on la conclusion de la question précédente ?

Partie A. On considère deux événements indépendants $A$ et $B$ tels que $P(A)=0,6$ et $P(B)=0,25$.

1. Calculer $P(A\cap B)$.
2. En déduire $P(A\cup B)$ à l'aide de la formule $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

Partie B. Une salle de serveurs est équipée d'un système de climatisation et d'un onduleur. Sur une journée donnée, on note $A$ l'événement « la climatisation tombe en panne » et $B$ l'événement « l'onduleur tombe en panne ». On estime que $P(A)=0,02$ et $P(B)=0,05$. Les deux équipements fonctionnent de manière totalement séparée : on modélise donc la situation en supposant $A$ et $B$ indépendants.

3. Calculer la probabilité que les deux équipements tombent en panne le même jour.
4. Calculer la probabilité qu'au moins un des deux équipements tombe en panne.

Un magasin de vélos s'approvisionne chez trois fournisseurs. Le fournisseur $F_1$ fournit $50\%$ des vélos, le fournisseur $F_2$ en fournit $30\%$ et le fournisseur $F_3$ en fournit $20\%$.

Un contrôle en magasin montre que certains vélos présentent un défaut de peinture : c'est le cas de $2\%$ des vélos de $F_1$, de $3\%$ des vélos de $F_2$ et de $5\%$ des vélos de $F_3$.

On choisit un vélo au hasard dans le stock du magasin. On note $F_1$, $F_2$ et $F_3$ les événements « le vélo provient du fournisseur $F_1$ (respectivement $F_2$, $F_3$) » et $D$ l'événement « le vélo présente un défaut de peinture ».

1. Construire un arbre pondéré représentant la situation (trois branches au premier niveau, puis $D$ et $\overline{D}$ à chaque fois).
2. Calculer la probabilité de chacun des trois chemins de l'arbre qui mènent à $D$.
3. En déduire $P(D)$ à l'aide de la formule des probabilités totales.
4. Interpréter ce résultat par une phrase, en pourcentage.

Dans une population, une maladie touche $5\%$ des personnes. Un laboratoire met au point un test de dépistage dont les performances sont les suivantes : le test est positif chez $96\%$ des personnes malades, et il est aussi positif chez $3\%$ des personnes non malades (on parle alors de « faux positifs »).

On choisit une personne au hasard dans cette population. On note $M$ l'événement « la personne est malade » et $T$ l'événement « le test est positif ».

1. Traduire les données de l'énoncé à l'aide des notations $P(M)$, $P_M(T)$ et $P_{\overline{M}}(T)$, puis construire un arbre pondéré représentant la situation.
2. Calculer $P(M\cap T)$ et interpréter ce nombre.
3. Montrer, à l'aide de la formule des probabilités totales, que $P(T)=0,0765$.
4. Une personne passe le test et le résultat est positif. Quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade ? On arrondira au centième.
5. Beaucoup de gens pensent que si le test est positif, la personne est presque sûrement malade, puisque le test détecte $96\%$ des malades. Expliquer pourquoi ce raisonnement est faux, en précisant bien la différence entre $P_M(T)$ et $P_T(M)$.

Une agence de voyages propose à ses clients de réserver leur séjour soit en ligne, soit directement en agence. Une étude montre que $70\%$ des clients réservent en ligne, les autres réservant en agence.

Au moment de la réservation, les clients peuvent souscrire une assurance annulation : parmi les clients qui réservent en ligne, $25\%$ la souscrivent ; parmi les clients qui réservent en agence, $60\%$ la souscrivent.

On choisit un client au hasard. On note $L$ l'événement « le client a réservé en ligne » et $A$ l'événement « le client a souscrit l'assurance annulation ».

1. Donner $P(L)$, $P_L(A)$ et $P_{\overline{L}}(A)$, puis construire un arbre pondéré représentant la situation.
2. Calculer $P(L\cap A)$ et $P(\overline{L}\cap A)$.
3. En déduire $P(A)$ et interpréter ce résultat.
4. On choisit au hasard un client ayant souscrit l'assurance annulation. Quelle est la probabilité qu'il ait réservé en ligne ? On arrondira au centième, puis on interprétera le résultat par une phrase.

On considère deux événements indépendants $A$ et $B$ tels que $P(A)=0,3$ et $P(B)=0,8$.

1. Calculer $P(A\cap B)$.
2. Calculer $P(A\cup B)$.
3. L'événement $A$ est la réunion des deux événements incompatibles $A\cap B$ et $A\cap \overline{B}$. En déduire que $P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A\cap B)$, puis calculer $P(A\cap \overline{B})$.
4. Calculer $P(A)\times P(\overline{B})$ et comparer avec le résultat de la question 3. Que peut-on en conclure pour les événements $A$ et $\overline{B}$ ?

Remarque : le résultat observé à la question 4 est en fait toujours vrai (si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline{B}$ le sont aussi) ; on l'admet en général, et on vient de le vérifier ici sur un exemple.

Une usine produit des pièces métalliques sur trois machines. La machine $M_1$ produit $60\%$ des pièces, la machine $M_2$ en produit $30\%$ et la machine $M_3$ en produit $10\%$. Le service qualité a relevé les taux de pièces défectueuses de chaque machine : $1\%$ pour $M_1$, $2\%$ pour $M_2$ et $8\%$ pour $M_3$.

On prélève une pièce au hasard dans la production. On note $M_1$, $M_2$ et $M_3$ les événements « la pièce provient de la machine $M_1$ (respectivement $M_2$, $M_3$) » et $D$ l'événement « la pièce est défectueuse ».

1. Construire un arbre pondéré représentant la situation.
2. Calculer la probabilité que la pièce provienne de la machine $M_3$ et soit défectueuse.
3. Montrer que $P(D)=0,02$.
4. La pièce prélevée est défectueuse. Calculer la probabilité qu'elle provienne de la machine $M_3$.
5. La machine $M_3$ ne produit que $10\%$ des pièces de l'usine. Comparer ce chiffre au résultat de la question 4, puis rédiger un court avis à destination du directeur de l'usine : sur quelle machine faudrait-il investir en priorité pour réduire le nombre de pièces défectueuses ?

Un opérateur de transport interroge $1000$ voyageurs à la sortie d'une gare. Chaque voyageur est classé comme voyageur régulier ou voyageur occasionnel, et se déclare satisfait ou non satisfait du service.

Les résultats de l'enquête sont les suivants : $35\%$ des voyageurs interrogés sont des voyageurs réguliers ; parmi les voyageurs réguliers, $80\%$ se déclarent satisfaits ; parmi les voyageurs occasionnels, $60\%$ se déclarent satisfaits.

On choisit un voyageur au hasard parmi les $1000$ interrogés. On note $R$ l'événement « le voyageur est régulier » et $S$ l'événement « le voyageur est satisfait ».

1. Construire le tableau croisé des effectifs correspondant à cette enquête.
2. Le voyageur choisi est satisfait. Quelle est la probabilité que ce soit un voyageur régulier ? On arrondira au centième.
3. Les événements $R$ et $S$ sont-ils indépendants ? Justifier par un calcul.

Pour un concert, une salle de spectacle propose deux types de places : debout dans la fosse, ou assis en gradins. L'organisateur interroge les $250$ spectateurs présents ce soir-là. Une partie des résultats est regroupée dans le tableau ci-dessous.

On choisit au hasard un spectateur parmi les $250$ interrogés, chacun ayant la même probabilité d'être choisi. On note :

• $A$ l'événement « le spectateur a moins de $26$ ans » ;
• $B$ l'événement « le spectateur a une place dans la fosse ».

1. Recopier et compléter le tableau.
2. Calculer $P(A)$ et $P(A\cap B)$.
3. Calculer $P_A(B)$.
4. Calculer $P_B(A)$, puis interpréter ce résultat par une phrase.

Le service après-vente d'un magasin d'électroménager enregistre chaque appareil rapporté par un client. Une étude statistique portant sur l'ensemble des appareils rapportés montre que :

• $70\%$ des appareils rapportés sont encore sous garantie ;
• lorsqu'un appareil est encore sous garantie, la réparation est gratuite dans $90\%$ des cas ;
• lorsqu'un appareil n'est plus sous garantie, la réparation est gratuite (geste commercial) dans seulement $20\%$ des cas.

On choisit au hasard un appareil rapporté au service après-vente. On note :

• $G$ l'événement « l'appareil est encore sous garantie » ;
• $R$ l'événement « la réparation est gratuite ».

1. Donner, à l'aide des notations de l'énoncé, les valeurs de $P(G)$, $P_G(R)$ et $P_{\overline{G}}(R)$, puis construire un arbre pondéré décrivant la situation.
2. Calculer $P(G\cap R)$ et interpréter ce résultat par une phrase.
3. Calculer $P(\overline{G}\cap R)$.
4. En déduire, à l'aide de la formule des probabilités totales, que $P(R)=0,69$.
5. La réparation d'un appareil rapporté est gratuite. Quelle est la probabilité que cet appareil soit encore sous garantie ? On arrondira le résultat au centième, puis on l'interprétera par une phrase.

Une savonnerie artisanale fabrique ses savons dans trois ateliers. L'atelier de Nantes assure $45\%$ de la production, celui d'Angers $35\%$ et celui de Tours $20\%$. Un contrôle de qualité révèle que :

• $2\%$ des savons fabriqués à Nantes présentent un défaut d'emballage ;
• $4\%$ des savons fabriqués à Angers présentent un défaut d'emballage ;
• $5\%$ des savons fabriqués à Tours présentent un défaut d'emballage.

On prélève au hasard un savon dans la production totale de la savonnerie. On note $N$, $A$ et $T$ les événements « le savon provient de l'atelier de Nantes » (respectivement d'Angers, de Tours), et $D$ l'événement « le savon présente un défaut d'emballage ».

1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
2. Calculer $P(N\cap D)$, $P(A\cap D)$ et $P(T\cap D)$, puis en déduire $P(D)$ à l'aide de la formule des probabilités totales.
3. Le savon prélevé présente un défaut d'emballage. Quelle est la probabilité qu'il provienne de l'atelier de Tours ? On arrondira le résultat au centième.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier soigneusement la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Les quatre situations sont indépendantes les unes des autres.

1. On considère deux événements $A$ et $B$ tels que $P(A)=0,5$, $P(B)=0,4$ et $P(A\cap B)=0,2$. Affirmation : « Les événements $A$ et $B$ sont indépendants. »
2. On considère deux événements $A$ et $B$ tels que $P(A)=0,3$, $P(B)=0,6$ et $P(A\cap B)=0,12$. Affirmation : « $P_B(A)=0,4$. »
3. On considère deux événements $A$ et $B$ tels que $P_A(B)=0,35$. Affirmation : « $P_A(\overline{B})=0,65$. »
4. On considère deux événements incompatibles $A$ et $B$ tels que $P(A)=0,3$ et $P(B)=0,5$. Affirmation : « Les événements $A$ et $B$ sont indépendants. »