Tale techno · Chapitre 07 · Statistique et probabilités

Loi binomiale et variables aléatoires discrètes

Espérance d'une variable aléatoire discrète, loi binomiale, coefficients binomiaux, triangle de Pascal.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Espérance d'une variable aléatoire discrète
Loi binomiale
Coefficients binomiaux
Triangle de Pascal

Le cours

Dans une usine qui assemble des cartes électroniques, le service qualité a établi que $10 %$ des cartes sortent de la chaîne avec un défaut de soudure. Chaque heure, un technicien prélève $6$ cartes et les teste une par une. Combien de cartes défectueuses va-t-il trouver ? Impossible de le prédire : parfois aucune, parfois une, parfois davantage. En revanche, on peut calculer la probabilité de chacun de ces résultats, et même le nombre moyen de cartes défectueuses que le technicien trouvera par prélèvement sur le long terme. L'outil qui répond à toutes ces questions s'appelle la loi binomiale : elle gouverne toutes les situations où l'on répète plusieurs fois la même expérience à deux issues et où l'on compte les succès. Contrôles qualité, sondages, jeux de hasard, taux de réponse d'un standard téléphonique : les exemples sont partout. Ce chapitre consolide d'abord vos acquis de première sur les variables aléatoires et l'espérance, puis construit la loi binomiale à partir des arbres que vous connaissez bien, introduit les coefficients binomiaux et le triangle de Pascal pour compter les chemins de ces arbres, et se termine par quelques scripts Python pour faire calculer la machine.

Variable aléatoire discrète : loi et espérance

Commençons par raviver les souvenirs de première. Lorsqu'une expérience aléatoire est réalisée, une variable aléatoire $X$ est une quantité qui associe un nombre à chaque issue de l'expérience : le gain d'un joueur, le nombre de clients satisfaits, le nombre de pannes dans la journée... Comme l'issue est aléatoire, la valeur prise par $X$ l'est aussi. Lorsque $X$ ne prend qu'un nombre limité de valeurs que l'on peut lister, on dit qu'elle est discrète : ce sont les seules variables aléatoires étudiées cette année. Donner la loi de probabilité de $X$ , c'est donner toutes ses valeurs possibles $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}$ et, pour chacune, la probabilité $P (X = x_{i})$ , le tout présenté dans un tableau. Rappel essentiel : la somme des probabilités de la seconde ligne vaut toujours $1$ , ce qui fournit une vérification automatique du tableau.

La loi de probabilité contient toute l'information sur $X$ . Mais un seul nombre suffit souvent à résumer l'essentiel : autour de quelle valeur $X$ se situe-t-elle « en moyenne » ? Ce nombre est l'espérance, que vous avez rencontrée en première et que nous allons utiliser intensivement cette année.

Définition

Espérance d'une variable aléatoire. Soit $X$ une variable aléatoire discrète de loi de probabilité :

Valeur $x_{i}$	$x_{1}$	$x_{2}$	$\dots$	$x_{k}$
$P (X = x_{i})$	$p_{1}$	$p_{2}$	$\dots$	$p_{k}$

L'espérance de $X$ , notée $E (X)$ , est la moyenne des valeurs de $X$ pondérée par leurs probabilités :

E (X) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{k} p_{k}

Chaque valeur pèse dans la moyenne proportionnellement à sa probabilité : une valeur deux fois plus probable qu'une autre compte deux fois plus lourd. C'est ce qui distingue l'espérance d'une moyenne ordinaire. Mais que représente concrètement ce nombre ? La réponse tient en une phrase, et c'est elle qui donne tout son sens aux calculs de ce chapitre.

Propriété

Interprétation de l'espérance. Si l'on répète l'expérience aléatoire un grand nombre de fois, la moyenne des valeurs observées de $X$ se rapproche de $E (X)$ . L'espérance s'interprète donc comme la valeur moyenne de $X$ sur un grand nombre de répétitions.

Attention : $E (X)$ n'est pas forcément une valeur que $X$ peut prendre. C'est une moyenne, pas un résultat possible.

En pratique, le calcul se déroule toujours de la même façon, à partir du tableau de la loi. Voici la démarche complète, de l'énoncé jusqu'à la phrase de conclusion.

Méthode

Calculer et interpréter une espérance.

Dresser la loi de $X$ dans un tableau et vérifier que la somme des probabilités vaut $1$ .
Multiplier chaque valeur de la première ligne par la probabilité écrite juste en dessous.
Additionner tous les produits obtenus : le résultat est $E (X)$ .
Interpréter dans le contexte, avec l'unité : « en moyenne, sur un grand nombre de répétitions, ... ». Pour un jeu d'argent où $X$ est le gain algébrique (sommes reçues moins la mise), le jeu est favorable au joueur si $E (X) > 0$ , défavorable si $E (X) < 0$ , équitable si $E (X) = 0$ .

Appliquons cette méthode à un jeu de fête foraine, du début à la fin.

Exemple

Sur un stand, une roue équilibrée est divisée en $10$ secteurs identiques : $1$ secteur fait gagner $10$ €, $3$ secteurs font gagner $2$ €, les $6$ autres ne font rien gagner. Une partie coûte $2$ €. Le jeu est-il favorable au joueur ?

Loi du gain algébrique. On note $X$ le gain algébrique du joueur : sommes reçues moins les $2$ € de mise. Les valeurs possibles sont $10 - 2 = 8$ , puis $2 - 2 = 0$ , et enfin $- 2$ pour les secteurs perdants. La roue étant équilibrée, chaque secteur a la probabilité $\frac{1}{10}$ , d'où la loi :

Valeur $x_{i}$	$- 2$	$0$	$8$
$P (X = x_{i})$	$0, 6$	$0, 3$	$0, 1$

Vérification : $0, 6 + 0, 3 + 0, 1 = 1$ . Le tableau est cohérent.

Espérance.

E (X) = (- 2) \times 0, 6 + 0 \times 0, 3 + 8 \times 0, 1 = - 1, 2 + 0 + 0, 8 = - 0, 4

Conclusion. $E (X) = - 0, 4 < 0$ : le jeu est défavorable au joueur, qui perd en moyenne $0, 40$ € par partie. Sur $100$ parties, il peut s'attendre à perdre environ $100 \times 0, 40 = 40$ €... qui finissent dans la caisse du stand. Remarquez qu'aucune partie ne fait perdre exactement $0, 40$ € : c'est bien une moyenne sur le long terme.

Vous maîtrisez maintenant l'outil général : loi en tableau, espérance, interprétation. Le reste du chapitre l'applique à une variable aléatoire particulière, la plus importante du programme, qui naît de la répétition d'épreuves de Bernoulli.

De la répétition d'épreuves à la loi binomiale

Souvenez-vous du schéma de Bernoulli vu en première. Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : le succès $S$ , de probabilité $p$ , et l'échec $\overline{S}$ , de probabilité $1 - p$ . Lorsqu'on répète $n$ fois cette épreuve, dans des conditions identiques et de façon indépendante (le résultat d'une épreuve n'influence pas les suivantes), on représente la situation par un arbre pondéré : à chaque niveau, une branche $S$ de poids $p$ et une branche $\overline{S}$ de poids $1 - p$ . La probabilité d'un chemin complet de l'arbre est le produit des probabilités de ses branches.

Reprenons l'usine de l'introduction : tester une carte est une épreuve de Bernoulli, où l'on choisit comme succès « la carte est défectueuse », de probabilité $p = 0, 1$ . Comme en première, le « succès » n'est pas une bonne nouvelle : c'est un simple choix de modélisation, on appelle succès l'événement que l'on veut compter. Et justement, ce qui intéresse le technicien qui teste $6$ cartes, c'est le nombre de cartes défectueuses parmi les $6$ : un nombre qui dépend du hasard, donc une variable aléatoire. Cette variable porte un nom.

Définition

Loi binomiale. On répète $n$ fois, de façon identique et indépendante, une même épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ . La variable aléatoire $X$ égale au nombre de succès obtenus au cours des $n$ épreuves suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , notée $B (n; p)$ .

Les valeurs possibles de $X$ sont $0$ , $1$ , $2$ , ..., $n$ .

Deux nombres suffisent donc à décrire toute la situation : le nombre de répétitions $n$ et la probabilité de succès $p$ . Dans l'exemple de l'usine, $X$ suit la loi $B (6; 0, 1)$ . Avant tout calcul, la première compétence attendue est de reconnaître qu'une situation relève de la loi binomiale, et d'identifier le couple $(n; p)$ . Quatre points sont à vérifier, ni plus ni moins.

Méthode

Reconnaître une situation binomiale.

Deux issues. Chaque expérience élémentaire est une épreuve de Bernoulli : on définit clairement le succès, et l'échec est son contraire.
Même probabilité. La probabilité $p$ du succès est la même à chaque répétition.
Indépendance. Les répétitions sont indépendantes : le résultat de l'une n'influence pas les autres. C'est le cas pour un tirage avec remise, ou pour un prélèvement dans une production ou une population très grande, que l'énoncé autorise à assimiler à un tirage avec remise.
Compter les succès. La variable $X$ étudiée compte le nombre de succès sur les $n$ répétitions.

Si les quatre points sont vérifiés, on conclut : « $X$ suit la loi binomiale $B (n; p)$ », en précisant les valeurs de $n$ et de $p$ .

Entraînons-nous sur une situation de sondage, très fréquente dans les sujets.

Exemple

Une enseigne sait que $60 %$ de ses clients sont satisfaits. On interroge au hasard $20$ clients, la clientèle étant suffisamment nombreuse pour assimiler ce choix à un tirage avec remise. On note $X$ le nombre de clients satisfaits parmi les $20$ interrogés.

Interroger un client est une épreuve de Bernoulli : succès « le client est satisfait », de probabilité $p = 0, 6$ (point 1). Cette probabilité est la même pour chacun des $20$ clients (point 2), les réponses sont indépendantes grâce à l'assimilation à un tirage avec remise (point 3), et $X$ compte les succès (point 4). Donc $X$ suit la loi binomiale $B (20; 0, 6)$ .

À l'inverse, si l'on tirait sans remise dans un petit groupe (par exemple $20$ clients parmi les $35$ d'une seule journée), la probabilité de succès changerait à chaque tirage : les points 2 et 3 tomberaient, et la loi ne serait pas binomiale. D'où l'importance de vérifier les quatre points au lieu de conclure trop vite.

Visualisons maintenant la situation sur un arbre, pour $n = 3$ épreuves.

Arbre de probabilités pour trois épreuves de Bernoulli : succès S de probabilité p, échec S barre de probabilité 1 moins p à chaque niveau

Chaque chemin de la racine à une extrémité représente un scénario complet des trois épreuves, et l'arbre compte $2^{3} = 8$ chemins. L'événement ${X = k}$ se lit directement sur l'arbre : il rassemble tous les chemins comportant exactement $k$ succès. Tant que $n ⩽ 4$ , on peut dessiner l'arbre complet et dénombrer ces chemins à la main ; au-delà, l'arbre devient vite indessinable ( $2^{10} = 1024$ chemins pour $n = 10$ !), mais il reste une image mentale précieuse : toute la suite du chapitre consiste à raisonner sur ses chemins sans les dessiner.

Exemple

Le technicien teste $3$ cartes ( $X$ suit la loi $B (3; 0, 1)$ , succès : « la carte est défectueuse »). Interprétons l'événement ${X = 2}$ sur l'arbre : il est réalisé par les chemins comportant exactement deux succès, c'est-à-dire

S S \overline{S}, S \overline{S} S, \overline{S} S S

soit $3$ chemins. Chacun traverse deux branches de poids $0, 1$ et une branche de poids $0, 9$ , donc chacun a la probabilité $0, 1 \times 0, 1 \times 0, 9 = 0, 009$ . En additionnant les trois chemins :

P (X = 2) = 3 \times 0, 009 = 0, 027

Tout le calcul a reposé sur une seule information non évidente : il y a $3$ chemins réalisant exactement $2$ succès parmi $3$ épreuves. Pour $n = 3$ , on les liste à la main. Mais combien de chemins réalisent exactement $3$ succès parmi $8$ épreuves ? Les compter un par un dans un arbre à $256$ chemins serait un cauchemar. Il nous faut un outil de comptage : c'est l'objet de la section suivante.

Coefficients binomiaux et triangle de Pascal

Le nombre de chemins réalisant exactement $k$ succès est si important qu'il reçoit une notation dédiée.

Définition

Coefficient binomial. Dans l'arbre représentant $n$ épreuves de Bernoulli répétées, le coefficient binomial $(k n)$ , qui se lit « $k$ parmi $n$ », est le nombre de chemins de l'arbre réalisant exactement $k$ succès.

Certaines valeurs se lisent immédiatement sur l'image mentale de l'arbre. Il n'existe qu'un seul chemin sans aucun succès (celui qui enchaîne les échecs), donc $(0 n) = 1$ ; de même $(n n) = 1$ (le chemin qui enchaîne les succès). Un chemin avec un seul succès est entièrement déterminé par la position de ce succès, qui peut être n'importe laquelle des $n$ épreuves : donc $(1 n) = n$ , et par le même raisonnement sur l'échec unique, $(n - 1 n) = n$ . Enfin, nous avons compté à la section précédente $(2 3) = 3$ . Pour les autres valeurs, plutôt que de dessiner des arbres géants, on utilise une relation qui permet de calculer chaque coefficient à partir des précédents.

Propriété

Formule de Pascal. Pour tous entiers $n$ et $k$ avec $1 ⩽ k ⩽ n - 1$ :

(k n) = (k - 1 n - 1) + (k n - 1)

Justification sur l'arbre. Classons les chemins de $n$ épreuves comportant exactement $k$ succès selon leur dernier niveau :

ceux qui se terminent par un succès : leurs $n - 1$ premières épreuves comportent exactement $k - 1$ succès, il y en a donc $(k - 1 n - 1)$ ;
ceux qui se terminent par un échec : leurs $n - 1$ premières épreuves comportent déjà les $k$ succès, il y en a donc $(k n - 1)$ .

Tout chemin est dans un cas ou dans l'autre, jamais les deux : le total est bien la somme des deux nombres.

Cette formule transforme le comptage de chemins en une simple addition : chaque coefficient de niveau $n$ s'obtient à partir de deux coefficients de niveau $n - 1$ . En rangeant les coefficients dans un tableau, ligne par ligne, on obtient le célèbre triangle de Pascal, qui donne de proche en proche tous les coefficients dont vous aurez besoin.

Méthode

Construire le triangle de Pascal ligne par ligne.

La ligne $n = 0$ contient un seul coefficient : $(0 0) = 1$ .
Chaque ligne commence et se termine par $1$ (aucun succès, ou que des succès).
Chaque autre coefficient s'obtient par la formule de Pascal : on additionne, dans la ligne du dessus, le nombre situé juste au-dessus à gauche et le nombre situé juste au-dessus.
On poursuit jusqu'à la ligne $n$ voulue (au programme : $n ⩽ 10$ ).

Voici le triangle jusqu'à la ligne $n = 6$ . Chaque ligne correspond à une valeur de $n$ , chaque colonne à une valeur de $k$ :

	$k = 0$	$k = 1$	$k = 2$	$k = 3$	$k = 4$	$k = 5$	$k = 6$
$n = 0$	$1$
$n = 1$	$1$	$1$
$n = 2$	$1$	$2$	$1$
$n = 3$	$1$	$3$	$3$	$1$
$n = 4$	$1$	$4$	$6$	$4$	$1$
$n = 5$	$1$	$5$	$10$	$10$	$5$	$1$
$n = 6$	$1$	$6$	$15$	$20$	$15$	$6$	$1$

Vérifiez au passage quelques cases avec la formule de Pascal : $15 = 5 + 10$ (les deux nombres au-dessus de la case $n = 6$ , $k = 2$ ), $20 = 10 + 10$ . Vous retrouvez aussi les valeurs déjà connues : la colonne $k = 0$ ne contient que des $1$ , la colonne $k = 1$ contient $n$ , et la ligne $n = 3$ confirme $(2 3) = 3$ .

Exemple

Lire le triangle. Le nombre de chemins réalisant exactement $2$ succès parmi $6$ épreuves se lit à la ligne $n = 6$ , colonne $k = 2$ : $(2 6) = 15$ . De même, $(3 5) = 10$ .

Prolonger le triangle. La ligne $n = 7$ n'est pas dans le tableau ? La formule de Pascal la construit à partir de la ligne $n = 6$ :

(3 7) = (2 6) + (3 6) = 15 + 20 = 35

En procédant ainsi de case en case, la ligne $n = 7$ complète est : $1$ , $7$ , $21$ , $35$ , $35$ , $21$ , $7$ , $1$ .

Nous savons désormais compter les chemins de l'arbre sans le dessiner. Il ne reste qu'à combiner ce comptage avec la probabilité de chaque chemin pour obtenir la formule centrale du chapitre.

Calculer des probabilités avec la loi binomiale

Reprenons le raisonnement mené pour $n = 3$ , mais dans le cas général. Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi $B (n; p)$ , et $k$ un entier entre $0$ et $n$ . Sur l'arbre, l'événement ${X = k}$ rassemble les chemins comportant exactement $k$ succès. Chacun de ces chemins traverse $k$ branches de poids $p$ et $n - k$ branches de poids $1 - p$ : la probabilité d'un chemin étant le produit de ses branches, chaque chemin de ${X = k}$ a la même probabilité $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ . Et nous savons maintenant compter ces chemins : il y en a exactement $(k n)$ . Il suffit d'additionner.

Propriété

Probabilités de la loi binomiale. Si $X$ suit la loi binomiale $B (n; p)$ , alors pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n$ :

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

Cas particuliers à connaître, où le comptage des chemins est immédiat :

$P (X = 0) = (1 - p)^{n}$ et $P (X = n) = p^{n}$ (un seul chemin dans chaque cas) ;
$P (X = 1) = n p (1 - p)^{n - 1}$ et $P (X = n - 1) = n p^{n - 1} (1 - p)$ ( $n$ chemins dans chaque cas).

Cette formule donne la probabilité de chaque valeur isolée. Pour des événements plus riches, on raisonne par réunion : l'événement ${X ⩽ 1}$ , par exemple, est la réunion des événements ${X = 0}$ et ${X = 1}$ , qui ne peuvent pas se produire en même temps ; sa probabilité est donc la somme $P (X = 0) + P (X = 1)$ . Un cas mérite un réflexe particulier, car il revient dans presque tous les sujets : « au moins un succès ». Plutôt que d'additionner $P (X = 1) + P (X = 2) + \dots + P (X = n)$ , on passe par l'événement contraire.

Méthode

Calculer une probabilité du type « au moins un ».

Traduire : « obtenir au moins un succès » correspond à l'événement ${X ⩾ 1}$ .
Passer au contraire : le contraire de « au moins un succès » est « aucun succès », c'est-à-dire ${X = 0}$ .
Conclure avec la probabilité de l'événement contraire :
$P (X ⩾ 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - (1 - p)^{n}$

Le même réflexe s'applique à « au plus $n - 1$ succès », dont le contraire est « que des succès » : $P (X ⩽ n - 1) = 1 - P (X = n) = 1 - p^{n}$ .

Mettons tout en œuvre sur la situation de l'introduction, cette fois avec le prélèvement complet.

Exemple

Le technicien prélève $6$ cartes ; chaque carte est défectueuse avec la probabilité $0, 1$ , indépendamment des autres. Le nombre $X$ de cartes défectueuses du prélèvement suit la loi $B (6; 0, 1)$ .

Aucune carte défectueuse. Un seul chemin (que des échecs) :

P (X = 0) = (1 - 0, 1)^{6} = 0, 9^{6} \approx 0, 531

Exactement une carte défectueuse. Six chemins possibles (la carte défectueuse peut être n'importe laquelle des six) :

P (X = 1) = 6 \times 0, 1 \times 0, 9^{5} \approx 0, 354

Au plus une carte défectueuse. Par réunion des deux événements précédents :

P (X ⩽ 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = 0, 9^{6} + 6 \times 0, 1 \times 0, 9^{5} \approx 0, 886

Au moins une carte défectueuse. Par l'événement contraire :

P (X ⩾ 1) = 1 - P (X = 0) \approx 1 - 0, 531 = 0, 469

Exactement deux cartes défectueuses. La formule générale, avec $(2 6) = 15$ lu dans le triangle de Pascal :

P (X = 2) = (2 6) \times 0, 1^{2} \times 0, 9^{4} = 15 \times 0, 01 \times 0, 6561 \approx 0, 098

Bilan pour l'usine. Dans presque $9$ prélèvements sur $10$ , le technicien trouve au plus une carte défectueuse : c'est le quotidien normal de la chaîne. Trouver deux cartes défectueuses ou plus ( $P (X ⩾ 2) = 1 - P (X ⩽ 1) \approx 0, 114$ ) reste peu fréquent : si cela se répète prélèvement après prélèvement, c'est le signe d'un problème sur la chaîne de production.

La loi binomiale répond donc à toutes les questions de probabilité, valeur par valeur ou par réunion. Mais souvent, une seule question intéresse le responsable qualité : en moyenne, combien de cartes défectueuses par prélèvement ? C'est une question d'espérance, et pour la loi binomiale la réponse est d'une simplicité remarquable.

Espérance de la loi binomiale

On pourrait calculer $E (X)$ avec la définition de la première section : dresser toute la loi de $X$ , multiplier chaque valeur $k$ par $P (X = k)$ , tout additionner. C'est faisable, mais long dès que $n$ grandit. Heureusement, le résultat final est toujours le même, et il tient en deux lettres.

Propriété

Espérance de la loi binomiale (admise). Si $X$ suit la loi binomiale $B (n; p)$ , alors :

E (X) = n \times p

Ce résultat est admis. Il est cohérent avec ce que vous savez déjà : chaque épreuve de Bernoulli apporte « en moyenne » $p$ succès (l'espérance de la loi de Bernoulli, vue en première, vaut $p$ ), et il y a $n$ épreuves. Sur un grand nombre de répétitions de l'expérience complète, le nombre moyen de succès observé se rapproche de $n p$ .

L'espérance d'une loi binomiale se calcule donc de tête, et son interprétation suit la règle générale : c'est le nombre moyen de succès sur le long terme, pas un résultat garanti à chaque expérience.

Exemple

À l'usine. Pour le prélèvement de $6$ cartes avec $p = 0, 1$ , l'espérance vaut $E (X) = 6 \times 0, 1 = 0, 6$ : en moyenne, $0, 6$ carte défectueuse par prélèvement. Aucun prélèvement ne donne $0, 6$ carte, bien sûr ! Mais sur une journée de $8$ prélèvements horaires, le technicien peut s'attendre à trouver au total environ $8 \times 0, 6 = 4, 8$ , soit $4$ à $5$ cartes défectueuses.

Au sondage. Pour les $20$ clients interrogés avec $p = 0, 6$ , l'espérance vaut $E (X) = 20 \times 0, 6 = 12$ : en moyenne, $12$ clients satisfaits sur $20$ interrogés, ce qui est conforme à l'intuition ( $60 %$ de $20$ ).

Pour terminer, prenons un peu de hauteur et regardons une loi binomiale dans son ensemble. Le diagramme en bâtons ci-dessous représente la loi $B (5; 0, 5)$ : on lance $5$ fois une pièce équilibrée et $X$ compte le nombre de « pile ». Chaque bâton a pour hauteur $P (X = k)$ .

Diagramme en bâtons de la loi binomiale de paramètres n égal 5 et p égal 0,5

Deux observations sautent aux yeux. D'abord, le diagramme est symétrique : comme $p = 0, 5$ , succès et échec jouent exactement le même rôle, donc $P (X = 0) = P (X = 5)$ , $P (X = 1) = P (X = 4)$ , et ainsi de suite. Ensuite, les valeurs les plus probables (le mode de la loi) sont $k = 2$ et $k = 3$ , à égalité avec une probabilité d'environ $0, 31$ chacune : obtenir $2$ ou $3$ piles sur $5$ lancers est le scénario courant, tandis que $0$ ou $5$ piles restent possibles mais rares. L'espérance $E (X) = 5 \times 0, 5 = 2, 5$ se trouve exactement au centre de symétrie du diagramme, entre les deux bâtons les plus hauts, alors même que $X$ ne prend jamais la valeur $2, 5$ .

Dernière expérience graphique : fixons $p$ et faisons varier $n$ . Le graphique ci-dessous place, pour $p = 0, 3$ fixé (imaginez un standard téléphonique où $30 %$ des appels aboutissent à une réservation) et pour chaque valeur de $n$ de $1$ à $20$ , un point d'abscisse $n$ et d'ordonnée $E (X) = 0, 3 n$ .

Espérance de la loi binomiale à p égal 0,3 fixé : les points s'alignent sur la droite E de X égal 0,3 n

Les points s'alignent parfaitement sur une droite passant par l'origine, de pente $p = 0, 3$ : c'est la traduction graphique de la formule $E (X) = n p$ , qui exprime que $E (X)$ est proportionnelle à $n$ . Doubler le nombre d'appels traités double le nombre moyen de réservations : l'espérance grandit linéairement avec $n$ .

Avec Python

Le programme demande de savoir traiter deux situations en Python : générer un triangle de Pascal et calculer une espérance. Les deux scripts tiennent en quelques lignes et n'utilisent que des listes et des boucles.

Générer le triangle de Pascal. On représente le triangle par une liste de listes : triangle[i] est la ligne $n = i$ . Chaque nouvelle ligne commence par $1$ , se remplit avec la formule de Pascal (somme de deux coefficients de la ligne précédente), et se termine par $1$ .

n = 10
triangle = [[1]]                      # ligne n = 0
for i in range(1, n + 1):
    precedente = triangle[i - 1]      # ligne n = i - 1
    ligne = [1]                       # commence toujours par 1
    for k in range(1, i):
        ligne.append(precedente[k - 1] + precedente[k])   # formule de Pascal
    ligne.append(1)                   # se termine toujours par 1
    triangle.append(ligne)

for ligne in triangle:
    print(ligne)

L'exécution affiche les lignes une par une : [1], puis [1, 1], [1, 2, 1], [1, 3, 3, 1]... jusqu'à la ligne $n = 10$ . Pour lire un coefficient précis, on écrit par exemple triangle[6][2], qui vaut 15 : c'est bien $(2 6)$ , la case ligne $n = 6$ , colonne $k = 2$ du tableau de la section 3.

Calculer une espérance. On range les valeurs de la variable aléatoire dans une liste, leurs probabilités dans une autre, et on accumule la somme des produits $x_{i} p_{i}$ dans une variable esperance. Reprenons la roue de la première section :

valeurs = [-2, 0, 8]                  # gains possibles à la roue
probas = [0.6, 0.3, 0.1]              # probabilités correspondantes

esperance = 0                         # accumulateur de la somme
for i in range(len(valeurs)):
    esperance = esperance + valeurs[i] * probas[i]

print(esperance)

Le script affiche le résultat du calcul $x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + x_{3} p_{3}$ : on retrouve, aux infimes arrondis de la machine près, l'espérance $- 0, 4$ calculée à la main. Ce même script fonctionne pour n'importe quelle loi en tableau, y compris une loi binomiale dont on aurait rangé les probabilités $P (X = k)$ dans la liste probas.

Représenter une loi par un diagramme en bâtons. Une fois construite la liste probas des probabilités $P (X = k)$ pour $k$ allant de $0$ à $n$ (par exemple avec la ligne $n$ du triangle et la formule du cours), le module matplotlib trace le diagramme en trois lignes :

import matplotlib.pyplot as plt

plt.bar(range(n + 1), probas)         # un bâton par valeur de k
plt.show()

C'est exactement ainsi qu'a été produit le diagramme de la loi $B (5; 0, 5)$ de la section précédente. N'hésitez pas à faire varier $n$ et $p$ pour observer la forme de la loi : symétrique quand $p = 0, 5$ , penchée vers la gauche quand $p$ est petit, vers la droite quand $p$ est grand.

Résumons le chemin parcouru. Une variable aléatoire discrète se décrit par sa loi en tableau, et son espérance $E (X) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{k} p_{k}$ donne sa valeur moyenne sur un grand nombre de répétitions. Quand on répète $n$ fois une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ , de façon identique et indépendante, le nombre de succès $X$ suit la loi binomiale $B (n; p)$ ; l'événement ${X = k}$ rassemble les chemins de l'arbre à exactement $k$ succès, et leur nombre est le coefficient binomial $(k n)$ , calculable de proche en proche grâce au triangle de Pascal. Chaque chemin ayant la probabilité $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ , on obtient la formule $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ , complétée par le réflexe de l'événement contraire pour « au moins un ». Enfin, l'espérance de la loi binomiale vaut $E (X) = n p$ , un résultat admis mais très intuitif : c'est le nombre moyen de succès que l'usine, le sondeur ou le standard téléphonique peut attendre sur le long terme.

Le cours en PDF(PDF, 104 Ko)

Les exercices

17 exercices, difficulté croissante de ★ (application directe) à ★★★★ (défi). Les corrigés détaillés sont dans le PDF — cherchez d'abord, le corrigé ensuite : c'est là que ça progresse.

Exercice 1 ★★★★ — Loi et espérance d'un jeu

Variable aléatoire discrète : loi de probabilité et espérance

Lors d'une kermesse, un stand propose le jeu suivant : le joueur lance un dé équilibré à six faces.

s'il obtient un $6$ , le stand lui verse $4$ € ;
s'il obtient un $5$ , le stand lui verse $1$ € ;
sinon, le joueur doit verser $2$ € au stand.

On note $X$ le gain algébrique du joueur, en euros : $X$ est négatif lorsque le joueur paie.

Justifier que les valeurs possibles de $X$ sont $- 2$ , $1$ et $4$ , puis dresser la loi de probabilité de $X$ dans un tableau (probabilités en sixièmes).
Vérifier que la somme des probabilités de ce tableau est bien égale à $1$ .
Calculer l'espérance $E (X)$ et interpréter le résultat : ce jeu est-il favorable au joueur ?

Exercice 2 ★★★★ — Rendre un jeu équitable

Variable aléatoire discrète : loi de probabilité et espérance

Lors d'une fête, une association propose une loterie : le joueur fait tourner une roue équilibrée comportant dix secteurs identiques. Un secteur « gros lot » rapporte $10$ €, trois secteurs rapportent $2$ € et les six autres secteurs ne rapportent rien. Pour jouer, le joueur paie une mise de $2, 50$ €.

On note $B$ le gain brut du joueur (la somme que la roue lui rapporte) et $X$ son gain net, c'est-à-dire $X = B - 2, 50$ .

Dresser la loi de probabilité de $B$ dans un tableau.
En déduire la loi de probabilité de $X$ , puis calculer $E (X)$ . Le jeu est-il favorable au joueur ?
L'association souhaite rendre le jeu équitable, c'est-à-dire tel que l'espérance du gain net soit nulle. Elle remplace la mise par $m$ euros, sans changer les gains de la roue.

a. Exprimer l'espérance du gain net en fonction de $m$ .

b. En déduire la valeur de $m$ qui rend le jeu équitable.

Exercice 3 ★★★★ — Reconnaître une situation binomiale

Reconnaître un schéma de Bernoulli et la loi binomiale

Pour chacune des quatre situations suivantes, indiquer si la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Si oui, préciser le couple de paramètres $(n; p)$ et ce que compte $X$ ; si non, expliquer pourquoi.

a. Dans une production de composants électroniques en très grande quantité, $5 %$ des composants sont défectueux. On prélève au hasard $12$ composants ; la production est assez importante pour assimiler ce prélèvement à des tirages indépendants. $X$ est le nombre de composants défectueux parmi les $12$ prélevés.

b. Une entreprise de services compte $20$ salariés, dont $8$ parlent anglais. Pour représenter l'entreprise à un salon international, le directeur tire au sort $3$ salariés, sans remise. $X$ est le nombre de salariés anglophones parmi les $3$ tirés.

c. D'après une étude, $30 %$ des clients d'une enseigne utilisent son application mobile. Un enquêteur interroge au hasard et de façon indépendante $10$ clients. $X$ est le nombre de clients interrogés qui utilisent l'application.

d. En sortie de machine, un technicien contrôle les pièces une par une jusqu'à trouver une première pièce défectueuse, puis il arrête le contrôle. $X$ est le nombre de pièces qu'il a contrôlées.

Exercice 4 ★★★★ — Trois panneaux solaires sur un arbre

Reconnaître un schéma de Bernoulli et la loi binomialeCalculer des probabilités avec la loi binomiale

Une chaîne de production fabrique des panneaux solaires. Chaque panneau est conforme avec une probabilité de $0, 8$ . On prélève au hasard $3$ panneaux dans la production ; celle-ci est assez importante pour assimiler ce prélèvement à des tirages indépendants.

Pour chaque panneau, on note $C$ l'événement « le panneau est conforme » et $\overline{C}$ l'événement contraire. On note $X$ le nombre de panneaux conformes parmi les $3$ prélevés. La situation est représentée par l'arbre complet ci-dessous.

Arbre de probabilités pour trois panneaux : conforme C de probabilité 0,8, non conforme C barre de probabilité 0,2 à chaque niveau

Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Combien de chemins de l'arbre réalisent l'événement ${X = 2}$ ? Les lister en notation $C C \overline{C}$ , etc.
En déduire $P (X = 2)$ .
Calculer $P (X = 3)$ , puis $P (X ⩾ 2)$ . Interpréter ce dernier résultat.

Exercice 5 ★★★★ — Construire le triangle de Pascal

Coefficients binomiaux et triangle de Pascal

Construire le triangle de Pascal jusqu'à la ligne $n = 6$ . On rappellera la règle de construction : les bords de chaque ligne valent $1$ , et chaque autre valeur est la somme des deux valeurs situées juste au-dessus.
En déduire la valeur des coefficients binomiaux suivants :

a. $(2 4)$
b. $(3 6)$
c. $(0 5)$
d. $(6 6)$
Que remarque-t-on en comparant $(2 6)$ et $(4 6)$ ? Expliquer cette symétrie en raisonnant sur les chemins d'un arbre à $6$ épreuves.

Exercice 6 ★★★★ — La formule de Pascal expliquée par l'arbre

Coefficients binomiaux et triangle de Pascal

Dans un arbre représentant $n$ épreuves de Bernoulli, on note $S$ un succès et $\overline{S}$ un échec.

Rappeler ce que compte le coefficient binomial $(k n)$ .
On considère tous les chemins comportant exactement $2$ succès parmi $4$ épreuves.

a. Classer ces chemins en deux catégories selon le résultat de la $4^{e}$ épreuve (succès ou échec). Combien de chemins compte chaque catégorie ? On pourra les décrire à l'aide des trois premières épreuves.

b. En déduire que $(2 4) = (1 3) + (2 3)$ , puis vérifier cette égalité à l'aide du triangle de Pascal.
Écrire la formule générale de Pascal reliant $(k n)$ , $(k - 1 n - 1)$ et $(k n - 1)$ . On rappelle la ligne $n = 6$ du triangle de Pascal : $1$ , $6$ , $15$ , $20$ , $15$ , $6$ , $1$ . Utiliser la formule pour compléter la ligne $n = 7$ , partiellement donnée dans le tableau ci-dessous (valeurs de $(k 7)$ pour $k$ allant de $0$ à $7$ ) :

$k = 0$ $k = 1$ $k = 2$ $k = 3$ $k = 4$ $k = 5$ $k = 6$ $k = 7$
$1$ $\dots$ $\dots$ $35$ $\dots$ $\dots$ $\dots$ $1$
Donner alors la valeur de $(2 7)$ et de $(5 7)$ . Que remarque-t-on ?

$k = 0$	$k = 1$	$k = 2$	$k = 3$	$k = 4$	$k = 5$	$k = 6$	$k = 7$
$1$	$\dots$	$\dots$	$35$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$1$

Exercice 7 ★★★★ — Premiers calculs avec la loi binomiale

Calculer des probabilités avec la loi binomiale

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $B (4; 0, 3)$ .

1. Rappeler les valeurs que peut prendre la variable aléatoire $X$ .

2. Calculer les probabilités suivantes, en arrondissant au millième si besoin. Pour le d., on lira le coefficient binomial $(2 4)$ dans le triangle de Pascal.

a. $P (X = 0)$

b. $P (X = 4)$

c. $P (X = 1)$

d. $P (X = 2)$

3. En déduire $P (X ⩽ 1)$ .

Exercice 8 ★★★★ — Au moins une commande en retard

Calculer des probabilités avec la loi binomiale

Une plateforme logistique constate que chaque commande expédiée est livrée en retard avec la probabilité $0, 1$ , indépendamment des autres commandes. Un client passe $6$ commandes sur le site. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de commandes livrées en retard parmi ces $6$ commandes.

1. Justifier que $X$ suit la loi binomiale $B (6; 0, 1)$ .

2. Calculer $P (X = 0)$ , arrondie au millième.

3. En déduire la probabilité qu'au moins une commande soit livrée en retard, en précisant l'événement contraire utilisé.

4. Calculer $P (X = 6)$ puis $P (X = 5)$ , et commenter en une phrase l'ordre de grandeur de ces deux probabilités.

5. Calculer la probabilité qu'au plus une commande soit livrée en retard, arrondie au millième.

Exercice 9 ★★★★ — Contrôle qualité avec le triangle de Pascal

Calculer des probabilités avec la loi binomialeCoefficients binomiaux et triangle de Pascal

Dans un atelier, chaque pièce produite présente un défaut avec la probabilité $0, 25$ , indépendamment des autres pièces. Le responsable qualité prélève un échantillon de $8$ pièces. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses dans l'échantillon.

1. Donner la loi de probabilité suivie par $X$ , en justifiant.

2. On donne la ligne $n = 7$ du triangle de Pascal :

$k$	0	1	2	3	4	5	6	7
$(k 7)$	$1$	$7$	$21$	$35$	$35$	$21$	$7$	$1$

En utilisant la formule de Pascal, construire la ligne $n = 8$ du triangle.

3. Calculer $P (X = 2)$ , arrondie au millième. On pourra utiliser $0, 7 5^{6} \approx 0, 178$ .

4. Calculer $P (X = 0)$ , arrondie au millième, puis en déduire la probabilité qu'il y ait au moins une pièce défectueuse dans l'échantillon.

Exercice 10 ★★★★ — Premiers calculs d'espérance

Espérance de la loi binomiale : E(X) = np

1. Dans chacun des cas suivants, la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale indiquée. Donner son espérance $E (X)$ .

a. $X \sim B (20; 0, 5)$

b. $X \sim B (50; 0, 02)$

c. $X \sim B (9; \frac{1}{3})$

d. $X \sim B (200; 0, 15)$

e. $X \sim B (10; 0, 7)$

f. $X \sim B (365; 0, 1)$

2. Un QCM comporte $40$ questions ; chaque question propose $4$ réponses dont une seule est correcte. Un élève répond entièrement au hasard. Quelle est l'espérance du nombre de bonnes réponses ?

3. Une variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $B (n; 0, 2)$ et son espérance vaut $E (X) = 12$ . Déterminer la valeur de $n$ .

Exercice 11 ★★★★ — Le centre d'appels

Espérance de la loi binomiale : E(X) = np

Dans un centre d'appels, chaque appel passé par un conseiller aboutit à une vente avec la probabilité $0, 12$ . On suppose que les résultats des appels sont indépendants les uns des autres. Un conseiller passe $75$ appels par jour. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de ventes réalisées par ce conseiller dans une journée.

1. Donner la loi de probabilité suivie par $X$ , en justifiant.

2. Calculer $E (X)$ et interpréter concrètement ce résultat.

3. Chaque vente rapporte au conseiller une commission de $40$ €. Quelle recette moyenne journalière ce conseiller peut-il espérer en commissions ?

4. La direction souhaite que le nombre moyen de ventes par conseiller et par jour atteigne $12$ , sans changer la probabilité de vente par appel. Combien d'appels chaque conseiller devrait-il passer par jour ?

Exercice 12 ★★★★ — Python : générer le triangle de Pascal

Triangle de Pascal et diagrammes en bâtons — PythonCoefficients binomiaux et triangle de Pascal

On veut construire le triangle de Pascal en Python, sous la forme d'une liste de listes : la variable triangle contient une liste par ligne, et triangle[n][k] contient le coefficient binomial $(k n)$ . Chaque ligne commence et finit par $1$ , et chaque terme intérieur est la somme des deux termes situés au-dessus de lui (formule de Pascal).

On considère le script incomplet suivant.

triangle = [[1]]
for n in range(1, 11):
    ligne = [1]
    for k in range(1, n):
        ligne.append(triangle[n-1][...] + triangle[n-1][...])
    ligne.append(...)
    triangle.append(ligne)
print(triangle[6])

1. Recopier et compléter les trois trous du script pour qu'il construise le triangle de Pascal ligne par ligne.

2. Qu'affiche l'instruction print(triangle[6]) après exécution du script ?

3. Quelle instruction faudrait-il écrire pour afficher le coefficient binomial $(3 8)$ ? Quelle valeur s'affiche alors ?

4. Quelle modification faut-il apporter au script pour construire le triangle jusqu'à la ligne $n = 15$ ?

Exercice 13 ★★★★ — La caution du loueur de vélos

Variable aléatoire discrète : loi de probabilité et espérance

Un loueur de vélos demande une caution à chaque location. En fin de saison, il constate que certains vélos reviennent dégradés et qu'il retient alors une partie de la caution. On note $X$ la variable aléatoire égale au montant retenu sur la caution, en euros, pour une location prise au hasard. Le loueur a établi le tableau suivant, où une probabilité est manquante :

$x_{i}$	$0$	$15$	$60$	$150$
$P (X = x_{i})$	$0, 82$	$0, 10$	$?$	$0, 02$

1. Déterminer $P (X = 60)$ . Justifier.

2. Calculer la probabilité que le loueur retienne au moins $60$ euros sur la caution.

3. Calculer l'espérance $E (X)$ , puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

4. Le loueur traite environ $1200$ locations par an. Quel montant annuel moyen de retenues sur caution peut-il prévoir ?

Exercice 14 ★★★★ — Lire un diagramme en bâtons

Triangle de Pascal et diagrammes en bâtons — PythonCalculer des probabilités avec la loi binomiale

Un site de vente en ligne envoie un questionnaire de satisfaction à ses clients. Chaque client laisse un avis avec la probabilité $0, 3$ , indépendamment des autres. On interroge $10$ clients et on note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'avis laissés : $X$ suit la loi binomiale $B (10; 0, 3)$ .

Le diagramme en bâtons de la loi de $X$ est donné ci-dessous.

Diagramme en bâtons de la loi binomiale de paramètres n égal 10 et p égal 0,3

1. Lire sur le diagramme la valeur de $k$ la plus probable pour $X$ .

2. Lire sur le diagramme une estimation de $P (X = 3)$ .

3. Calculer $P (X = 0)$ , arrondie au millième, et vérifier la cohérence du résultat avec le diagramme.

4. Calculer $E (X)$ . Que remarque-t-on en comparant cette valeur à la position du bâton le plus haut ?

5. Le diagramme a été tracé avec le script Python ci-dessous, où les probabilités $P (X = k)$ sont fournies dans la liste probas. Recopier et compléter les deux trous de la ligne plt.bar.

import matplotlib.pyplot as plt

valeurs = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
probas = [0.028, 0.121, 0.233, 0.267, 0.200, 0.103,
          0.037, 0.009, 0.001, 0.000, 0.000]

plt.bar(..., ...)
plt.show()

Exercice 15 ★★★★ — La série de tirs au but

Reconnaître un schéma de Bernoulli et la loi binomialeCalculer des probabilités avec la loi binomialeEspérance de la loi binomiale : E(X) = np

Lors d'un entraînement, une joueuse de football tire une série de $5$ tirs au but. On admet qu'elle réussit chaque tir avec la probabilité $0, 7$ et que les tirs sont indépendants les uns des autres. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tirs réussis dans la série.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

2. Retrouver, à l'aide du triangle de Pascal, la ligne des coefficients binomiaux $(k 5)$ pour $k$ allant de $0$ à $5$ .

3. Calculer $P (X = 5)$ puis $P (X = 4)$ , arrondies au millième. En déduire $P (X ⩾ 4)$ .

4. Calculer la probabilité que la joueuse réussisse au moins un tir, arrondie au millième, en précisant l'événement contraire utilisé.

5. Calculer $E (X)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

6. Après plusieurs semaines d'entraînement, la joueuse réussit désormais chaque tir avec la probabilité $0, 8$ . Sans calculer la nouvelle loi de $X$ , donner la nouvelle valeur de l'espérance et commenter en une phrase.

Exercice 16 ★★★★ — Le stand de basket de la kermesse

Variable aléatoire discrète : loi de probabilité et espéranceCalculer des probabilités avec la loi binomialeEspérance de la loi binomiale : E(X) = np

À la kermesse du lycée, un stand de basket propose le jeu suivant : le joueur paie $2$ € puis tente $3$ lancers francs. On admet qu'il réussit chaque lancer avec la probabilité $0, 4$ et que les lancers sont indépendants. On note $N$ la variable aléatoire égale au nombre de paniers marqués : $N$ suit la loi binomiale $B (3; 0, 4)$ .

Les lots dépendent du nombre de paniers :

$0$ panier : le joueur ne gagne rien ;
$1$ ou $2$ paniers : le joueur gagne un porte-clés d'une valeur de $1$ € ;
$3$ paniers : le joueur gagne une peluche d'une valeur de $6$ €.

On note $G$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur, en euros, c'est-à-dire la valeur du lot reçu diminuée de la mise de $2$ €.

1. Calculer la loi de probabilité de $N$ (on arrondira au millième si besoin).

2. Justifier que $G$ prend les valeurs $- 2$ , $- 1$ et $4$ , en précisant pour chacune les valeurs de $N$ correspondantes.

3. Dresser le tableau de la loi de probabilité de $G$ et vérifier que la somme des probabilités vaut $1$ .

4. Calculer $E (G)$ et interpréter ce résultat, d'abord du point de vue du joueur, puis du point de vue des organisateurs de la kermesse.

5. Pendant la kermesse, $250$ parties sont jouées à ce stand. Quel bénéfice moyen (mises encaissées diminuées de la valeur des lots distribués) les organisateurs peuvent-ils attendre ?

Exercice 17 ★★★★ — Combien de candidatures envoyer ?

Calculer des probabilités avec la loi binomialeEspérance de la loi binomiale : E(X) = np

Lina cherche un stage. On admet que chaque candidature qu'elle envoie reçoit une réponse positive avec la probabilité $0, 2$ , indépendamment des autres candidatures. Elle envoie $n$ candidatures, où $n$ est un entier naturel non nul, et on note $X_{n}$ la variable aléatoire égale au nombre de réponses positives reçues.

1. Quelle est la loi suivie par $X_{n}$ ? Justifier.

2. Montrer que $P (X_{n} ⩾ 1) = 1 - 0, 8^{n}$ .

3. Calculer $P (X_{10} ⩾ 1)$ , arrondie au millième.

4. Lina veut être sûre à $99 %$ au moins de recevoir au moins une réponse positive. Déterminer, à l'aide du logarithme décimal, le plus petit entier $n$ tel que $P (X_{n} ⩾ 1) ⩾ 0, 99$ .

5. Lina envoie ce nombre de candidatures. Combien de réponses positives peut-elle espérer en moyenne ?

6. En une phrase : pourquoi l'hypothèse d'indépendance des réponses est-elle discutable dans cette situation ?

Les exercices(PDF, 85 Ko)Les corrigés(PDF, 147 Ko)

Le devoir surveillé

Sujet type DS — 60 min, barème sur 20 points. Faites-le en conditions réelles avant de regarder le corrigé (PDF).

Exercice 1 (4 points) — La borne de recharge

Un parking public est équipé d'une borne de recharge pour voitures électriques. Le gestionnaire modélise la recette journalière de la borne, en euros, par une variable aléatoire $X$ dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :

$x_{i}$	$0$	$8$	$16$	$24$
$P (X = x_{i})$	$0, 1$	$0, 3$	$0, 4$	$0, 2$

a. ( $1$ pt) Vérifier que ce tableau définit bien une loi de probabilité.

b. ( $1$ pt) Calculer $P (X ⩾ 16)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

c. ( $2$ pts) Calculer l'espérance $E (X)$ et interpréter le résultat. En déduire la recette moyenne que le gestionnaire peut espérer sur $30$ jours.

Exercice 2 (5 points) — Triangle de Pascal

a. ( $2$ pts) Construire le triangle de Pascal jusqu'à la ligne $n = 5$ .

b. ( $1$ pt) En déduire les valeurs des coefficients binomiaux $(2 5)$ et $(3 5)$ .

c. ( $1$ pt) Énoncer la formule de Pascal, puis l'utiliser pour calculer $(3 6)$ à partir de la ligne $n = 5$ du triangle.

d. ( $1$ pt) On considère un arbre représentant la répétition de $5$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Que compte le nombre $(2 5)$ dans cet arbre ?

Exercice 3 (7 points) — L'archère

Une archère tire $4$ flèches sur une cible. À chaque tir, elle touche la cible avec la probabilité $0, 7$ , et les résultats des tirs sont supposés indépendants. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tirs réussis.

a. ( $1, 5$ pt) Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

b. ( $1$ pt) Combien de chemins de l'arbre de probabilités réalisent l'événement ${X = 3}$ ?

c. ( $1, 5$ pt) Calculer $P (X = 4)$ , puis $P (X = 3)$ .

d. ( $1$ pt) En déduire $P (X ⩾ 3)$ .

e. ( $1$ pt) Calculer la probabilité que l'archère touche la cible au moins une fois.

f. ( $1$ pt) Calculer $E (X)$ et interpréter le résultat.

Exercice 4 (4 points) — Script Python

On considère le script Python suivant :

triangle = [[1]]
for n in range(1, 9):
    ligne = [1]
    for k in range(1, n):
        ligne.append(triangle[n-1][k-1] + triangle[n-1][k])
    ligne.append(1)
    triangle.append(ligne)

Après son exécution, la liste triangle contient les lignes du triangle de Pascal, de la ligne $n = 0$ à la ligne $n = 8$ .

a. ( $1$ pt) Que représente le nombre triangle[n][k] ?

b. ( $1$ pt) Que contient la liste triangle[4] après exécution du script ?

c. ( $2$ pts) Un site web reçoit $8$ visites dans la journée. Chaque visite aboutit à un achat avec la probabilité $0, 3$ , indépendamment des autres visites. À l'aide du script, écrire l'expression Python qui calcule la probabilité d'obtenir exactement $2$ achats, puis donner la valeur de cette probabilité arrondie au millième.

Le sujet du DS(PDF, 36 Ko)Le corrigé du DS(PDF, 61 Ko)

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