Tale techno · Chapitre 01 · Analyse

Suites arithmétiques et géométriques : sommes

Terme de rang n, somme des n premiers termes, notation Σ, intérêts composés.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Terme de rang n
Somme des n premiers termes
Notation Σ
Intérêts composés

Le cours

Imaginez que l'on vous propose deux contrats pour un même poste, avec le même salaire de départ : $20000$ € par an. Dans le contrat A, le salaire augmente de $500$ € chaque année. Dans le contrat B, il augmente de $2 %$ chaque année. Lequel choisir ? La vraie question n'est pas de comparer les salaires d'une année donnée, mais de comparer ce que chaque contrat rapporte en tout : sur $10$ ans, quel est le total des salaires perçus avec le contrat A ? Avec le contrat B ? Répondre demande d'additionner dix nombres dans chaque cas, et c'est précisément ce que ce chapitre va nous apprendre à faire vite et sans erreur.

Vous connaissez déjà les deux modèles en jeu : le contrat A suit une suite arithmétique (on ajoute toujours le même montant) et le contrat B une suite géométrique (on multiplie toujours par le même coefficient). En première, vous avez appris à reconnaître ces suites et à calculer n'importe lequel de leurs termes. En terminale, nous franchissons une étape : calculer la somme de plusieurs termes consécutifs, avec des formules directes, une notation compacte (le symbole $\sum$ ) et des programmes Python. En chemin, nous découvrirons les moyennes arithmétique et géométrique, et nous appliquerons tout cela à une situation très concrète : une épargne alimentée par des versements réguliers. Le duel des deux contrats sera tranché en fin de parcours.

Rappels de première : deux familles de suites

Commençons par réactiver les acquis de première. Petit rappel de notation : $u (n)$ désigne le terme de rang $n$ de la suite $u$ , et l'écriture indicée $u_{n}$ désigne exactement le même nombre ; les deux écritures cohabitent dans les sujets de bac. Sauf indication contraire, nos suites sont définies à partir du rang $0$ .

Définition

Suite arithmétique. Une suite $u$ est arithmétique de raison $r$ lorsqu'on passe de chaque terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ : pour tout entier naturel $n$ ,

u (n + 1) = u (n) + r

Définition

Suite géométrique. Une suite $u$ à termes strictement positifs est géométrique de raison $q$ (avec $q > 0$ ) lorsqu'on passe de chaque terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$ : pour tout entier naturel $n$ ,

u (n + 1) = u (n) \times q

Comment reconnaître la nature d'une suite dont on connaît des valeurs ? En regardant ce qui relie deux termes consécutifs : la différence pour l'arithmétique, le quotient pour la géométrique.

Propriété

Reconnaître la nature d'une suite.

Une suite $u$ est arithmétique si et seulement si la différence $u (n + 1) - u (n)$ est constante pour tout entier naturel $n$ . Cette constante est la raison $r$ .
Une suite $u$ à termes strictement positifs est géométrique si et seulement si le quotient $\frac{u ( n + 1 )}{u ( n )}$ est constant pour tout entier naturel $n$ . Cette constante est la raison $q$ .

Attention : vérifier la différence ou le quotient sur trois ou quatre termes permet de conjecturer la nature, mais la preuve exige un calcul avec un $n$ quelconque. À l'inverse, un seul contre-exemple numérique suffit pour affirmer qu'une suite n'est pas arithmétique (ou pas géométrique).

Les relations de récurrence ci-dessus obligent à calculer les termes de proche en proche. Les formules explicites, elles, donnent directement le terme de rang $n$ .

Propriété

Terme de rang $n$ .

Si $u$ est arithmétique de raison $r$ : $u (n) = u (0) + n \times r$ , et si la suite commence au rang $1$ : $u (n) = u (1) + (n - 1) \times r$ .
Si $u$ est géométrique de raison $q$ : $u (n) = u (0) \times q^{n}$ , et si la suite commence au rang $1$ : $u (n) = u (1) \times q^{n - 1}$ .

Exemple

Contrat A (suite arithmétique). Notons $a (n)$ le salaire annuel, en euros, perçu la $(n + 1)$ -ième année de contrat : $a (0) = 20000$ et chaque année le salaire gagne $500$ €, donc $a (n + 1) = a (n) + 500$ . La suite $a$ est arithmétique de raison $r = 500$ et son terme général est $a (n) = 20000 + 500 n$ . La dixième année de contrat correspond au rang $9$ : $a (9) = 20000 + 500 \times 9 = 24500$ €.

Contrat B (suite géométrique). Notons $b (n)$ le salaire annuel avec le contrat B. Augmenter de $2 %$ , c'est multiplier par $1 + \frac{2}{100} = 1, 02$ : $b (0) = 20000$ et $b (n + 1) = b (n) \times 1, 02$ . La suite $b$ est géométrique de raison $q = 1, 02$ et $b (n) = 20000 \times 1, 0 2^{n}$ . Au rang $9$ : $b (9) = 20000 \times 1, 0 2^{9} \approx 23902$ €.

Rappelons enfin le vocabulaire de première : une suite arithmétique modélise une croissance linéaire (la grandeur avance toujours du même pas, les points du nuage sont alignés), tandis qu'une suite géométrique de raison $q > 1$ modélise une croissance exponentielle (la grandeur est multipliée par le même coefficient à chaque étape, et les hausses sont de plus en plus grandes). Au rang $9$ , le contrat A est devant ( $24500$ contre environ $23902$ €) : mais attention, la question posée en introduction porte sur le cumul, pas sur la dernière année. Patience.

Moyennes arithmétique et géométrique

Voici la première nouveauté de terminale. Prenons trois termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison $r$ , par exemple $a$ , $b$ et $c$ . Alors $b = a + r$ et $c = b + r$ : le terme du milieu est à égale distance de ses deux voisins. En additionnant $b - a = r$ et $c - b = r$ membre à membre, on obtient $c - a = 2 r$ , puis $b = a + r = a + \frac{c - a}{2} = \frac{a + c}{2}$ . Le terme central est donc la demi-somme des deux autres : c'est ce qu'on appelle leur moyenne arithmétique.

Définition

Moyennes de deux nombres.

La moyenne arithmétique de deux nombres $a$ et $c$ est le nombre $\frac{a + c}{2}$ .
La moyenne géométrique de deux nombres positifs $a$ et $c$ est le nombre $a \times c$ .

La moyenne arithmétique est la moyenne usuelle, celle des notes de bulletin. La moyenne géométrique est sa cousine multiplicative : au lieu de partager équitablement une somme, elle partage équitablement un produit. Chacune caractérise une famille de suites.

Propriété

Caractérisation par trois termes consécutifs.

Trois nombres $a$ , $b$ , $c$ sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique si et seulement si $b$ est la moyenne arithmétique de $a$ et $c$ , c'est-à-dire $b = \frac{a + c}{2}$ .
Trois nombres strictement positifs $a$ , $b$ , $c$ sont des termes consécutifs d'une suite géométrique si et seulement si $b$ est la moyenne géométrique de $a$ et $c$ , c'est-à-dire $b = a \times c$ .

Méthode

Prouver que trois nombres sont (ou non) des termes consécutifs.

Piste arithmétique : calculer les deux différences $b - a$ et $c - b$ . Si elles sont égales, les trois nombres sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique dont la raison est cette différence ; sinon, ils ne le sont pas.
Piste géométrique (nombres strictement positifs) : calculer les deux quotients $\frac{b}{a}$ et $\frac{c}{b}$ . S'ils sont égaux, les trois nombres sont des termes consécutifs d'une suite géométrique dont la raison est ce quotient ; sinon, ils ne le sont pas.

On peut aussi vérifier directement si $b = \frac{a + c}{2}$ (piste arithmétique) ou si $b = a \times c$ (piste géométrique).

Exemple

Les nombres $12$ , $18$ et $27$ sont-ils des termes consécutifs d'une suite arithmétique ? d'une suite géométrique ?

Piste arithmétique. On calcule les différences : $18 - 12 = 6$ et $27 - 18 = 9$ . Elles sont différentes ( $6 \neq = 9$ ), donc $12$ , $18$ et $27$ ne sont pas des termes consécutifs d'une suite arithmétique. Autre vérification : la moyenne arithmétique de $12$ et $27$ vaut $\frac{12 + 27}{2} = 19, 5$ , qui n'est pas $18$ .

Piste géométrique. Les trois nombres sont strictement positifs. On calcule les quotients : $\frac{18}{12} = 1, 5$ et $\frac{27}{18} = 1, 5$ . Les deux quotients sont égaux, donc $12$ , $18$ et $27$ sont des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q = 1, 5$ . On retrouve ce résultat avec la moyenne géométrique : $12 \times 27 = 324 = 18$ .

Somme des termes d'une suite arithmétique

Une histoire célèbre raconte qu'à l'école primaire, le jeune Carl Friedrich Gauss reçut comme punition de calculer $1 + 2 + 3 + \dots + 100$ . Il donna la réponse en quelques secondes : $5050$ . Son astuce ? Associer les nombres deux par deux en partant des extrémités : $1 + 100 = 101$ , puis $2 + 99 = 101$ , puis $3 + 98 = 101$ … On forme ainsi $50$ paires qui valent toutes $101$ , d'où un total de $50 \times 101 = 5050$ .

On peut visualiser la même idée avec un escalier : représentons la somme $1 + 2 + 3 + 4 + 5$ par un escalier de carrés ( $1$ carré sur la première marche, $2$ sur la deuxième, etc.). En emboîtant deux escaliers identiques tête-bêche, on forme un rectangle de $5$ colonnes et $6$ lignes, soit $30$ carrés.

Deux escaliers représentant chacun la somme 1+2+3+4+5, emboîtés tête-bêche pour former un rectangle de 5 colonnes et 6 lignes

Deux escaliers font $5 \times 6 = 30$ carrés, donc un seul en fait la moitié : $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = \frac{5 \times 6}{2} = 15$ . Ce raisonnement fonctionne pour n'importe quelle hauteur d'escalier.

Propriété

Somme des premiers entiers. Pour tout entier naturel $n \geq 1$ :

1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

Cette formule se généralise à toutes les suites arithmétiques, car l'astuce de Gauss y fonctionne à l'identique : dans une suite arithmétique, la somme des deux termes extrêmes est égale à la somme du deuxième et de l'avant-dernier, et ainsi de suite. Chaque paire vaut « premier terme $+$ dernier terme », et il y a autant de paires que la moitié du nombre de termes.

Propriété

Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique.

S = (nombre de termes) \times \frac{premier terme + dernier terme}{2}

Autrement dit : la somme est égale au nombre de termes multiplié par la moyenne arithmétique des deux termes extrêmes. En particulier, pour une suite arithmétique $u$ définie à partir du rang $0$ , la somme $u (0) + u (1) + \dots + u (n)$ compte $n + 1$ termes et vaut $(n + 1) \times \frac{u ( 0 ) + u ( n )}{2}$ .

Méthode

Calculer la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique.

Vérifier que la suite est arithmétique et identifier le premier terme et le dernier terme de la somme.
Compter le nombre de termes : de $u (p)$ à $u (n)$ , il y a $n - p + 1$ termes (attention, ce n'est pas $n - p$ ).
Appliquer la formule $S = (nombre de termes) \times \frac{premier terme + dernier terme}{2}$ .

Exemple

Les gradins d'une salle de spectacle. Les gradins comptent $15$ rangées. La première rangée contient $20$ sièges, et chaque rangée en contient $2$ de plus que la précédente. Combien la salle compte-t-elle de sièges en tout ?

Le nombre de sièges de la rangée $n$ (en numérotant à partir de $1$ ) suit une suite arithmétique de premier terme $u (1) = 20$ et de raison $r = 2$ , donc $u (n) = u (1) + (n - 1) \times 2$ . La dernière rangée contient $u (15) = 20 + 14 \times 2 = 48$ sièges. La somme comporte $15$ termes, le premier vaut $20$ et le dernier $48$ :

S = 15 \times \frac{20 + 48}{2} = 15 \times 34 = 510

La salle compte $510$ sièges.

Nous pouvons maintenant trancher la moitié du duel de l'introduction. Avec le contrat A, les salaires des $10$ premières années sont $a (0) = 20000$ , $a (1) = 20500$ , …, $a (9) = 24500$ : c'est une somme de $10$ termes consécutifs d'une suite arithmétique. Le total perçu vaut donc $10 \times \frac{20 000 + 24 500}{2} = 10 \times 22250 = 222500$ €. Reste à calculer le cumul du contrat B, qui est une somme géométrique : c'est l'objet de la section suivante.

Somme des termes d'une suite géométrique

Le besoin d'additionner les termes d'une suite géométrique surgit dès qu'on épargne régulièrement : chaque versement grossit avec les intérêts, et le capital final est la somme de toutes ces contributions. Avant d'y venir (section 6), établissons la formule sur la somme la plus simple, celle des puissances successives d'un nombre $q$ .

Posons $S = 1 + q + q^{2} + \dots + q^{n - 1}$ (les $n$ premières puissances de $q$ , en partant de $q^{0} = 1$ ). L'astuce consiste à multiplier $S$ par $q$ puis à soustraire : presque tout s'élimine.

S q \times S S - q \times S = 1 + q + q^{2} + \dots + q^{n - 1} = q + q^{2} + \dots + q^{n - 1} + q^{n} = 1 - q^{n}

En effet, dans la soustraction, les termes $q$ , $q^{2}$ , …, $q^{n - 1}$ apparaissent dans les deux lignes et disparaissent : il ne reste que le $1$ de la première ligne et le $q^{n}$ de la deuxième. On factorise le membre de gauche : $S \times (1 - q) = 1 - q^{n}$ . Si $q \neq = 1$ , on peut diviser par $1 - q$ .

Propriété

Somme des puissances de $q$ . Pour tout nombre $q \neq = 1$ et tout entier $n \geq 1$ :

1 + q + q^{2} + \dots + q^{n - 1} = \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}

Cette somme comporte $n$ termes (de $q^{0}$ à $q^{n - 1}$ ), et l'exposant au numérateur est ce nombre de termes.

Pour une suite géométrique quelconque, chaque terme est le premier terme multiplié par une puissance de $q$ : il suffit donc de mettre le premier terme en facteur.

Propriété

Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique. Si la raison $q$ est différente de $1$ :

S = premier terme \times \frac{1 - q ^{nombre de termes}}{1 - q}

En particulier, pour une suite géométrique $u$ définie à partir du rang $0$ , la somme $u (0) + u (1) + \dots + u (n)$ compte $n + 1$ termes et vaut $u (0) \times \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ .

Insistons sur le piège classique : l'exposant qui figure dans la formule est le nombre de termes de la somme, pas le rang du dernier terme. La somme $u (0) + \dots + u (n)$ compte $n + 1$ termes (le rang $0$ compte !), donc l'exposant est $n + 1$ . Écrire $q^{n}$ à la place de $q^{n + 1}$ est l'erreur la plus fréquente du chapitre : comptez toujours les termes avant d'écrire la formule.

Méthode

Calculer la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique.

Vérifier que la suite est géométrique, identifier le premier terme de la somme et la raison $q$ (avec $q \neq = 1$ ).
Compter le nombre de termes : de $u (p)$ à $u (n)$ , il y a $n - p + 1$ termes.
Appliquer la formule $S = premier terme \times \frac{1 - q ^{nombre de termes}}{1 - q}$ .

Exemple

Production en hausse. Une menuiserie a fabriqué $2000$ meubles la première année, et sa production augmente de $5 %$ par an. Combien de meubles aura-t-elle fabriqués en tout au bout de $8$ années d'activité ?

La production annuelle suit une suite géométrique de premier terme $2000$ et de raison $q = 1, 05$ . Le total demandé est la somme des $8$ premiers termes : le premier terme vaut $2000$ , la raison $1, 05$ et le nombre de termes est $8$ .

S = 2000 \times \frac{1 - 1 , 0 5 ^{8}}{1 - 1 , 05} \approx 19098

La menuiserie aura fabriqué environ $19098$ meubles en huit ans.

Terminons le duel des contrats. Avec le contrat B, les salaires des $10$ premières années forment une suite géométrique de premier terme $20000$ et de raison $1, 02$ : la somme compte $10$ termes et vaut $20000 \times \frac{1 - 1 , 0 2 ^{10}}{1 - 1 , 02} \approx 218994$ €. Verdict : sur $10$ ans, le contrat A rapporte $222500$ €, soit environ $3500$ € de plus que le contrat B. La hausse fixe de $500$ € l'emporte ici, car $2 %$ de $20000$ € ne font que $400$ € la première année : la croissance exponentielle part moins vite. Mais elle accélère d'année en année, et sur une carrière assez longue le contrat B finirait par prendre l'avantage, comme on peut le constater en prolongeant les calculs au tableur ou à la calculatrice.

La notation sigma

Écrire $u (0) + u (1) + \dots + u (n)$ avec des pointillés est long et parfois ambigu. Les mathématiciens utilisent une notation compacte : la lettre grecque sigma majuscule, $\sum$ , qui signifie « somme ».

Définition

Notation sigma. La notation

k = 1 \sum n u (k)

se lit « somme des $u (k)$ pour $k$ allant de $1$ à $n$ » et désigne la somme $u (1) + u (2) + \dots + u (n)$ . La lettre $k$ est le compteur (ou indice) : il part de la valeur écrite sous le $\sum$ (la borne de départ), progresse de $1$ en $1$ , et s'arrête à la valeur écrite au-dessus (la borne d'arrivée). À chaque valeur du compteur, on ajoute le terme correspondant.

Dans cette section, on utilisera aussi l'écriture indicée $u_{k}$ sous le symbole $\sum$ lorsqu'elle est plus lisible : rappelons que $u_{k}$ et $u (k)$ désignent le même nombre. Le programme demande de pratiquer cette notation sur des exemples variés, pas seulement sur les suites arithmétiques et géométriques. Voici trois classiques : une somme de carrés, une somme de cubes et une somme d'inverses.

Exemple

Trois sommes à développer.

$k = 1 \sum 5 k^{2} = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55$
$k = 1 \sum 4 k^{3} = 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} = 1 + 8 + 27 + 64 = 100$
$k = 1 \sum 3 \frac{1}{k} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{11}{6}$

Les deux grandes formules du chapitre s'écrivent élégamment avec sigma. La somme des premiers entiers devient :

k = 1 \sum n k = \frac{n ( n + 1 )}{2}

Et la somme des puissances de $q$ (pour $q \neq = 1$ ) devient :

k = 0 \sum n - 1 q^{k} = \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}

Remarquez la borne de départ $k = 0$ dans la seconde : la somme commence à $q^{0} = 1$ . C'est l'occasion de donner la règle de comptage qui évite le piège de la section précédente.

Méthode

Lire une somme écrite avec sigma. Devant une écriture $k = p \sum n (terme en k)$ , identifier dans l'ordre :

la borne de départ $p$ (sous le sigma) : première valeur du compteur ;
la borne d'arrivée $n$ (au-dessus du sigma) : dernière valeur du compteur ;
le terme général (à droite du sigma) : l'expression à additionner, calculée pour chaque valeur de $k$ ;
le nombre de termes : $n - p + 1$ (borne d'arrivée moins borne de départ, plus $1$ ).

Pour se convaincre, écrire les deux ou trois premiers termes et le dernier.

Exemple

Que vaut $k = 3 \sum 7 k^{2}$ ? Borne de départ : $3$ . Borne d'arrivée : $7$ . Terme général : $k^{2}$ . Nombre de termes : $7 - 3 + 1 = 5$ . On développe :

k = 3 \sum 7 k^{2} = 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} + 6^{2} + 7^{2} = 9 + 16 + 25 + 36 + 49 = 135

Application : épargne et versements réguliers

Voici la situation phare du programme : un placement à intérêts composés à taux constant, alimenté par des versements réguliers. C'est exactement le fonctionnement d'un plan d'épargne alimenté chaque année.

La situation. Chaque 1er janvier, pendant $5$ ans, on verse $100$ € sur un compte rémunéré à $3 %$ par an (intérêts composés : chaque 31 décembre, le solde du compte est multiplié par $1, 03$ ). Quelle est la valeur acquise du placement juste après les intérêts de la cinquième année ?

L'idée clé : chaque versement vit sa propre vie. Les cinq versements ne fructifient pas pendant la même durée. Le premier versement, déposé le 1er janvier de l'année 1, reçoit des intérêts pendant $5$ années complètes : il devient $100 \times 1, 0 3^{5}$ . Le deuxième, déposé un an plus tard, ne fructifie que $4$ ans : il devient $100 \times 1, 0 3^{4}$ . Et ainsi de suite jusqu'au cinquième versement, déposé le 1er janvier de l'année 5, qui ne fructifie qu'un an : il devient $100 \times 1, 0 3^{1}$ . Récapitulons les valeurs acquises par chaque versement (arrondies au centime) :

Versement	Durée de placement	Valeur acquise
1er	$5$ ans	$100 \times 1, 0 3^{5} \approx 115, 93$ €
2e	$4$ ans	$100 \times 1, 0 3^{4} \approx 112, 55$ €
3e	$3$ ans	$100 \times 1, 0 3^{3} \approx 109, 27$ €
4e	$2$ ans	$100 \times 1, 0 3^{2} = 106, 09$ €
5e	$1$ an	$100 \times 1, 0 3^{1} = 103$ €

La valeur acquise est une somme géométrique. La valeur totale du placement est la somme de ces cinq valeurs :

S = 100 \times 1, 03 + 100 \times 1, 0 3^{2} + 100 \times 1, 0 3^{3} + 100 \times 1, 0 3^{4} + 100 \times 1, 0 3^{5}

Ce sont cinq termes consécutifs d'une suite géométrique : on passe de chacun au suivant en multipliant par $1, 03$ . Le premier terme est $100 \times 1, 03 = 103$ , la raison est $q = 1, 03$ et le nombre de termes est $5$ . La formule de la section 4 s'applique :

S = 103 \times \frac{1 - 1 , 0 3 ^{5}}{1 - 1 , 03} \approx 546, 84

Conclusion. Après cinq ans, le placement vaut environ $546, 84$ €. On a versé $5 \times 100 = 500$ € en tout : les intérêts composés ont rapporté environ $46, 84$ €. Retenez la démarche, car elle se transpose à tout montant, tout taux et toute durée : écrire la valeur acquise de chaque versement (chacun avec sa propre durée de placement), reconnaître une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique, puis appliquer la formule.

Calculer une somme en Python

Quand la somme ne se prête à aucune formule (une somme de carrés, de cubes, d'inverses…), l'ordinateur la calcule terme après terme. Le principe est celui de la tirelire : une variable, appelée accumulateur, démarre à $0$ et reçoit les termes un par un, pendant qu'un compteur parcourt les valeurs de l'indice. Voici une fonction Python qui calcule $k = 1 \sum n k^{2}$ , la somme des $n$ premiers carrés :

def somme_carres(n):
    total = 0                    # accumulateur : la tirelire demarre vide
    for k in range(1, n + 1):    # compteur : k prend les valeurs 1, 2, ..., n
        total = total + k**2     # on ajoute le terme k^2 a la tirelire
    return total                 # sortie de boucle : total contient la somme

print(somme_carres(5))           # affiche 55

Détaillons chaque ligne et son rôle dans le calcul.

Ligne 2 (initialisation). Avant de commencer, la somme en construction vaut $0$ : la variable total est l'accumulateur, vide au départ.
Ligne 3 (compteur et bornes). L'instruction for k in range(1, n + 1) fait prendre à k les valeurs $1$ , $2$ , …, $n$ . Attention au piège de range : la borne d'arrivée est exclue, il faut donc écrire n + 1 pour que la dernière valeur soit bien n.
Ligne 4 (accumulation). À chaque tour de boucle, on remplace total par total + k**2 : le carré du compteur vient s'ajouter à la tirelire. En Python, k**2 désigne $k^{2}$ .
Ligne 5 (sortie de boucle). Quand la boucle se termine, total contient la somme complète, que la fonction renvoie.

Ce programme est la traduction mot à mot de l'écriture $k = 1 \sum n k^{2}$ : la borne de départ et la borne d'arrivée du sigma deviennent les bornes du range, le compteur $k$ du sigma devient la variable de boucle k, et le symbole $\sum$ lui-même devient le geste d'accumulation total = total + .... Savoir passer de l'une à l'autre de ces deux écritures est une capacité attendue du programme.

Les variantes s'obtiennent en changeant une seule ligne, celle du terme ajouté. Pour la somme des cubes $k = 1 \sum n k^{3}$ , on remplace k**2 par k**3. Pour la somme des inverses $k = 1 \sum n \frac{1}{k}$ , on remplace k**2 par 1/k. Le squelette du programme (initialisation, boucle, accumulateur, retour) ne change jamais : c'est lui qu'il faut retenir.

À retenir

Méthode

Les réflexes du chapitre.

Moyennes : $b$ est la moyenne arithmétique de $a$ et $c$ si $b = \frac{a + c}{2}$ ; pour des nombres strictement positifs, $b$ est la moyenne géométrique si $b = a \times c$ . Trois nombres sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique (resp. géométrique) si et seulement si celui du milieu est la moyenne arithmétique (resp. géométrique) des deux autres.
Somme arithmétique : $S = (nombre de termes) \times \frac{premier terme + dernier terme}{2}$ , et en particulier $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .
Somme géométrique ( $q \neq = 1$ ) : $S = premier terme \times \frac{1 - q ^{nombre de termes}}{1 - q}$ , et en particulier $1 + q + \dots + q^{n - 1} = \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}$ .
Compter les termes : de $u (p)$ à $u (n)$ , il y a $n - p + 1$ termes. C'est ce nombre, et non le rang du dernier terme, qui figure en exposant dans la formule géométrique.
Notation sigma : $k = p \sum n u (k) = u (p) + u (p + 1) + \dots + u (n)$ ; lire la borne de départ, la borne d'arrivée, le terme général, puis compter les termes.
Versements réguliers : chaque versement fructifie pendant sa propre durée ; la valeur acquise totale est une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $1 + \frac{t}{100}$ .
Python : toute somme se programme avec le quatuor initialisation (total = 0), compteur (for k in range(p, n + 1)), accumulateur (total = total + terme) et retour (return total).

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Les exercices

14 exercices, difficulté croissante de ★ (application directe) à ★★★★ (défi). Les corrigés détaillés sont dans le PDF — cherchez d'abord, le corrigé ensuite : c'est là que ça progresse.

Exercice 1 ★★★★ — Calculer le terme de rang n

Terme de rang n (formules explicites)

Rappel. Si la suite $u$ est arithmétique de raison $r$ , alors $u (n) = u (0) + n \times r$ . Si la suite $u$ est géométrique de raison $q$ , alors $u (n) = u (0) \times q^{n}$ .

La suite $u$ est arithmétique de premier terme $u (0) = 15$ et de raison $r = 4$ .

a. Exprimer $u (n)$ en fonction de $n$ .

b. Calculer $u (25)$ .
La suite $v$ est géométrique de premier terme $v (0) = 3$ et de raison $q = 2$ .

a. Exprimer $v (n)$ en fonction de $n$ .

b. Calculer $v (10)$ .
La suite $w$ est arithmétique de raison $r = 2, 5$ . Cette fois, c'est le terme de rang $1$ qui est donné : $w (1) = 8$ .

a. Exprimer $w (n)$ en fonction de $n$ , pour $n \geq 1$ . (Attention : entre le rang $1$ et le rang $n$ , on ajoute $n - 1$ fois la raison.)

b. Calculer $w (30)$ .
Pour chacune des suites suivantes, calculer le terme demandé.

a. $u$ arithmétique, $u (0) = 7$ , $r = 3$ : calculer $u (12)$ .
b. $v$ géométrique, $v (0) = 5$ , $q = 3$ : calculer $v (4)$ .
c. $u$ arithmétique, $u (0) = 100$ , $r = - 6$ : calculer $u (15)$ .
d. $v$ géométrique, $v (0) = 2000$ , $q = 0, 5$ : calculer $v (3)$ .

Exercice 2 ★★★★ — Trois nombres, termes consécutifs ?

Moyennes arithmétique et géométrique, termes consécutifs

Méthode. Trois nombres $a$ ; $b$ ; $c$ sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique lorsque la différence est constante : $b - a = c - b$ . Ce sont des termes consécutifs d'une suite géométrique lorsque le quotient est constant : $\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$ .

Pour chacune des listes suivantes, dire si les trois nombres sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique, d'une suite géométrique, ou ni l'un ni l'autre. Justifier chaque réponse par un calcul de différences ou de quotients.

a. $7$ ; $12$ ; $17$

b. $5$ ; $15$ ; $45$

c. $4$ ; $10$ ; $25$

d. $8$ ; $11$ ; $15$

e. $2$ ; $6$ ; $18$ (pour cette liste, vérifier les deux natures : arithmétique et géométrique)

Exercice 3 ★★★★ — Moyennes arithmétique et géométrique

Moyennes arithmétique et géométrique, termes consécutifs

Rappel. La moyenne arithmétique de deux nombres $a$ et $b$ est $\frac{a + b}{2}$ . La moyenne géométrique de deux nombres positifs $a$ et $b$ est $a \times b$ . Trois nombres positifs $a$ ; $b$ ; $c$ sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique lorsque $b$ est la moyenne arithmétique de $a$ et $c$ , et d'une suite géométrique lorsque $b$ est la moyenne géométrique de $a$ et $c$ .

a. Calculer la moyenne arithmétique de $4$ et $25$ .

b. Calculer la moyenne géométrique de $4$ et $25$ .

c. Comparer les deux résultats.
On veut insérer un nombre $b$ entre $12$ et $48$ pour que $12$ ; $b$ ; $48$ soient trois termes consécutifs :

a. d'une suite arithmétique — calculer $b$ ;

b. d'une suite géométrique à termes positifs — calculer $b$ .
Le prix d'un article passe de 200 € à 242 € après deux augmentations successives de même taux. On note $p$ le prix (en euros) après la première augmentation.

a. Justifier que $200$ ; $p$ ; $242$ sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique.

b. En déduire que $p$ est la moyenne géométrique de $200$ et $242$ , puis calculer $p$ .

c. Déterminer le taux de chaque augmentation.

Exercice 4 ★★★★ — Déterminer la raison d'une évolution

Modéliser une évolution : nature et raison

Les trois situations sont indépendantes.

Une salle de sport comptait $320$ abonnés en janvier. Six mois plus tard, elle en compte $410$ . Le nombre d'abonnés a augmenté du même nombre chaque mois. On note $u (n)$ le nombre d'abonnés après $n$ mois, avec $u (0) = 320$ .

a. Quelle est la nature de la suite $u$ ? Justifier.

b. Calculer sa raison.

c. Si l'évolution se poursuit au même rythme, combien la salle comptera-t-elle d'abonnés au bout d'un an ?
Dans une expérience, une population de bactéries est multipliée par $1, 8$ toutes les heures. Au départ, la population compte $500$ bactéries. On note $v (n)$ le nombre de bactéries après $n$ heures.

a. Quelle est la nature de la suite $v$ ? Donner sa raison.

b. Exprimer $v (n)$ en fonction de $n$ .

c. Calculer le nombre de bactéries après $5$ heures (arrondir à l'unité).
Un loyer est passé de 600 € à 726 € en deux ans, avec le même taux d'augmentation chaque année. On note $q$ le coefficient multiplicateur annuel ( $q > 0$ ).

a. Justifier que $q^{2} = 1, 21$ .

b. En déduire la valeur de $q$ , puis le taux d'augmentation annuel.

c. Quel était le montant du loyer au bout d'un an ?

Exercice 5 ★★★★ — La somme 1 + 2 + … + n

Somme des termes d'une suite arithmétique

Rappel. Pour tout entier $n \geq 1$ : $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .

Calculer $1 + 2 + 3 + \dots + 100$ .
Calculer les sommes suivantes.

a. $1 + 2 + \dots + 50$
b. $1 + 2 + \dots + 200$
c. la somme des entiers de $1$ à $30$
d. la somme des entiers de $1$ à $999$
Dans un théâtre, les rangées sont numérotées de $1$ à $25$ . La rangée numéro $k$ contient exactement $k + 19$ sièges : la rangée $1$ a $20$ sièges, la rangée $2$ en a $21$ , et ainsi de suite.

a. Combien de sièges compte la rangée $1$ ? La rangée $25$ ?

b. Expliquer pourquoi le nombre total de sièges du théâtre est égal à la somme $1 + 2 + \dots + 25$ , augmentée de $25 \times 19$ sièges.

c. En déduire le nombre total de sièges du théâtre.

Exercice 6 ★★★★ — Sommes de termes d'une suite arithmétique

Somme des termes d'une suite arithmétiqueTerme de rang n (formules explicites)

Rappel. La somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique vaut $S = nombre de termes \times \frac{premier terme + dernier terme}{2}$ .

La suite $u$ est arithmétique de premier terme $u (0) = 5$ et de raison $r = 3$ .

a. Calculer $u (19)$ .

b. Combien de termes compte la somme $S = u (0) + u (1) + \dots + u (19)$ ? (Attention, on compte à partir du rang $0$ .)

c. Calculer $S$ .
On considère la somme $S^{'} = 4 + 7 + 10 + \dots + 61$ , dont les termes sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique de premier terme $4$ et de raison $3$ .

a. Déterminer le nombre de termes de cette somme. (On pourra chercher l'entier $n$ tel que $4 + 3 n = 61$ .)

b. Calculer $S^{'}$ .
Dans un stade, la première rangée d'un gradin compte $28$ places, et chaque rangée suivante compte $4$ places de plus que la précédente. Le gradin compte $22$ rangées en tout.

a. Combien de places compte la dernière rangée ?

b. Quelle est la capacité totale du gradin ?

Exercice 7 ★★★★ — Sommes de termes d'une suite géométrique

Somme des termes d'une suite géométrique

Rappel. La somme de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q \neq = 1$ vaut $S = premier terme \times \frac{1 - q ^{nombre de termes}}{1 - q}$ .

Selon la légende, l'inventeur du jeu d'échecs demanda un grain de riz sur la première case de l'échiquier, puis le double sur chaque case suivante. Calculer la somme $S = 1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 2^{10}$ , qui compte les grains posés sur les $11$ premières cases.
Calculer les sommes suivantes.

a. $1 + 3 + 3^{2} + \dots + 3^{5}$
b. $1 + 0, 5 + 0, 5^{2} + \dots + 0, 5^{4}$
c. $1 + 5 + 5^{2} + 5^{3}$
d. $1 + 10 + 1 0^{2} + 1 0^{3} + 1 0^{4}$
La suite $v$ est géométrique de premier terme $v (0) = 10$ et de raison $q = 1, 2$ . Calculer la somme $S = v (0) + v (1) + \dots + v (9)$ , arrondie au centième.

Exercice 8 ★★★★ — Sommes géométriques en situation

Somme des termes d'une suite géométriqueTerme de rang n (formules explicites)

On considère la suite géométrique $v$ de premier terme $v (0) = 800$ et de raison $q = 0, 9$ .

a. Exprimer $v (n)$ en fonction de $n$ .

b. Calculer $v (5)$ , arrondi à l'unité.

c. Préciser le nombre de termes de la somme $S = v (0) + v (1) + \dots + v (5)$ , puis calculer $S$ , arrondie à l'unité.
Calculer la somme $5 + 10 + 20 + \dots + 5 \times 2^{8}$ . On reconnaîtra la somme des termes d'une suite géométrique dont on précisera le premier terme, la raison et le nombre de termes.
Une vidéo est mise en ligne. Elle reçoit $150$ vues le jour 1, puis, chaque jour, le nombre de nouvelles vues est multiplié par $1, 4$ .

a. Combien de nouvelles vues la vidéo reçoit-elle le jour 7 ? Arrondir à l'unité.

b. Combien de vues la vidéo totalise-t-elle au bout des $7$ premiers jours ? Arrondir à l'unité.

Exercice 9 ★★★★ — Lire et écrire avec la notation sigma

Notation sigma

Écrire chaque somme en extension (c'est-à-dire en écrivant tous ses termes), sans la calculer.

a. $k = 1 \sum 5 k^{2}$
b. $k = 1 \sum 4 k^{3}$
c. $k = 1 \sum 4 \frac{1}{k}$
d. $k = 0 \sum 3 2^{k}$
Écrire chaque somme à l'aide de la notation sigma.

a. $1 + 2 + 3 + \dots + 40$

b. $3 + 6 + 9 + \dots + 30$

c. $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{10}$
Sans calculer les sommes, donner le nombre de termes de $k = 5 \sum 20 u (k)$ , puis celui de $k = 0 \sum n u (k)$ où $n$ est un entier naturel.
Calculer $k = 1 \sum 5 k^{2}$ , puis $k = 1 \sum 4 \frac{1}{k}$ (donner le résultat sous forme de fraction).

Exercice 10 ★★★★ — Calculer des sommes écrites avec sigma

Notation sigmaSomme des termes d'une suite arithmétiqueSomme des termes d'une suite géométrique

Calculer chacune des sommes suivantes. On commencera à chaque fois par identifier la situation : somme des premiers entiers, somme des termes d'une suite arithmétique ou somme des termes d'une suite géométrique.

$k = 1 \sum 60 k$
$k = 1 \sum 25 (4 k + 1)$ . On pourra d'abord écrire les premiers termes et le dernier terme de la somme.
$k = 0 \sum 9 3 \times 2^{k}$
$k = 10 \sum 30 k$ . On pourra utiliser deux sommes de la forme $1 + 2 + \dots + n$ , ou bien la formule avec le premier et le dernier terme.

Exercice 11 ★★★★ — Sommes en Python

Calculs de sommes en PythonNotation sigma

On considère la fonction Python suivante.

def somme(n):
    S = 0
    for k in range(1, n + 1):
        S = S + k**2
    return S

Quelle valeur renvoie l'appel somme(4) ? Vérifier le résultat par un calcul à la main.
Pour un entier naturel $n \geq 1$ , quelle somme mathématique la fonction somme calcule-t-elle ? L'écrire avec la notation sigma.
Identifier dans le programme : l'initialisation, la variable qui joue le rôle d'accumulateur, et celle qui joue le rôle de compteur.
Modifier la fonction pour qu'elle calcule :

a. la somme des $n$ premiers cubes $1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3}$ ;

b. la somme des $n$ premiers inverses $1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$ .
On considère la suite arithmétique $u$ définie par $u (n) = 7 + 3 n$ pour tout entier naturel $n$ . Écrire une fonction Python qui calcule la somme $u (0) + u (1) + \dots + u (n)$ à l'aide d'une boucle for (sans utiliser de formule de somme). Quelle valeur renvoie cette fonction pour $n = 10$ ?

Exercice 12 ★★★★ — Reconnaître la situation : quelle somme ?

Modéliser une évolution : nature et raisonSomme des termes d'une suite arithmétiqueSomme des termes d'une suite géométrique

Pour chacune des trois situations suivantes :

identifier la nature de la suite sous-jacente (arithmétique ou géométrique) et préciser son premier terme et sa raison ;
dire si la question posée porte sur un terme de la suite ou sur une somme de termes ;
répondre à la question par un calcul.

a. Une entreprise produit $2000$ pièces la première semaine, puis $150$ pièces de plus chaque semaine. Combien de pièces produit-elle la $1 0^{e}$ semaine ? Combien de pièces a-t-elle produites au total au bout de $10$ semaines ?

b. Un capital de $5000$ € est placé à $2, 5 %$ par an, à intérêts composés, sans aucun versement supplémentaire. Quel est le capital disponible au bout de $8$ ans ? Arrondir au centime.

c. Une association reçoit $1200$ € de dons la première année. Chaque année, le montant des dons est multiplié par $0, 95$ . Quel montant total de dons l'association a-t-elle reçu au bout de $12$ ans ? Arrondir au centime.

Exercice 13 ★★★★ — Épargne : des versements qui fructifient

Somme des termes d'une suite géométriqueModéliser une évolution : nature et raison

Marc ouvre un livret d'épargne rémunéré à $4 %$ par an (intérêts composés). Le 1er janvier de chaque année, pendant $6$ ans, il verse 500 € sur ce livret (versements les 1er janvier des années 1 à 6).

On fait le bilan juste après le 6e versement : le 6e versement vient d'être déposé et n'a pas encore produit d'intérêts, tandis que le 1er versement a fructifié pendant $5$ ans.

Que vaut, au moment du bilan, la somme issue du 1er versement ? Celle issue du 6e versement ?
En procédant de même pour les autres versements, montrer que la valeur acquise sur le livret au moment du bilan s'écrit
$V = 500 (1 + 1, 04 + 1, 0 4^{2} + \dots + 1, 0 4^{5})$
Calculer $V$ , arrondie au centime.
Comparer $V$ au montant total versé par Marc et interpréter la différence.
On imagine maintenant que le livret est rémunéré à $0 %$ .

a. Que vaudrait la valeur acquise au moment du bilan ?

b. Les valeurs des $6$ versements au moment du bilan forment alors une suite constante, égale à $500$ . De quelle suite géométrique s'agit-il ? Peut-on utiliser la formule $S = premier terme \times \frac{1 - q ^{nombre de termes}}{1 - q}$ pour calculer leur somme ? Expliquer.

Exercice 14 ★★★★ — Deux contrats, dix ans de carrière

Modéliser une évolution : nature et raisonSomme des termes d'une suite arithmétiqueSomme des termes d'une suite géométriqueTerme de rang n (formules explicites)

Léa hésite entre deux contrats de travail, qu'elle envisage sur une carrière de $10$ ans :

Contrat A : salaire annuel initial de $24000$ €, augmenté de $900$ € chaque année ;
Contrat B : salaire annuel initial de $24000$ €, augmenté de $3 %$ chaque année.

Pour un entier naturel $n$ , on note $a (n)$ et $b (n)$ les salaires annuels, en euros, perçus la $(n + 1)$ -ième année avec chaque contrat. Ainsi $a (0) = b (0) = 24000$ .

Préciser la nature et la raison de chacune des suites $a$ et $b$ , puis exprimer $a (n)$ et $b (n)$ en fonction de $n$ .
Calculer les salaires de la $1 0^{e}$ année, c'est-à-dire $a (9)$ et $b (9)$ . Arrondir à l'euro.
Calculer le montant total perçu avec le contrat A sur les $10$ années.
Montrer que le montant total perçu avec le contrat B sur les $10$ années s'écrit $24000 \times \frac{1 , 0 3 ^{10} - 1}{0 , 03}$ , puis le calculer. Arrondir à l'euro.
Conclure.

a. Quel contrat rapporte le plus en cumul sur les $10$ ans ? Et sur la $1 0^{e}$ année seule ?

b. Question ouverte : le salaire du contrat A a une croissance linéaire, celui du contrat B une croissance exponentielle. Si la carrière de Léa se poursuit bien au-delà de $10$ ans, que peut-on prévoir ? On pourra s'aider de la calculatrice ou d'un tableur pour préciser la réponse.

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Le devoir surveillé

Sujet type DS — 60 min, barème sur 20 points. Faites-le en conditions réelles avant de regarder le corrigé (PDF).

Exercice 1 (5 points) — Nature, raison et termes

Les trois parties sont indépendantes. La calculatrice est autorisée.

Partie A. La suite $(u (n))$ , que l'on peut aussi noter $(u_{n})$ , est définie par son premier terme $u (0) = 12$ et, pour tout entier naturel $n$ ,

u (n + 1) = u (n) + 5.

Quelle est la nature de la suite $(u (n))$ ? Préciser sa raison.
Calculer $u (1)$ et $u (2)$ .
Exprimer $u (n)$ en fonction de $n$ .
Calculer $u (40)$ .

Partie B. La suite $(v (n))$ est géométrique, de premier terme $v (0) = 2500$ et de raison $q = 0, 8$ .

Exprimer $v (n)$ en fonction de $n$ .
Calculer $v (4)$ .

Partie C. Les deux questions sont indépendantes et demandent chacune une vérification complète.

Les nombres $18$ ; $27$ ; $40, 5$ sont-ils, dans cet ordre, trois termes consécutifs d'une suite géométrique ? Justifier.
Les nombres $18$ ; $27$ ; $36$ sont-ils, dans cet ordre, trois termes consécutifs d'une suite arithmétique ? Justifier.

Exercice 2 (5 points) — L'amphithéâtre

Un amphithéâtre compte $20$ rangées de sièges. La rangée $1$ , la plus proche de la scène, compte $14$ sièges. Ensuite, chaque rangée compte $3$ sièges de plus que la rangée précédente.

Pour tout entier $n$ compris entre $1$ et $20$ , on note $s (n)$ le nombre de sièges de la rangée $n$ . On a donc $s (1) = 14$ .

Calculer $s (2)$ et $s (3)$ .
Quelle est la nature de la suite $(s (n))$ ? Justifier et préciser sa raison.
Exprimer $s (n)$ en fonction de $n$ .
Combien de sièges compte la dernière rangée de l'amphithéâtre ?
Calculer la capacité totale de l'amphithéâtre, c'est-à-dire le nombre total de sièges des $20$ rangées.

Exercice 3 (6 points) — Le plan d'épargne

Nadia ouvre un plan d'épargne rémunéré au taux de $3 %$ par an (intérêts composés : chaque année, le capital présent sur le compte est multiplié par $1, 03$ ).

Le 1er janvier de chaque année, pendant $5$ années consécutives, elle verse 400 € sur ce compte (soit $5$ versements au total). On fait le bilan du compte juste après le 5e versement : à cette date, le 1er versement a été rémunéré pendant $4$ années complètes, tandis que le 5e versement vient tout juste d'être déposé.

Justifier que, au moment du bilan, le 1er versement a acquis la valeur $400 \times 1, 0 3^{4}$ euros, et donner cette valeur arrondie au centime. Quelle est la valeur du 5e versement à cette même date ?
En raisonnant de la même façon pour les autres versements, montrer que la valeur acquise $V$ du compte, en euros, au moment du bilan, s'écrit :

V = 400 (1 + 1, 03 + 1, 0 3^{2} + 1, 0 3^{3} + 1, 0 3^{4}) .

Justifier que la somme entre parenthèses est la somme des premiers termes consécutifs d'une suite géométrique dont on précisera le premier terme, la raison et le nombre de termes. En déduire la valeur de $V$ arrondie au centime.
Quel montant total Nadia a-t-elle versé sur le compte ? En déduire le montant des intérêts produits par le plan d'épargne, arrondi au centime.
Sans refaire tout le calcul, expliquer pourquoi, si Nadia avait versé 800 € chaque année au lieu de 400 €, la valeur acquise au moment du bilan aurait été exactement doublée.

Exercice 4 (4 points) — Sigma et Python

Combien de termes la somme $k = 1 \sum 40 k$ comporte-t-elle ? Calculer cette somme.
Calculer $k = 0 \sum 5 2^{k}$ .
On donne la fonction Python suivante :

def mystere(n):
    S = 0
    for k in range(1, n + 1):
        S = S + 1 / k
    return S

a. Quelle somme mathématique cette fonction calcule-t-elle ? L'écrire avec la notation sigma.

b. Calculer à la main la valeur exacte renvoyée par mystere(3). On donnera le résultat sous forme de fraction.

c. Dans ce programme, quelle variable joue le rôle d'accumulateur ? Quelle variable joue le rôle de compteur ?

Le sujet du DS(PDF, 40 Ko)Le corrigé du DS(PDF, 61 Ko)

Bloqué sur « Suites arithmétiques et géométriques : sommes » ?

On peut le travailler ensemble dès cette semaine. La première heure est offerte — on fait le point honnêtement, et vous repartez au minimum avec une méthode.

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