Tale techno · Chapitre 02 · Analyse

Fonctions exponentielles x ↦ aˣ

Prolongement des suites géométriques, variations selon a, puissances, taux d'évolution moyen.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Prolongement des suites géométriques
Variations selon a
Puissances
Taux d'évolution moyen

Le cours

En première, vous avez appris à modéliser les évolutions à taux constant avec les suites géométriques : une grandeur qui augmente de $8 %$ par mois est multipliée par $1, 08$ à chaque étape, et la formule $u (n) = u (0) \times q^{n}$ donne directement sa valeur au rang $n$ . Ce modèle a rendu de grands services, mais il a un défaut : le rang $n$ est un nombre entier. La suite fournit la valeur étape après étape, comme une série de photographies prises à intervalles réguliers — et entre deux photos, elle ne dit rien.

Or, dans la réalité, beaucoup de grandeurs évoluent à chaque instant : un capital placé produit des intérêts en continu, une population n'attend pas le 1er janvier pour grandir, l'audience d'une vidéo en ligne progresse heure par heure, la valeur d'une machine industrielle se déprécie jour après jour. Pour décrire ces phénomènes, il nous faut un modèle continu : un outil qui donne la valeur de la grandeur pour n'importe quel nombre $x$ , entier ou non.

Cet outil, ce sont les fonctions exponentielles $x \mapsto a^{x}$ , prolongement naturel des suites géométriques. En chemin, nous gagnerons deux savoir-faire très concrets : transformer des écritures avec les nouvelles règles de calcul, et répondre à une question que tout le monde se pose un jour devant un article de presse — « $+ 44 %$ en deux ans, ça fait du combien par an ? ».

Du discret au continu : les fonctions exponentielles

Partons d'une situation concrète. Une petite entreprise publie une vidéo de présentation de ses produits. Le nombre de vues, exprimé en milliers, est multiplié par $1, 4$ chaque jour : il suit la suite géométrique $u (n) = 1 \times 1, 4^{n}$ (premier terme $1$ , raison $1, 4$ ), où $n$ est le nombre de jours écoulés depuis la publication.

Jours $n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Vues $u (n)$ (milliers)	$1$	$1, 4$	$1, 96$	$2, 744$	$\approx 3, 84$	$\approx 5, 38$

En plaçant les points $(n; u (n))$ dans un repère, on obtient un nuage de six points isolés. Posons maintenant une question toute simple : combien de vues au bout de deux jours et demi ? Le compteur de vues ne s'arrête pas de tourner entre deux relevés — la valeur existe bel et bien à l'instant $x = 2, 5$ . Mais le nuage de points est muet entre les abscisses $2$ et $3$ : la suite est un modèle discret, et notre question est continue.

L'idée du chapitre tient en une phrase : compléter le nuage de points par une courbe régulière, sans trou ni cassure, qui prolonge exactement la tendance du nuage.

Nuage des points de coordonnées n et 1,4 puissance n pour n allant de 0 à 5, complété par la courbe continue d'équation y égale 1,4 puissance x sur l'intervalle de 0 à 5 : le modèle discret de la suite géométrique devient une courbe sans trou

Ce prolongement a un sens mathématique précis, que l'on admet.

Définition

Soit $a$ un réel strictement positif. Pour tout réel $x ⩾ 0$ , on sait définir le nombre $a^{x}$ , qui prolonge les puissances entières : quand $x$ est un entier naturel $n$ , $a^{x}$ est la puissance $a^{n}$ connue depuis le collège, et les points $(x; a^{x})$ dessinent une courbe régulière qui passe par tous les points du nuage de la suite géométrique $(a^{n})$ .

La fonction $x \mapsto a^{x}$ est appelée fonction exponentielle de base $a$ .

Quand $x$ n'est pas entier, c'est la calculatrice qui fournit la valeur, avec la touche puissance habituelle. Encore faut-il contrôler ce qu'elle affiche.

Méthode

Calculer $a^{x}$ à la calculatrice et contrôler le résultat.

Utiliser la touche puissance ^ (ou x^y selon les modèles) : pour $1, 4^{2, 5}$ , taper 1.4 ^ 2.5.
Encadrer l'exposant entre deux entiers : ici $2 < 2, 5 < 3$ .
Contrôler que le résultat est compris entre les deux puissances entières correspondantes : ici entre $1, 4^{2}$ et $1, 4^{3}$ . Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur de saisie.

Exemple

Combien de vues au bout de deux jours et demi ? La calculatrice donne $1, 4^{2, 5} \approx 2, 32$ .

Contrôle : $1, 4^{2} = 1, 96$ et $1, 4^{3} = 2, 744$ , et on a bien $1, 96 < 2, 32 < 2, 744$ — la valeur s'insère exactement entre les deux points entiers du nuage. La vidéo compte environ $2, 32$ milliers de vues, soit à peu près $2320$ vues, au bout de deux jours et demi.

Il reste une dernière étape pour disposer d'un outil complet : donner un sens aux exposants négatifs, afin que la fonction soit définie sur $R$ tout entier. On procède exactement comme pour les puissances entières de seconde, où $2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}}$ .

Définition

Soit $a$ un réel strictement positif. Pour tout réel $x ⩾ 0$ , on pose

a^{- x} = \frac{1}{a ^{x}}

La fonction exponentielle de base $a$ , $x \mapsto a^{x}$ , est ainsi définie pour tous les réels $x$ .

Exemple

$2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8} = 0, 125$ : on retrouve la règle des puissances entières de seconde.
$0, 5^{- 2} = \frac{1}{0 , 5 ^{2}} = \frac{1}{0 , 25} = 4$ .
$1, 4^{- 1} = \frac{1}{1 , 4} \approx 0, 71$ . Dans notre contexte, cela s'interprète : si le suivi des vues avait commencé un jour plus tôt, le compteur affichait environ $0, 71$ millier de vues, soit à peu près $710$ vues, la veille du jour $0$ .

Retenez au passage deux garde-fous : la base $a$ doit être strictement positive (on ne définit pas $(- 2)^{x}$ ), et quel que soit $x$ , le nombre $a^{x}$ est lui aussi strictement positif — un quotient de nombres strictement positifs ne peut pas s'annuler ni changer de signe.

Propriétés algébriques

Les règles de calcul sur les puissances entières, connues depuis la seconde, s'étendent à tous ces nouveaux exposants. On admet la propriété suivante — elle prolonge exactement ce que vous savez des suites géométriques.

Propriété

Règles de calcul (admises). Pour tout réel $a > 0$ , tous réels $x$ et $y$ , et tout entier relatif $n$ :

$a^{x + y} = a^{x} \times a^{y}$ — multiplier les puissances, c'est additionner les exposants ;
$a^{x - y} = \frac{a ^{x}}{a ^{y}}$ — diviser les puissances, c'est soustraire les exposants ;
$a^{n x} = (a^{x})^{n}$ — une puissance de puissance se calcule en multipliant les exposants ;
$a^{0} = 1$ et $a^{1} = a$ .

Deux remarques pour relier tout cela à ce qui précède. D'abord, la définition $a^{- x} = \frac{1}{a ^{x}}$ est le cas particulier $n = - 1$ de la troisième règle : tout est cohérent. Ensuite, la première règle appliquée avec $y = 1$ donne $a^{x + 1} = a^{x} \times a$ : quand $x$ augmente de $1$ , la valeur est multipliée par $a$ . C'est très exactement le comportement d'une suite géométrique de raison $a$ — la fonction exponentielle hérite du mécanisme multiplicatif de la suite qu'elle prolonge.

Exemple

Ces règles permettent de calculer sans calculatrice, même avec des exposants non entiers :

$3^{2, 4} \times 3^{0, 6} = 3^{2, 4 + 0, 6} = 3^{3} = 27$ ;
$\frac{2 ^{5, 5}}{2 ^{2, 5}} = 2^{5, 5 - 2, 5} = 2^{3} = 8$ ;
$(5^{0, 75})^{4} = 5^{0, 75 \times 4} = 5^{3} = 125$ .

Aucun de ces calculs ne demande de connaître la valeur de $3^{2, 4}$ ou de $5^{0, 75}$ : les règles font tout le travail.

Méthode

Transformer une écriture $a^{x}$ .

Repérer la structure de l'expression : produit de puissances de même base, quotient, ou puissance de puissance.
Appliquer la règle correspondante : additionner, soustraire ou multiplier les exposants.
Chercher à faire apparaître un exposant entier ou une base plus simple, puis calculer.
Contrôler à la calculatrice sur une valeur : les deux écritures doivent donner le même résultat.

Exemple

La troisième règle se lit aussi dans l'autre sens, pour changer de base. Par exemple, comme $1, 21 = 1, 1^{2}$ :

1, 2 1^{x} = (1, 1^{2})^{x} = 1, 1^{2 x}

Interprétation concrète : une hausse de $21 %$ par an ( $\times 1, 21$ ) produit le même effet que deux hausses successives de $10 %$ ( $\times 1, 1$ , deux fois par an). Contrôle sur une valeur : $1, 2 1^{3} = 1, 771561$ et $1, 1^{6} = 1, 771561$ — les deux écritures coïncident.

De même, dans l'exemple de la vidéo : $(1, 4^{2, 5})^{2} = 1, 4^{5}$ . Le coefficient multiplicateur de deux jours et demi, appliqué deux fois, redonne bien celui de cinq jours : $2, 3 2^{2} \approx 5, 38$ , c'est la valeur de $1, 4^{5}$ trouvée dans notre table.

Sens de variation et allure des courbes

Comment se comporte $x \mapsto a^{x}$ quand $x$ grandit ? Exactement comme la suite géométrique qu'elle prolonge : tout dépend de la position de la base $a$ par rapport à $1$ .

Propriété

Sens de variation de $x \mapsto a^{x}$ sur $R$ .

Si $a > 1$ , la fonction est strictement croissante.
Si $a = 1$ , la fonction est constante, égale à $1$ (car $1^{x} = 1$ pour tout $x$ ).
Si $0 < a < 1$ , la fonction est strictement décroissante.

Observons une famille de courbes pour des bases de part et d'autre de $1$ :

Famille des courbes d'équation y égale a puissance x sur l'intervalle de moins 3 à 3, pour les bases 2, 1,5, 1, 0,6 et 0,25 : les bases supérieures à 1 donnent des courbes croissantes, la base 1 donne la droite horizontale d'ordonnée 1, les bases inférieures à 1 donnent des courbes décroissantes ; toutes les courbes passent par le point de coordonnées 0 et 1

Trois observations à retenir sur cette figure.

Toutes les courbes passent par le point $(0; 1)$ . C'est la traduction graphique de $a^{0} = 1$ : peu importe la base, la valeur en $x = 0$ vaut toujours $1$ . Et comme $a^{1} = a$ , chaque courbe passe aussi par le point $(1; a)$ : l'ordonnée du point d'abscisse $1$ est la base.
Les courbes restent toujours au-dessus de l'axe des abscisses, car $a^{x} > 0$ pour tout $x$ : une exponentielle ne s'annule jamais et ne devient jamais négative.
Chaque courbe se rapproche de l'axe des abscisses sans jamais le toucher : du côté des $x$ négatifs quand $a > 1$ (regardez $y = 2^{x}$ à gauche du repère), du côté des $x$ positifs quand $0 < a < 1$ (regardez $y = 0, 2 5^{x}$ à droite). Plus la base s'éloigne de $1$ , plus la courbe monte ou descend vite.

Résumons les deux cas intéressants dans des tableaux de variations. Cas $a > 1$ (fonction strictement croissante) :

x

- \infty

+ \infty

a^{x}

Cas $0 < a < 1$ (fonction strictement décroissante) :

x

- \infty

+ \infty

a^{x}

Dans les problèmes concrets, la fonction exponentielle apparaît presque toujours multipliée par un coefficient : la valeur initiale de la grandeur. Étudions donc les fonctions $x \mapsto k a^{x}$ , où $k$ est un réel non nul. Comme $k a^{0} = k$ , la courbe passe par le point $(0; k)$ : le coefficient $k$ est la valeur en $0$ . Et multiplier par $k$ ne change pas le sens de variation si $k > 0$ , mais le retourne si $k < 0$ (multiplier par un nombre négatif renverse l'ordre).

Propriété

Sens de variation de $x \mapsto k a^{x}$ sur $R$ (avec $k \neq = 0$ et $a > 0$ , $a \neq = 1$ ).

Si $k > 0$ et $a > 1$ : la fonction est strictement croissante.
Si $k > 0$ et $0 < a < 1$ : la fonction est strictement décroissante.
Si $k < 0$ et $a > 1$ : la fonction est strictement décroissante.
Si $k < 0$ et $0 < a < 1$ : la fonction est strictement croissante.

En résumé : quand $k > 0$ , la fonction varie comme $a^{x}$ ; quand $k < 0$ , elle varie dans le sens contraire.

Quatre courbes sur l'intervalle de 0 à 4 illustrant les quatre cas de variation de k fois a puissance x : y égale 2 fois 1,4 puissance x croissante, y égale moins 2 fois 1,4 puissance x décroissante, y égale 3 fois 0,7 puissance x décroissante, y égale moins 3 fois 0,7 puissance x croissante

Exemple

Étudions $f (x) = - 3 \times 0, 7^{x}$ . Ici $k = - 3 < 0$ et $a = 0, 7$ avec $0 < 0, 7 < 1$ : la fonction est strictement croissante. Vérifions sur quelques valeurs : $f (0) = - 3$ , puis $f (2) = - 3 \times 0, 49 = - 1, 47$ , puis $f (4) = - 3 \times 0, 2401 \approx - 0, 72$ . Les valeurs augmentent bien (elles restent négatives, mais se rapprochent de $0$ ).

À l'inverse, $g (x) = 2 \times 1, 4^{x}$ cumule $k = 2 > 0$ et $a = 1, 4 > 1$ : elle est strictement croissante, et passe de $g (0) = 2$ à $g (4) = 2 \times 1, 4^{4} \approx 7, 68$ .

Modéliser une évolution relative constante

Le lien entre pourcentages et exponentielles est le même qu'en première avec les suites géométriques — simplement, il fonctionne désormais à tout instant. Une grandeur qui évolue de $t %$ par unité de temps est multipliée par le même coefficient à chaque unité : sa valeur suit une fonction $x \mapsto k a^{x}$ .

Méthode

Modéliser une évolution de $t %$ par unité de temps.

Reconnaître le modèle : la grandeur évolue du même pourcentage $t %$ à chaque unité de temps. (Si elle évolue par ajout d'une quantité fixe, le bon modèle est linéaire, pas exponentiel.)
Traduire le taux en coefficient multiplicateur : $a = 1 + \frac{t}{100}$ pour une hausse, $a = 1 - \frac{t}{100}$ pour une baisse.
Écrire le modèle : en notant $k$ la valeur initiale, la valeur à l'instant $x$ est $f (x) = k \times a^{x}$ . Contrôle : $f (0) = k \times a^{0} = k$ , le modèle démarre bien de la valeur initiale.
Exploiter : calculer $f (x)$ pour les instants demandés — entiers ou non — et conclure dans le contexte (unité, arrondi raisonnable).

Exemple

Une boutique en ligne compte $12000$ clients au 1er janvier, et ce nombre augmente de $8 %$ par mois.

Le taux est constant : $+ 8 %$ par mois — le modèle exponentiel s'applique.
Le coefficient multiplicateur mensuel est $a = 1 + \frac{8}{100} = 1, 08$ .
Le nombre de clients, $x$ mois après le 1er janvier, est modélisé par $f (x) = 12000 \times 1, 0 8^{x}$ .
La nouveauté par rapport à la suite de première : on peut interroger le modèle à n'importe quel instant. À la mi-mai, soit $4, 5$ mois après le 1er janvier : $f (4, 5) = 12000 \times 1, 0 8^{4, 5} \approx 16966$ clients. Contrôle d'encadrement : $f (4) \approx 16326$ et $f (5) \approx 17632$ , et notre valeur est bien comprise entre les deux.

La question se pose souvent à l'envers : non pas « combien de clients à l'instant $x$ ? », mais « à partir de quand le cap des $25000$ clients sera-t-il franchi ? ». Il s'agit de trouver $x$ tel que $12000 \times 1, 0 8^{x} = 25000$ — et à ce stade de l'année, aucune formule ne permet d'isoler $x$ dans une équation de ce type. Ce n'est pas un problème : une table de valeurs bien menée répond très proprement.

Méthode

Résoudre un problème de seuil avec une table de valeurs.

Écrire l'inéquation à résoudre dans le contexte : ici $f (x) > 25000$ .
Dresser une table de valeurs de $f$ avec un pas entier, jusqu'à franchir le seuil.
Conclure par un encadrement : la dernière valeur sous le seuil et la première au-dessus.
Si l'énoncé le demande, resserrer la table (pas de $0, 1$ ou $0, 2$ ) entre ces deux valeurs pour préciser l'instant du franchissement.
Terminer par une phrase de conclusion dans le contexte.

Exemple

À partir de quand la boutique dépassera-t-elle $25000$ clients ? Table de valeurs de $f (x) = 12000 \times 1, 0 8^{x}$ avec un pas de $1$ (valeurs arrondies à l'unité) :

$x$ (mois)	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$f (x)$	$19042$	$20566$	$22211$	$23988$	$25907$

Encadrement : $f (9) \approx 23988 < 25000$ et $f (10) \approx 25907 > 25000$ . Le seuil est franchi entre le $9$ e et le $10$ e mois. Resserrons la table entre $9$ et $10$ avec un pas de $0, 2$ :

$x$ (mois)	$9$	$9, 2$	$9, 4$	$9, 6$	$9, 8$
$f (x)$	$23988$	$24360$	$24738$	$25122$	$25511$

Cette fois $f (9, 4) \approx 24738 < 25000$ et $f (9, 6) \approx 25122 > 25000$ : le cap des $25000$ clients est franchi entre $9, 4$ et $9, 6$ mois après le 1er janvier, c'est-à-dire dans la deuxième quinzaine d'octobre. On peut aussi retrouver ce résultat graphiquement, en traçant la courbe de $f$ et la droite horizontale d'équation $y = 25000$ sur la calculatrice, puis en lisant l'abscisse du point d'intersection.

Taux d'évolution moyen

Une entreprise annonce fièrement : « notre chiffre d'affaires a augmenté de $44 %$ en deux ans ». Question naturelle : cela correspond à quelle hausse par an ?

La réponse spontanée — « $44 \div 2 = 22 %$ par an » — est fausse, et un calcul suffit à le voir. Deux hausses successives de $22 %$ multiplient le chiffre d'affaires par $1, 2 2^{2} = 1, 4884$ , soit une hausse globale de $48, 84 %$ — et non de $44 %$ . Diviser le taux par $n$ surestime toujours une hausse, car les évolutions successives se multiplient, elles ne s'additionnent pas : chaque hausse s'applique à une valeur déjà augmentée.

Le bon raisonnement passe par les coefficients multiplicateurs. On cherche le taux annuel $t_{m}$ qui, appliqué deux fois, produit la hausse globale : son coefficient $c$ doit vérifier $c^{2} = 1, 44$ . Il nous faut donc le nombre positif dont le carré vaut $1, 44$ — et plus généralement, le nombre positif dont la puissance $n$ -ième vaut un coefficient donné. C'est exactement ce que fournit l'exposant $\frac{1}{n}$ .

Définition

Soit $CM$ un réel strictement positif et $n$ un entier naturel non nul. Le nombre $CM^{1/ n}$ , appelé racine $n$ -ième de $CM$ , est le nombre positif dont la puissance $n$ -ième vaut $CM$ :

(CM^{1/ n})^{n} = CM

Si une grandeur subit $n$ évolutions successives de coefficient multiplicateur global $CM$ , alors $CM^{1/ n}$ est le coefficient multiplicateur moyen : appliqué $n$ fois de suite, il produit la même évolution globale. Le taux d'évolution moyen s'en déduit : $t_{m} = CM^{1/ n} - 1$ , converti en pourcentage.

Pour $n = 2$ , on retrouve une vieille connaissance : $CM^{1/2}$ est le nombre positif dont le carré vaut $CM$ , c'est-à-dire sa racine carrée $CM$ .

Méthode

Calculer un taux d'évolution moyen.

Déterminer le coefficient multiplicateur global $CM$ sur toute la période : à partir du taux global, ou du quotient $\frac{valeur finale}{valeur initiale}$ .
Compter le nombre $n$ d'évolutions successives.
Calculer le coefficient moyen $CM^{1/ n}$ à la calculatrice, en saisissant l'exposant entre parenthèses : pour $1, 4 4^{1/2}$ , taper 1.44 ^ (1/2). Attention : sans parenthèses, 1.44 ^ 1/2 calcule $\frac{1 , 4 4 ^{1}}{2} = 0, 72$ , ce qui est faux.
Conclure : $t_{m} = CM^{1/ n} - 1$ , converti en pourcentage — positif pour une hausse moyenne, négatif pour une baisse moyenne.
Vérifier : élever le coefficient moyen à la puissance $n$ doit redonner $CM$ .

Exemple

Une hausse : $+ 44 %$ en deux ans. Le coefficient global est $CM = 1 + \frac{44}{100} = 1, 44$ , pour $n = 2$ évolutions annuelles. Le coefficient moyen vaut

1, 4 4^{1/2} = 1, 44 = 1, 2

donc $t_{m} = 1, 2 - 1 = 0, 2$ : le chiffre d'affaires a augmenté en moyenne de $20 %$ par an. Vérification : $1, 2^{2} = 1, 44$ — deux hausses de $20 %$ redonnent bien $+ 44 %$ au total. Ce n'est pas $22 %$ !

Exemple

Une baisse. La production d'une usine est passée de $40000$ à $34295$ pièces en trois ans. Le coefficient global est $CM = \frac{34 295}{40 000} = 0, 857375$ , pour $n = 3$ . Le coefficient moyen vaut $0, 85737 5^{1/3} = 0, 95$ (contrôle : $0, 9 5^{3} = 0, 857375$ ), donc $t_{m} = 0, 95 - 1 = - 0, 05$ : la production a baissé en moyenne de $5 %$ par an.

Quand la racine n'est pas exacte, la calculatrice prend le relais : une audience qui progresse de $60 %$ en quatre ans a pour coefficient moyen $1, 6^{1/4} \approx 1, 1247$ , soit une hausse moyenne d'environ $12, 5 %$ par an.

Le même outil convertit un taux d'une unité de temps à une autre : le taux mensuel équivalent à un taux annuel s'obtient avec $n = 12$ . Par exemple, un placement qui rapporte $+ 44 %$ en deux ans, c'est $n = 24$ mois : le coefficient mensuel moyen vaut $1, 4 4^{1/24} \approx 1, 0153$ , soit environ $+ 1, 5 %$ par mois.

Un point entre deux points : moyennes arithmétique et géométrique

Terminons par une jolie propriété géométrique des courbes exponentielles, qui fait intervenir deux moyennes : la moyenne arithmétique $\frac{u + v}{2}$ de deux nombres, et la moyenne géométrique $u \times v$ de deux nombres positifs.

Prenons deux points $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ sur une courbe d'équation $y = a^{x}$ , et fabriquons un troisième point en mélangeant les deux moyennes : abscisse = moyenne arithmétique des abscisses, ordonnée = moyenne géométrique des ordonnées.

Propriété

Point intercalé. Si $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ sont deux points de la courbe d'équation $y = a^{x}$ , alors le point de coordonnées

(\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; y_{A} \times y_{B})

est encore un point de cette courbe.

Justification en une ligne : $y_{A} \times y_{B} = a^{x_{A}} \times a^{x_{B}} = (a^{x_{A} + x_{B}})^{1/2} = a^{\frac{x _{A} + x _{B}}{2}}$ .

Exemple

Sur la courbe d'équation $y = 2^{x}$ , prenons $A (1; 2)$ et $B (5; 32)$ (contrôle : $2^{1} = 2$ et $2^{5} = 32$ ). Le point intercalé a pour abscisse $\frac{1 + 5}{2} = 3$ et pour ordonnée $2 \times 32 = 64 = 8$ . Vérification directe : $2^{3} = 8$ — le point $(3; 8)$ est bien sur la courbe.

Cette propriété a un intérêt très pratique : elle permet de construire une courbe exponentielle point par point avec la seule touche racine carrée. Partant de deux points connus (par exemple $(0; 1)$ et $(1; a)$ , toujours disponibles), on intercale un point au milieu, puis on recommence entre chaque paire de points voisins : le nuage se densifie à chaque étape et dessine la courbe — c'est exactement la démarche « compléter le nuage » qui a ouvert ce chapitre, rendue effective par un algorithme.

À retenir

Méthode

Les réflexes du chapitre.

Prolonger le discret en continu. La fonction $x \mapsto a^{x}$ ( $a > 0$ ) complète le nuage de points de la suite géométrique $(a^{n})$ : mêmes valeurs aux entiers, une valeur pour tous les instants intermédiaires (calculatrice), et $a^{- x} = \frac{1}{a ^{x}}$ pour les exposants négatifs.
Les règles de calcul (admises) : $a^{x + y} = a^{x} \times a^{y}$ , $a^{x - y} = \frac{a ^{x}}{a ^{y}}$ , $a^{n x} = (a^{x})^{n}$ pour $n$ entier relatif, et surtout $a^{0} = 1$ , $a^{1} = a$ .
Variations. $x \mapsto a^{x}$ est croissante si $a > 1$ , constante si $a = 1$ , décroissante si $0 < a < 1$ ; toutes les courbes passent par $(0; 1)$ , restent strictement positives et se rapprochent de l'axe des abscisses sans jamais le toucher. Pour $k a^{x}$ : mêmes variations que $a^{x}$ si $k > 0$ , variations contraires si $k < 0$ .
Modéliser. Une évolution de $t %$ par unité de temps depuis la valeur initiale $k$ se modélise par $f (x) = k \times a^{x}$ avec $a = 1 + \frac{t}{100}$ (hausse) ou $a = 1 - \frac{t}{100}$ (baisse).
Problème de seuil. Pas de formule pour isoler $x$ dans $a^{x} = b$ : on encadre avec une table de valeurs (que l'on resserre au besoin) ou une lecture graphique, et on conclut par une phrase.
Taux moyen. Sur $n$ évolutions de coefficient global $CM$ , le coefficient moyen est $CM^{1/ n}$ (exposant entre parenthèses à la calculatrice). Ne jamais diviser le taux global par $n$ : les évolutions se multiplient, elles ne s'additionnent pas.
Point intercalé. Entre deux points d'une courbe $y = a^{x}$ , le point d'abscisse la moyenne arithmétique et d'ordonnée la moyenne géométrique est encore sur la courbe.

Le cours en PDF(PDF, 112 Ko)

Les exercices

16 exercices, difficulté croissante de ★ (application directe) à ★★★★ (défi). Les corrigés détaillés sont dans le PDF — cherchez d'abord, le corrigé ensuite : c'est là que ça progresse.

Exercice 1 ★★★★ — Puissances d'exposant réel : premiers calculs

Puissances d'exposant réel : définition et calculs

La calculatrice sait calculer une puissance dont l'exposant n'est pas un nombre entier : on tape l'exposant entre parenthèses, par exemple 1.5^(2.5).

À la calculatrice, donner une valeur approchée au centième de chacun des nombres suivants.

a. $1, 5^{2, 5}$
b. $3^{1, 7}$
c. $0, 8^{3, 5}$
d. $1, 0 6^{12}$
e. $2^{0, 5}$
f. $0, 9 7^{20}$
Sans calculatrice. Pour les nombres a., b., c. et e., l'exposant est compris entre deux entiers consécutifs. Encadrer chacun de ces nombres par les deux puissances d'exposant entier voisines (que l'on calculera à la main), puis vérifier que les valeurs obtenues à la question 1 sont cohérentes avec ces encadrements.
Lucas tape $3^{1, 7}$ sur sa calculatrice, qui affiche $6, 473$ . Sans refaire le calcul, expliquer pourquoi ce résultat est plausible.

Exercice 2 ★★★★ — Exposants négatifs et inverses

Puissances d'exposant réel : définition et calculs

Pour tout nombre $a > 0$ et tout réel $x$ , on a $a^{- x} = \frac{1}{a ^{x}}$ .

Donner la valeur exacte de chacun des nombres suivants, sous forme de fraction ou de nombre décimal.

a. $2^{- 3}$
b. $5^{- 2}$
c. $1 0^{- 4}$
d. $1, 2 5^{- 1}$
e. $0, 2^{- 1}$
f. $2^{- 1}$
Écrire chacune des expressions suivantes sous la forme $a^{- x}$ .

a. $\frac{1}{3 ^{x}}$
b. $\frac{1}{1 , 0 5 ^{x}}$
c. $\frac{1}{1 0 ^{x}}$
d. $\frac{1}{0 , 9 ^{x}}$
Un capital placé sur un livret est modélisé par $C (x) = 1500 \times 1, 0 4^{x}$ , où $C (x)$ est le montant en euros et $x$ le nombre d'années écoulées depuis 2026 ( $x$ peut être négatif).

a. Que représente concrètement $C (- 2)$ ?

b. Calculer $C (- 2)$ , arrondi au centime.

Exercice 3 ★★★★ — Transformer des écritures

Propriétés algébriques et transformation d'écritures

On rappelle que pour tout $a > 0$ , tous réels $x$ et $y$ et tout entier relatif $n$ :

a^{x + y} = a^{x} a^{y} a^{x - y} = \frac{a ^{x}}{a ^{y}} a^{n x} = (a^{x})^{n}

Sans calculatrice, donner la valeur exacte de chacun des nombres suivants en transformant leur écriture.

a. $3^{2, 4} \times 3^{0, 6}$

b. $\frac{2 ^{5, 5}}{2 ^{2, 5}}$

c. $(5^{0, 75})^{4}$

d. $7^{1, 3} \times 7^{- 1, 3}$

e. $(2^{1, 25})^{2} \times 2^{- 0, 5}$

f. $\frac{1 0 ^{4, 7}}{1 0 ^{1, 7}}$

g. $1, 5^{3, 2} \times (\frac{1}{1 , 5})^{2, 2}$

Exercice 4 ★★★★ — Simplifier des expressions littérales

Propriétés algébriques et transformation d'écritures

Dans tout l'exercice, $a$ désigne un nombre strictement positif et $x$ , $y$ des nombres réels.

Simplifier chacune des expressions suivantes (le résultat ne doit plus contenir ni $x$ ni $y$ ).

a. $a^{x + 2} \times a^{1 - x}$
b. $\frac{a ^{3 x}}{a ^{3 x - 2}}$
c. $\frac{a ^{x} \times a ^{y}}{a ^{x + y}}$
d. $(a^{x})^{2} \times a^{- 2 x}$
En remarquant que $1, 21 = 1, 1^{2}$ , montrer que pour tout réel $x$ , $1, 2 1^{x} = 1, 1^{2 x}$ . De même, en remarquant que $0, 25 = 2^{- 2}$ , montrer que $0, 2 5^{x} = 2^{- 2 x}$ .
Une population de bactéries double tous les 3 mois, c'est-à-dire tous les trimestres.

a. Exprimer le coefficient multiplicateur que subit cette population sur $x$ trimestres.

b. Justifier que sur $1$ an, la population est multipliée par $16$ .

Exercice 5 ★★★★ — Associer chaque courbe à sa fonction

Sens de variation et allure des courbes

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé sur l'intervalle $[- 2; 3]$ les courbes $C_{1}$ , $C_{2}$ et $C_{3}$ représentant, dans le désordre, les trois fonctions :

f (x) = 0, 6^{x} g (x) = 2, 5^{x} h (x) = 1, 1^{x}

Trois courbes exponentielles tracées sur l'intervalle de moins 2 à 3 : une décroissante et deux croissantes, toutes passant par le point de coordonnées zéro un

Associer chaque courbe à sa fonction. On justifiera à l'aide du sens de variation, de la rapidité de la croissance et, si besoin, de la valeur de la fonction en $x = 1$ .
Que valent $f (0)$ , $g (0)$ et $h (0)$ ? Quelle propriété commune des trois courbes retrouve-t-on ?
Par lecture graphique : laquelle de ces trois fonctions dépasse la valeur $10$ la première lorsque $x$ augmente ? Donner une valeur approchée de l'abscisse à partir de laquelle cela se produit.

Exercice 6 ★★★★ — Croissante ou décroissante ? Le rôle de k et de a

Sens de variation et allure des courbes

Pour chacune des fonctions suivantes, définies sur $R$ , donner son sens de variation en justifiant à l'aide du signe de $k$ et de la valeur de $a$ .

a. $f_{1} (x) = 5 \times 1, 2^{x}$
b. $f_{2} (x) = - 3 \times 1, 4^{x}$
c. $f_{3} (x) = 0, 5 \times 0, 8^{x}$
d. $f_{4} (x) = - 2 \times 0, 7^{x}$
e. $f_{5} (x) = 100 \times 1, 00 2^{x}$
f. $f_{6} (x) = 4 \times 1^{x}$
Dresser le tableau de variations de $f_{1}$ puis de $f_{4}$ sur $[0; + \infty [$ , en faisant figurer la valeur de la fonction en $0$ .
Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse.

a. Si $k < 0$ et $0 < a < 1$ , la fonction $x \mapsto k a^{x}$ est croissante.

b. La courbe représentative de $x \mapsto k a^{x}$ passe toujours par le point $(0; 1)$ .

Exercice 7 ★★★★ — Lecture graphique et seuil

Sens de variation et allure des courbesModéliser une évolution relative constante

Après une injection, la masse de principe actif d'un médicament présente dans le sang d'un patient diminue de $20 %$ par heure. Au moment de l'injection, cette masse est de $5$ grammes.

On note $f (x)$ la masse restante, en grammes, au bout de $x$ heures. La courbe représentative de $f$ sur l'intervalle $[0; 10]$ est donnée ci-dessous.

Courbe décroissante de la fonction f, partant du point de coordonnées zéro cinq et se rapprochant de l'axe des abscisses, avec les pointillés de lecture au point d'abscisse environ 4,1 et d'ordonnée 2

Lire $f (0)$ sur le graphique. Que représente cette valeur ?
Justifier, à partir du contexte, que pour tout $x$ de $[0; 10]$ : $f (x) = 5 \times 0, 8^{x}$ .
Donner le sens de variation de $f$ et le justifier à l'aide de l'expression de $f (x)$ .
Résoudre graphiquement l'équation $f (x) = 2$ (on donnera une valeur approchée de la solution, en s'aidant des pointillés).
Calculer $f (4)$ , puis $f (4, 5)$ (arrondir au centième). En déduire que la masse de principe actif passe sous la barre des $2$ grammes entre $4$ h et $4$ h $30$ après l'injection.
La masse de principe actif peut-elle s'annuler d'après ce modèle ? Justifier.

Exercice 8 ★★★★ — Reconnaître une évolution relative constante

Modéliser une évolution relative constante

Deux boutiques en ligne, A et B, ouvrent le même mois. Les tableaux ci-dessous donnent leur chiffre d'affaires mensuel, en milliers d'euros, pour les quatre premiers mois ( $x$ désigne le rang du mois, le mois d'ouverture correspondant à $x = 0$ ).

Boutique A

Mois $x$	$0$	$1$	$2$	$3$
Chiffre d'affaires	$50$	$60$	$72$	$86, 4$

Boutique B

Mois $x$	$0$	$1$	$2$	$3$
Chiffre d'affaires	$50$	$60$	$70$	$80$

Pour chaque boutique, calculer les quotients de deux valeurs consécutives du chiffre d'affaires (arrondir au millième si besoin).
Laquelle des deux boutiques connaît une évolution relative constante ? Justifier, et préciser comment évolue l'autre boutique.
Donner le taux d'évolution mensuel du chiffre d'affaires de cette boutique.
On modélise le chiffre d'affaires de la boutique A par une fonction $f$ définie sur $[0; + \infty [$ . Justifier que $f (x) = 50 \times 1, 2^{x}$ .
Calculer $f (6)$ puis $f (2, 5)$ (arrondir au dixième).
Que représente concrètement $f (2, 5)$ ? Expliquer pourquoi il est raisonnable, dans ce contexte, d'utiliser un modèle défini pour toutes les valeurs de $x$ et pas seulement pour les entiers.

Exercice 9 ★★★★ — Une épargne qui grandit en continu

Modéliser une évolution relative constantePuissances d'exposant réel : définition et calculs

À l'ouverture d'un contrat d'épargne, Lila place un capital de $2000$ €. Ce capital est revalorisé de $3 %$ par an. On modélise sa valeur, en euros, par la fonction $C$ définie pour tout réel $x$ par $C (x) = 2000 \times 1, 0 3^{x}$ , où $x$ est le temps écoulé depuis l'ouverture, en années.

Justifier l'expression de $C (x)$ à partir du contexte.
Calculer $C (7)$ puis $C (2, 5)$ (arrondir au centime).
Que représente concrètement $C (2, 5)$ ? Quel est l'intérêt du modèle continu par rapport à un calcul année par année ?
Que pourrait représenter $C (- 3)$ ? Calculer sa valeur (arrondir au centime).
Au bout de combien d'années entières le capital dépasse-t-il $2600$ € ? On répondra en construisant une table de valeurs de $C$ à la calculatrice et on donnera les deux calculs qui encadrent le seuil.

Exercice 10 ★★★★ — Décroissance : l'audience d'une émission

Modéliser une évolution relative constanteSens de variation et allure des courbes

Lors de sa première diffusion, une émission de télévision rassemble $2, 4$ millions de téléspectateurs. Les semaines suivantes, son audience baisse de $15 %$ par semaine. On modélise l'audience, en millions de téléspectateurs, par la fonction $A$ définie par $A (x) = 2, 4 \times 0, 8 5^{x}$ , où $x$ est le temps écoulé depuis la première diffusion, en semaines.

Justifier l'expression de $A (x)$ à partir du contexte.
Donner le sens de variation de $A$ et le justifier.
Calculer $A (3)$ (arrondir au centième). Interpréter le résultat.
Estimer l'audience $10$ jours après la première diffusion. On expliquera pourquoi ce calcul revient à évaluer $A (\frac{10}{7})$ , et on arrondira le résultat au centième de million.
La chaîne déprogrammera l'émission dès que l'audience passera sous le million de téléspectateurs. À l'aide d'une table de valeurs de $A$ (donner les deux calculs qui encadrent le seuil), déterminer au cours de quelle semaine cela se produira.
D'après ce modèle, l'audience peut-elle atteindre zéro téléspectateur ? Le modèle vous paraît-il pertinent sur le long terme ? Discuter.

Exercice 11 ★★★★ — Taux d'évolution moyen : premiers calculs

Taux d'évolution moyen

Pour chaque situation : donner le coefficient multiplicateur global, calculer le coefficient multiplicateur moyen à l'aide d'une racine $n$ -ième (à la calculatrice, on saisira l'exposant entre parenthèses, par exemple 1.44 ^ (1/2)), vérifier le résultat en l'élevant à la puissance $n$ , puis conclure par un taux d'évolution moyen.

Le chiffre d'affaires d'une entreprise a augmenté de $44 %$ en $2$ ans. Montrer que le taux d'évolution moyen annuel est de $+ 20 %$ .
Le prix d'un composant électronique a baissé de $19 %$ en $2$ ans. Calculer le taux d'évolution moyen annuel.
La production d'une usine a été multipliée par $1, 728$ en $3$ ans. Calculer le taux d'évolution moyen annuel.
Vrai ou faux ? Justifier : « Une hausse de $50 %$ en $5$ ans, c'est une hausse de $10 %$ par an en moyenne. » Si l'affirmation est fausse, donner le taux d'évolution moyen annuel correct (arrondir au dixième de pour cent).

Exercice 12 ★★★★ — Du taux annuel au taux mensuel

Taux d'évolution moyenPropriétés algébriques et transformation d'écritures

Les quatre situations sont indépendantes. À la calculatrice, on saisira les exposants fractionnaires entre parenthèses, par exemple 1.06 ^ (1/12).

Un livret d'épargne affiche un rendement de $+ 6 %$ par an.

a. Calculer le coefficient multiplicateur mensuel moyen équivalent (arrondir à $1 0^{- 5}$ ), puis le taux mensuel moyen correspondant (arrondir au centième de pour cent).

b. Vérifier le résultat en élevant ce coefficient à la puissance $12$ .
La population d'une métropole a augmenté de $34 %$ en $10$ ans. Calculer le taux d'évolution moyen annuel (arrondir au dixième de pour cent).
Une action en Bourse a perdu $36 %$ de sa valeur en $4$ ans. Calculer le taux d'évolution moyen annuel (arrondir au dixième de pour cent).
Le prix d'un produit augmente de $2 %$ par mois pendant un an.

a. Calculer le taux d'évolution annuel correspondant (arrondir au dixième de pour cent).

b. Un client affirme : « $2 %$ par mois pendant $12$ mois, cela fait $24 %$ sur l'année. » Expliquer pourquoi il se trompe.

Exercice 13 ★★★★ — Intercaler un point : moyennes arithmétique et géométrique

Seuils et point intercalé — tableur et PythonPuissances d'exposant réel : définition et calculsPropriétés algébriques et transformation d'écritures

On souhaite construire point par point la courbe de la fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = 2^{x}$ . Deux points ont déjà été placés :

A (1; 2) et B (5; 32)

Pour obtenir un tracé plus précis, on intercale entre deux points déjà construits un troisième point ayant pour abscisse la moyenne arithmétique des abscisses et pour ordonnée la moyenne géométrique des ordonnées.

Vérifier que les points $A$ et $B$ sont bien sur la courbe de $f$ .
Calculer la moyenne arithmétique $m$ des abscisses de $A$ et $B$ , puis la moyenne géométrique $g$ de leurs ordonnées, c'est-à-dire $g = y_{A} \times y_{B}$ .
Vérifier que le point $M (m; g)$ est lui aussi sur la courbe de $f$ .
On veut justifier que cette méthode fonctionne pour n'importe quels points de la courbe. Soient deux points $(x_{A}; 2^{x_{A}})$ et $(x_{B}; 2^{x_{B}})$ de la courbe. En utilisant les propriétés algébriques des puissances et le fait que la racine carrée correspond à l'exposant $\frac{1}{2}$ , montrer que

2^{x_{A}} \times 2^{x_{B}} = 2^{\frac{x _{A} + x _{B}}{2}}

Compléter le script Python ci-dessous pour qu'il calcule et affiche les coordonnées du point intercalé entre deux points de coordonnées (xA, yA) et (xB, yB).

xA, yA = 1, 2
xB, yB = 5, 32
m = ...
g = ...
print(m, g)

Le point $C (9; 512)$ est également sur la courbe de $f$ . Quel point la méthode permet-elle d'intercaler entre $B$ et $C$ ? Vérifier qu'il est sur la courbe.

Exercice 14 ★★★★ — Python : franchir un seuil

Seuils et point intercalé — tableur et PythonModéliser une évolution relative constante

Une ville compte aujourd'hui $12000$ habitants. Sa population augmente de $2, 5 %$ par an. On modélise la population, en nombre d'habitants, par la fonction $P$ définie pour $x ⩾ 0$ par

P (x) = 12000 \times 1, 02 5^{x}

où $x$ est le nombre d'années écoulées à partir d'aujourd'hui.

La mairie souhaite savoir dans combien d'années la population dépassera $15000$ habitants. On considère pour cela le script Python incomplet suivant.

P = 12000
n = 0
while P ... 15000:
    P = ... * P
    n = n + 1
print(n)

Justifier l'expression de $P (x)$ à partir de l'énoncé.
Recopier et compléter les deux trous du script pour qu'il réponde à la question de la mairie.
Que compte la variable n au fil de l'exécution ?
Quelle valeur ce script affiche-t-il ? Justifier la réponse par un encadrement : calculer $P (9)$ et $P (10)$ (arrondir à l'unité).
La mairie s'intéresse maintenant au seuil de $18000$ habitants. Quelle ligne du script faut-il modifier ? Quelle valeur le script affiche-t-il alors ? Justifier de la même façon par les deux calculs qui encadrent le seuil.

Exercice 15 ★★★★ — Deux offres d'épargne

Modéliser une évolution relative constanteSens de variation et allure des courbes

Pour placer $500$ €, une banque propose deux offres :

Offre A : le capital rapporte $40$ € d'intérêts fixes chaque année ;
Offre B : le capital augmente de $6 %$ chaque année (intérêts composés).

Pour $x ⩾ 0$ (en années), on note $A (x)$ et $B (x)$ les capitaux, en euros, obtenus avec chaque offre au bout de $x$ années. Les deux courbes sont tracées ci-dessous sur l'intervalle $[0; 20]$ .

Deux courbes de capital en fonction du temps : la droite de l'offre A et la courbe exponentielle de l'offre B, qui se croisent au point d'abscisse environ 10,4

Justifier que $A (x) = 500 + 40 x$ et que $B (x) = 500 \times 1, 0 6^{x}$ .
Quelle est la nature de la croissance de chaque capital : linéaire ou exponentielle ?
Calculer $A (5)$ et $B (5)$ (arrondir au centime). Quelle offre est la plus avantageuse au bout de $5$ ans ?
Par lecture graphique, à partir de combien d'années le capital de l'offre B dépasse-t-il celui de l'offre A ?
Vérifier la lecture précédente par le calcul : comparer $A (10)$ et $B (10)$ , puis $A (11)$ et $B (11)$ (arrondir au centime). Conclure en années entières.
Question d'ouverture : si on laisse le placement pendant de très nombreuses années, quelle offre finit forcément par l'emporter ? Expliquer pourquoi en comparant les deux types de croissance.

Exercice 16 ★★★★ — La fréquentation d'un parc (synthèse)

Modéliser une évolution relative constanteTaux d'évolution moyenPropriétés algébriques et transformation d'écritures

Entre 2020 et 2026, la fréquentation annuelle d'un parc d'attractions est passée de $1, 2$ million à $1, 7$ million de visiteurs.

Calculer le taux d'évolution global de la fréquentation entre 2020 et 2026, arrondi à $0, 1 %$ .
Calculer le taux d'évolution moyen annuel sur cette période, arrondi à $0, 1 %$ . On rappellera comment saisir le calcul à la calculatrice.
À partir de 2026, la direction du parc modélise la fréquentation, en millions de visiteurs, par
$V (x) = 1, 7 \times 1, 0 6^{x}$
où $x$ est le nombre d'années écoulées après 2026.

a. Justifier le choix de ce modèle à l'aide des questions précédentes.

b. Quelle fréquentation ce modèle prévoit-il pour 2030 ? Arrondir au centième de million.
Montrer que pour tout $x ⩾ 0$ , $V (x + 1) = 1, 06 \times V (x)$ . Interpréter cette égalité dans le contexte de l'exercice.
Selon ce modèle, en quelle année la fréquentation annuelle dépassera-t-elle pour la première fois $2, 5$ millions de visiteurs ? On justifiera la réponse par les deux calculs qui encadrent le seuil.
Regard critique : donner deux raisons pour lesquelles ce modèle peut cesser d'être valable au bout de quelques années.

Les exercices(PDF, 101 Ko)Les corrigés(PDF, 161 Ko)

Le devoir surveillé

Sujet type DS — 60 min, barème sur 20 points. Faites-le en conditions réelles avant de regarder le corrigé (PDF).

Exercice 1 (5 points) — Calculs et transformations d'écritures

La calculatrice est autorisée uniquement pour la question 1.

Donner une valeur approchée au centième de chacun des nombres suivants.

a. $1, 3^{2, 4}$
b. $0, 9^{7, 5}$
c. $2^{- 1, 5}$
d. $1, 00 5^{36}$
Donner la valeur exacte de chacun des nombres suivants, sans calculatrice, en utilisant les propriétés des exposants. Détailler les étapes.

a. $5^{1, 8} \times 5^{1, 2}$
b. $\frac{3 ^{4, 5}}{3 ^{2, 5}}$
c. $(2^{0, 5})^{6}$
d. $6^{2, 7} \times 6^{- 2, 7}$
Soit $a$ un réel strictement positif et $x$ un réel. Simplifier l'écriture $\frac{a ^{2 x + 1}}{a ^{2 x - 1}}$ .

Exercice 2 (5 points) — Dépréciation d'une machine-outil

Une entreprise achète une machine-outil d'une valeur de $200$ milliers d'euros. Chaque année, la valeur de la machine diminue de $10 %$ .

On note $C (x)$ la valeur de la machine, en milliers d'euros, au bout de $x$ années. La courbe représentative de la fonction $C$ sur l'intervalle $[0; 12]$ est donnée ci-dessous.

Courbe décroissante représentant la valeur d'un équipement en fonction du temps, partant de 200 et se rapprochant de l'axe des abscisses

Justifier que, pour tout réel $x$ de $[0; 12]$ , $C (x) = 200 \times 0, 9^{x}$ .
Quelle est la valeur initiale de la machine ?
Donner le sens de variation de la fonction $C$ sur $[0; 12]$ , en justifiant à l'aide de la forme $k \times a^{x}$ .
Calculer la valeur exacte de $C (4)$ , puis interpréter le résultat.
Par lecture graphique, estimer au bout de combien d'années la valeur de la machine passe sous $100$ milliers d'euros. On fera apparaître les traits de lecture sur la figure.
Vérifier cette estimation par le calcul : calculer $C (6)$ et $C (7)$ (arrondir au centième) et conclure.

Exercice 3 (6 points) — La fréquentation d'une salle de sport

Une salle de sport ouvre avec $800$ abonnés. Le gérant vise une augmentation du nombre d'abonnés de $4 %$ par an.

On modélise le nombre d'abonnés au bout de $x$ années par $N (x) = 800 \times 1, 0 4^{x}$ , où $x$ est un réel positif.

Justifier l'expression de $N (x)$ .
Calculer $N (3)$ , arrondir à l'unité, puis interpréter le résultat.
Calculer $N (2, 5)$ , arrondir à l'unité, puis interpréter le résultat.
Montrer que, pour tout réel $x \geq 0$ , $N (x + 1) = 1, 04 \times N (x)$ . Interpréter cette égalité.
Le gérant veut savoir au bout de combien d'années entières le nombre d'abonnés dépassera $1000$ . Recopier et compléter le script Python suivant pour qu'il affiche ce nombre d'années.

N = 800
x = 0
while N ... 1000:
    N = ... * N
    x = x + 1
print(x)

Quelle valeur ce script affiche-t-il ? Justifier par un encadrement (les deux calculs).

Exercice 4 (4 points) — Taux d'évolution moyen d'un loyer

Le loyer d'un local commercial a augmenté de $15 %$ en $3$ ans.

Le gérant affirme : « une hausse de $15 %$ en $3$ ans, cela fait $5 %$ par an ». A-t-il raison ? Justifier par un calcul.
Calculer le coefficient multiplicateur moyen annuel (arrondir au dix-millième), puis en déduire le taux d'évolution moyen annuel (arrondir à $0, 01 %$ ). Vérifier le résultat en élevant ce coefficient au cube. Rappel calculatrice : l'exposant $\frac{1}{3}$ se saisit entre parenthèses, par exemple 1.15^(1/3).
Si le loyer continuait d'augmenter chaque année à ce taux moyen, de quel pourcentage aurait-il augmenté au bout de $5$ ans ? Arrondir à $1 %$ .

Le sujet du DS(PDF, 51 Ko)Le corrigé du DS(PDF, 66 Ko)

Bloqué sur « Fonctions exponentielles x ↦ aˣ » ?

On peut le travailler ensemble dès cette semaine. La première heure est offerte — on fait le point honnêtement, et vous repartez au minimum avec une méthode.

Réserver ma 1ʳᵉ heure offerte