Tale PCM · Chapitre 05 · Analyse

Composition de fonctions

Fonction composée et sa dérivée, dérivées de uⁿ, cos(u), exp(u), ln(u) ; primitives associées.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Le cours

Sortez un objet du four et laissez-le refroidir à l'air libre : sa température, en degrés Celsius, suit une loi du type $T (t) = 20 + 60 e^{- t /5}$ , où $t$ est le temps en minutes. Regardez cette expression de près : en son cœur se trouve $e^{- t /5}$ , c'est-à-dire la fonction exponentielle appliquée non pas à $t$ , mais à $- t /5$ . De même, l'énergie d'un signal électrique fait intervenir le carré $u (t)^{2}$ d'une tension qui varie, et un signal sinusoïdal $sin (ω t + φ)$ applique le sinus à l'expression $ω t + φ$ . Le constat est général : les fonctions que produisent les sciences sont presque toujours des emboîtements de fonctions simples, une fonction appliquée au résultat d'une autre. Jusqu'ici, nous avons contourné l'obstacle au cas par cas, par exemple avec la formule spéciale donnant la dérivée de $e^{k x}$ . Ce chapitre affronte la question de face.

Nous allons d'abord donner un nom et une notation à cet emboîtement : la composée de deux fonctions, notée $v \circ u$ . Nous apprendrons ensuite à dériver une composée grâce à une formule unique, qui unifie toutes les formules de dérivation apprises depuis la première ; nous en tirerons les dérivées des composées usuelles $u^{n}$ , $cos (u)$ , $sin (u)$ , $e^{u}$ et $ln (u)$ . Enfin, nous lirons ces formules à l'envers pour enrichir considérablement notre réserve de primitives, et donc d'intégrales calculables. Précisons d'emblée le statut de ce chapitre : il ne figure pas au programme de l'épreuve terminale de la spécialité physique-chimie et mathématiques (note de service en vigueur depuis la session 2022), mais il fait pleinement partie du programme de l'année, et il est indispensable pour la poursuite d'études, en BTS, en BUT comme en prépa TSI ou TPC, où dériver et primitiver des composées est un réflexe quotidien.

La composée de deux fonctions

L'idée est celle d'une chaîne de fabrication : un nombre $x$ entre, une première fonction $u$ le transforme en $u (x)$ , puis une seconde fonction $v$ transforme ce résultat en $v (u (x))$ . La fonction qui réalise la chaîne complète, de l'entrée $x$ à la sortie $v (u (x))$ , porte un nom.

Définition

Composée de deux fonctions. Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ , et $v$ une fonction définie sur un intervalle $J$ contenant toutes les valeurs $u (x)$ prises par $u$ . La composée de $u$ suivie de $v$ est la fonction notée $v \circ u$ (lire « $v$ rond $u$ ») définie sur $I$ par :

(v \circ u) (x) = v (u (x))

Le schéma en chaîne résume la définition :

x u u (x) v v (u (x))

Attention au sens de lecture : dans la notation $v \circ u$ , c'est la fonction écrite à droite, $u$ , qui agit en premier. La notation se lit de droite à gauche, comme l'écriture $v (u (x))$ elle-même : $u$ est à l'intérieur des parenthèses, donc appliquée d'abord.

Exemple

Calculs d'images et d'expressions. Prenons $u (x) = 2 x + 1$ et $v (x) = x^{3}$ .

Calculons $(v \circ u) (1)$ : d'abord $u (1) = 2 \times 1 + 1 = 3$ , puis $v (3) = 3^{3} = 27$ . Donc $(v \circ u) (1) = 27$ .

Plus généralement, pour tout réel $x$ : $(v \circ u) (x) = v (2 x + 1) = (2 x + 1)^{3}$ .

Composons maintenant dans l'autre ordre : $(u \circ v) (x) = u (x^{3}) = 2 x^{3} + 1$ . En particulier $(u \circ v) (1) = 3$ , qui n'est pas $27$ .

L'exemple met en évidence un fait essentiel : la composition n'est pas commutative. Les fonctions $v \circ u$ et $u \circ v$ sont en général différentes, comme le montrent $(2 x + 1)^{3}$ et $2 x^{3} + 1$ , qui ne prennent déjà pas la même valeur en $x = 1$ . L'ordre des opérations compte, exactement comme dans la vie courante : mettre ses chaussettes puis ses chaussures ne donne pas le même résultat que l'inverse.

En pratique, le travail demandé est souvent le chemin retour : devant une expression toute faite, reconnaître la chaîne qui l'a fabriquée. C'est la capacité clé du chapitre, celle dont dépendront tous les calculs de dérivées et de primitives à venir.

Méthode

Identifier la composée dans une expression simple. Pour écrire une expression sous la forme $v (u (x))$ :

repérer la dernière opération effectuée sur l'expression (élever à une puissance, prendre le cosinus, l'exponentielle, le logarithme...) : c'est la fonction extérieure $v$ ;
tout ce qui se trouve « à l'intérieur » est $u (x)$ ;
vérifier en recomposant : le calcul de $v (u (x))$ doit redonner exactement l'expression de départ.

Entraînons-nous sur les quatre expressions suivantes, que nous retrouverons tout au long du chapitre.

a. $(2 x + 1)^{3} = v (u (x))$ avec $u (x) = 2 x + 1$ et $v (x) = x^{3}$ .

b. $cos (3 t) = v (u (t))$ avec $u (t) = 3 t$ et $v (x) = cos (x)$ .

c. $e^{- x^{2}} = v (u (x))$ avec $u (x) = - x^{2}$ et $v (x) = e^{x}$ .

d. $ln (x^{2} + 1) = v (u (x))$ avec $u (x) = x^{2} + 1$ et $v (x) = ln (x)$ .

Un mot sur le d., qui illustre une vigilance à garder : la fonction $ln$ n'accepte que des nombres strictement positifs. Ici, tout se passe bien, car $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ pour tout réel $x$ : la composée est définie sur $R$ tout entier. Avant de composer, il faut toujours s'assurer que les valeurs de $u$ tombent dans le domaine de $v$ .

Dérivée d'une fonction composée

Savoir écrire $v \circ u$ ne suffit pas : en analyse, une fonction ne devient vraiment exploitable que lorsqu'on sait la dériver, pour étudier ses variations, ses tangentes, ses extremums. Or nos formules actuelles (somme, produit, quotient) ne disent rien d'une composée. Voici la formule qui manque, résultat central du chapitre.

Propriété

Dérivée d'une composée (admise). Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ , et $v$ une fonction dérivable sur un intervalle contenant toutes les valeurs de $u$ . Alors $v \circ u$ est dérivable sur $I$ et, pour tout $x$ de $I$ :

(v \circ u)^{'} (x) = u^{'} (x) \times v^{'} (u (x))

soit, en écriture condensée : $(v \circ u)^{'} = u^{'} \times (v^{'} \circ u)$ .

En français : on dérive la fonction extérieure $v$ en la laissant appliquée à $u (x)$ , puis on multiplie par la dérivée de la fonction intérieure. Ce facteur $u^{'}$ mesure la vitesse à laquelle l'entrée de $v$ varie ; l'oublier est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre, et nous y reviendrons.

D'où vient cette formule ? L'idée se lit sur le taux de variation. Entre $x$ et $x + h$ , faisons apparaître de force la variation de $u$ en multipliant et divisant par $u (x + h) - u (x)$ :

\frac{v ( u ( x + h ) ) - v ( u ( x ) )}{h} = taux de variation de v \frac{v ( u ( x + h ) ) - v ( u ( x ) )}{u ( x + h ) - u ( x )} \times taux de variation de u \frac{u ( x + h ) - u ( x )}{h}

Quand $h$ tend vers $0$ , le second facteur tend vers $u^{'} (x)$ , par définition du nombre dérivé. Dans le premier facteur, les deux valeurs $u (x + h)$ et $u (x)$ se resserrent l'une sur l'autre : ce taux de variation de $v$ tend vers $v^{'} (u (x))$ . Le produit tend donc vers $u^{'} (x) \times v^{'} (u (x))$ . Signalons honnêtement l'abus d'écriture : rien ne garantit que $u (x + h) - u (x)$ soit non nul, et diviser par cette quantité est donc discutable. C'est pourquoi ce raisonnement reste une idée de justification, éclairante mais incomplète, et que la formule est admise, conformément au programme.

Exemple

Premiers calculs avec la formule générale.

Dérivons $f (x) = (2 x + 1)^{3}$ . Ici $u (x) = 2 x + 1$ et $v (x) = x^{3}$ , donc $u^{'} (x) = 2$ et $v^{'} (x) = 3 x^{2}$ . La formule donne :

f^{'} (x) = u^{'} (x) \times v^{'} (u (x)) = 2 \times 3 (2 x + 1)^{2} = 6 (2 x + 1)^{2}

Dérivons $g (x) = ln (x^{2} + 1)$ . Ici $u (x) = x^{2} + 1$ (strictement positif sur $R$ ) et $v (x) = ln (x)$ , donc $u^{'} (x) = 2 x$ et $v^{'} (x) = \frac{1}{x}$ . La formule donne :

g^{'} (x) = 2 x \times \frac{1}{x ^{2} + 1} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}

Cette formule n'est pas une nouveauté isolée : elle unifie ce que vous savez déjà. Au chapitre sur l'exponentielle, nous avions admis que la dérivée de $e^{k x}$ est $k e^{k x}$ . C'est exactement la formule générale appliquée à $u (x) = k x$ et $v (x) = e^{x}$ : le facteur $u^{'} (x) = k$ sort devant, et l'exponentielle se recopie. Toutes les formules « spéciales » rencontrées depuis la première vont ainsi apparaître comme des cas particuliers d'une seule et même règle.

Les dérivées des composées usuelles

Dans la pratique, la fonction extérieure $v$ est presque toujours l'une des fonctions de référence du programme : une puissance, un cosinus, un sinus, une exponentielle ou un logarithme. Plutôt que de redérouler la formule générale à chaque fois, on retient le tableau suivant, obtenu en appliquant $(v \circ u)^{'} = u^{'} \times (v^{'} \circ u)$ à chacune de ces fonctions.

Propriété

Dérivées des composées usuelles. Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

Fonction	Dérivée	Conditions
$u^{n}$ ( $n$ entier relatif)	$n u^{'} u^{n - 1}$	$u (x) \neq = 0$ sur $I$ si $n < 0$
$\frac{1}{u}$ (cas $n = - 1$ )	$- \frac{u ^{'}}{u ^{2}}$	$u (x) \neq = 0$ sur $I$
$cos (u)$	$- u^{'} sin (u)$	aucune
$sin (u)$	$u^{'} cos (u)$	aucune
$e^{u}$	$u^{'} e^{u}$	aucune
$ln (u)$	$\frac{u ^{'}}{u}$	$u (x) > 0$ sur $I$

Observez la structure commune : chaque ligne est la formule de dérivation connue (celle de $x^{n}$ , de $cos$ , de $e^{x}$ ...), appliquée à $u$ au lieu de $x$ , et multipliée par le facteur $u^{'}$ . C'est ce facteur qui distingue la dérivée d'une composée de celle d'une fonction simple ; sans lui, dériver $e^{- x^{2}}$ donnerait $e^{- x^{2}}$ , ce qui est faux. La ligne $u^{n}$ vaut pour tout entier relatif $n$ : elle couvre aussi bien $(2 x + 1)^{3}$ que $\frac{1}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = (x^{2} + 1)^{- 2}$ .

Méthode

Dériver une composée usuelle.

Identifier la forme du tableau ( $u^{n}$ , $cos (u)$ , $sin (u)$ , $e^{u}$ ou $ln (u)$ ) et poser explicitement la fonction intérieure $u$ .
Calculer $u^{'}$ .
Appliquer la formule du tableau, sans oublier le facteur $u^{'}$ .
Simplifier l'expression obtenue (regrouper les constantes, ordonner les facteurs).

Appliquons la méthode à quatre exemples couvrant les principales formes du tableau.

a. $f (x) = (3 x - 5)^{4}$ : forme $u^{n}$ avec $u (x) = 3 x - 5$ et $n = 4$ , d'où $u^{'} (x) = 3$ et $f^{'} (x) = 4 \times 3 (3 x - 5)^{3} = 12 (3 x - 5)^{3}$ .

b. $g (x) = \frac{1}{x ^{2} + 1}$ : forme $\frac{1}{u}$ avec $u (x) = x^{2} + 1$ , d'où $u^{'} (x) = 2 x$ et $g^{'} (x) = - \frac{2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ .

c. $h (t) = cos (3 t)$ : forme $cos (u)$ avec $u (t) = 3 t$ , d'où $u^{'} (t) = 3$ et $h^{'} (t) = - 3 sin (3 t)$ .

d. $m (x) = ln (2 x + 3)$ sur $] - \frac{3}{2}; + \infty [$ : forme $ln (u)$ avec $u (x) = 2 x + 3 > 0$ , d'où $u^{'} (x) = 2$ et $m^{'} (x) = \frac{2}{2 x + 3}$ .

Les signaux des sciences rentrent immédiatement dans ce cadre. Prenons un signal sinusoïdal $s (t) = A sin (ω t + φ)$ : c'est la forme $sin (u)$ avec $u (t) = ω t + φ$ , donc $u^{'} (t) = ω$ et

s^{'} (t) = A ω cos (ω t + φ)

Vous reconnaissez la formule apprise en première pour dériver les signaux sinusoïdaux : elle aussi n'était qu'un cas particulier de la dérivation des composées.

Mettons maintenant le tableau à l'épreuve sur une étude complète, celle d'une fonction célèbre pour sa courbe « en cloche ».

Exemple

Étude de la fonction $f (x) = e^{- x^{2}}$ sur $R$ .

Identification. C'est la forme $e^{u}$ avec $u (x) = - x^{2}$ , donc $u^{'} (x) = - 2 x$ .

Dérivée. Le tableau donne directement :

f^{'} (x) = u^{'} (x) e^{u (x)} = - 2 x e^{- x^{2}}

Signe de la dérivée. Une exponentielle est toujours strictement positive : $e^{- x^{2}} > 0$ pour tout réel $x$ . Le signe de $f^{'} (x)$ est donc celui du facteur $- 2 x$ : positif pour $x < 0$ , nul en $x = 0$ , négatif pour $x > 0$ .

Variations. La fonction $f$ est croissante sur $] - \infty; 0]$ , décroissante sur $[0; + \infty [$ , et atteint son maximum en $x = 0$ , avec $f (0) = e^{0} = 1$ .

x

- \infty

0

+ \infty

f^{'} (x)

+

0

-

f (x)

1

Courbe en cloche de la fonction exponentielle de moins x carré sur l'intervalle de moins 2,7 à 2,7, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, avec sa tangente horizontale au sommet de coordonnées zéro et un

La courbe confirme l'étude : une bosse symétrique, culminant au point $(0; 1)$ où la tangente est horizontale, puisque $f^{'} (0) = 0$ . Loin de l'origine, $- x^{2}$ prend des valeurs très négatives et l'exponentielle rend des valeurs minuscules : la courbe s'écrase sur l'axe des abscisses, comme on le voit déjà aux bords de la figure. Cette forme en cloche est partout en sciences, du profil d'un faisceau laser aux distributions statistiques.

Terminons la section en honorant une vieille promesse. En première, la formule de la dérivée d'un quotient avait été admise. Nous avons désormais de quoi la démontrer.

Exemple

La formule du quotient, enfin démontrée. Soient $u$ et $v$ dérivables, avec $v$ ne s'annulant pas. L'astuce consiste à écrire le quotient comme un produit : $\frac{u}{v} = u \times \frac{1}{v}$ . Le tableau des composées donne la dérivée de $\frac{1}{v}$ , à savoir $- \frac{v ^{'}}{v ^{2}}$ , et la formule du produit fait le reste :

(\frac{u}{v})^{'} = u^{'} \times \frac{1}{v} + u \times (- \frac{v ^{'}}{v ^{2}}) = \frac{u ^{'} v}{v ^{2}} - \frac{u v ^{'}}{v ^{2}} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

C'est bien la formule utilisée depuis la première. La composition ne se contente pas d'ajouter une règle : elle explique celles qu'on connaissait.

Primitives et composition : la lecture inverse

Le chapitre Intégration nous a appris qu'une intégrale se calcule avec une primitive, et que toute la difficulté est d'en trouver une. Chaque formule de dérivation, lue à l'envers, est une formule de primitive : le tableau des composées usuelles va donc démultiplier notre réserve. Commençons par le cas le plus simple, celui où la fonction intérieure est affine.

Propriété

Primitive de $x \mapsto f (a x + b)$ . Soit $f$ une fonction admettant une primitive $F$ , et $a$ , $b$ deux réels avec $a \neq = 0$ . Alors une primitive de la fonction $x \mapsto f (a x + b)$ est :

x \mapsto \frac{1}{a} F (a x + b)

La vérification tient en une ligne : en dérivant $\frac{1}{a} F (a x + b)$ , la règle de la composée fait sortir le facteur $u^{'} = a$ , qui se simplifie exactement avec le $\frac{1}{a}$ , et il reste $F^{'} (a x + b) = f (a x + b)$ . Ce coefficient $\frac{1}{a}$ est le prix à payer pour la composition : ne l'oubliez pas, et vérifiez toujours en dérivant votre résultat.

Exemple

Trois primitives de la forme $f (a x + b)$ .

Un signal sinusoïdal. Une primitive de $cos$ est $sin$ , donc une primitive de $t \mapsto cos (ω t + φ)$ est $t \mapsto \frac{1}{ω} sin (ω t + φ)$ : c'est la formule utilisée depuis la première pour primitiver les signaux, désormais expliquée.

Une exponentielle. Une primitive de $e^{x}$ est $e^{x}$ , donc une primitive de $t \mapsto e^{- t /2}$ est $t \mapsto \frac{1}{- 1/2} e^{- t /2} = - 2 e^{- t /2}$ .

Une puissance. Une primitive de $x \mapsto x^{4}$ est $x \mapsto \frac{x ^{5}}{5}$ , donc une primitive de $t \mapsto (3 t - 1)^{4}$ est $t \mapsto \frac{1}{3} \times \frac{( 3 t - 1 ) ^{5}}{5} = \frac{( 3 t - 1 ) ^{5}}{15}$ .

Passons au cas général. Si $u$ n'est plus affine, sa dérivée $u^{'}$ n'est plus une constante et ne peut pas se compenser par un simple coefficient : il faut qu'elle soit présente dans l'expression à primitiver. C'est le sens du résultat suivant, qui est la lecture inverse de la formule $(F \circ u)^{'} = u^{'} \times (F^{'} \circ u)$ .

Propriété

Primitive de $u^{'} f (u)$ . Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ , et $f$ une fonction admettant une primitive $F$ . Alors une primitive sur $I$ de la fonction $x \mapsto u^{'} (x) f (u (x))$ est la fonction $F \circ u$ , c'est-à-dire $x \mapsto F (u (x))$ .

En appliquant ce principe aux fonctions de référence, on obtient le tableau des formes usuelles :

Forme	Une primitive	Conditions
$u^{'} u^{n}$ ( $n$ entier relatif, $n \neq = - 1$ )	$\frac{u ^{n + 1}}{n + 1}$	$u (x) \neq = 0$ sur $I$ si $n < 0$
$\frac{u ^{'}}{u}$ (cas $n = - 1$ )	$ln (u)$	$u (x) > 0$ sur $I$
$u^{'} e^{u}$	$e^{u}$	aucune
$u^{'} cos (u)$	$sin (u)$	aucune
$u^{'} sin (u)$	$- cos (u)$	aucune

Le cas $n = - 1$ mérite un instant d'attention : la formule $\frac{u ^{n + 1}}{n + 1}$ y est interdite (elle diviserait par zéro), et c'est le logarithme qui prend le relais, avec la forme $\frac{u ^{'}}{u}$ de primitive $ln (u)$ , à condition que $u$ reste strictement positive sur l'intervalle. Le vrai savoir-faire, ici, n'est pas d'apprendre le tableau : c'est de reconnaître ces formes dans une expression, quitte à faire apparaître la constante qui manque.

Méthode

Reconnaître une forme $u^{'} f (u)$ . Pour primitiver une expression contenant une composée :

poser $u$ , la fonction intérieure de la composée ;
calculer $u^{'}$ , et chercher si $u^{'}$ apparaît en facteur dans l'expression, à une constante multiplicative près ;
ajuster la constante : si l'expression contient $k \times u^{'}$ au lieu de $u^{'}$ , la primitive sera multipliée par $k$ ;
vérifier en dérivant la primitive obtenue : on doit retrouver exactement l'expression de départ.

Exemple

Une intégrale avec ajustement de constante. Calculons $\int_{0}^{1} t e^{- t^{2}} d t$ .

Posons $u (t) = - t^{2}$ , la fonction intérieure de l'exponentielle : alors $u^{'} (t) = - 2 t$ . L'expression contient le facteur $t$ , et non $- 2 t$ : ajustons la constante en écrivant $t = - \frac{1}{2} \times (- 2 t)$ , de sorte que :

t e^{- t^{2}} = - \frac{1}{2} \times (- 2 t) e^{- t^{2}} = - \frac{1}{2} u^{'} (t) e^{u (t)}

C'est la forme $u^{'} e^{u}$ , multipliée par $- \frac{1}{2}$ : une primitive est donc $- \frac{1}{2} e^{- t^{2}}$ . Il ne reste qu'à calculer l'intégrale :

\int_{0}^{1} t e^{- t^{2}} d t = [- \frac{1}{2} e^{- t^{2}}]_{0}^{1} = - \frac{1}{2} e^{- 1} + \frac{1}{2} e^{0} = \frac{1 - e ^{- 1}}{2} \approx 0, 316

Contrôle de cohérence : la fonction $t \mapsto t e^{- t^{2}}$ est positive sur $[0; 1]$ , et le résultat est bien positif.

Exemple

Deux primitives à reconnaître.

Une forme $\frac{u ^{'}}{u}$ . Cherchons une primitive de $g (t) = \frac{2 t}{t ^{2} + 1}$ sur $R$ . Posons $u (t) = t^{2} + 1$ : alors $u^{'} (t) = 2 t$ , qui est exactement le numérateur, et $u (t) \geq 1 > 0$ sur $R$ . C'est la forme $\frac{u ^{'}}{u}$ : une primitive est $G (t) = ln (t^{2} + 1)$ .

Une forme $u^{'} u^{n}$ . Cherchons une primitive de $h (x) = x (x^{2} + 1)^{3}$ . Posons $u (x) = x^{2} + 1$ : alors $u^{'} (x) = 2 x$ , et $x = \frac{1}{2} u^{'} (x)$ . Donc $h = \frac{1}{2} u^{'} u^{3}$ , forme $u^{'} u^{n}$ avec $n = 3$ : une primitive est $H (x) = \frac{1}{2} \times \frac{( x ^{2} + 1 ) ^{4}}{4} = \frac{( x ^{2} + 1 ) ^{4}}{8}$ .

Une mise en garde pour finir : la méthode ne permet d'ajuster qu'une constante multiplicative. Si le facteur manquant contient la variable (par exemple primitiver $e^{- t^{2}}$ seul, sans le facteur $t$ devant), aucune manipulation de ce chapitre n'aboutit : cette fonction n'a d'ailleurs pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles. Reconnaître les formes du tableau, c'est aussi savoir reconnaître ce qui n'en est pas une.

Une application : l'énergie dissipée dans une résistance

Rassemblons tout le chapitre sur une situation d'électricité. Un condensateur se décharge dans une résistance $R = 12 Ω$ ; la tension à ses bornes, en volts, vaut $u (t) = 12 e^{- t /2}$ , où $t$ est en secondes. La puissance dissipée par effet Joule est $p (t) = \frac{u ( t ) ^{2}}{R}$ : remarquez que $u (t)^{2}$ est déjà une composée, le carré appliqué à la tension. Les propriétés de l'exponentielle donnent $(e^{- t /2})^{2} = e^{- t}$ , d'où :

p (t) = \frac{( 12 e ^{- t /2} ) ^{2}}{12} = \frac{144 e ^{- t}}{12} = 12 e^{- t}

L'énergie dissipée pendant les deux premières secondes est, comme au chapitre Intégration, l'intégrale de la puissance : $E = \int_{0}^{2} p (t) d t$ , en joules. La fonction $t \mapsto e^{- t}$ est de la forme $f (a t + b)$ avec $a = - 1$ : une primitive est $- e^{- t}$ , donc une primitive de $p$ est $- 12 e^{- t}$ . Le calcul s'enchaîne :

E = \int_{0}^{2} 12 e^{- t} d t = [- 12 e^{- t}]_{0}^{2} = - 12 e^{- 2} + 12 e^{0} = 12 (1 - e^{- 2}) \approx 10, 4 J

Environ $10, 4$ joules sont dissipés en chaleur pendant ces deux secondes. Chaque étape du calcul vient d'un chapitre de l'année : la composition pour lire $u (t)^{2}$ et $e^{- t /2}$ , les propriétés de l'exponentielle pour simplifier, la lecture inverse pour primitiver, l'intégrale pour donner un sens physique au résultat.

Ce chapitre a mis un mot, une notation et deux formules sur une réalité omniprésente : les fonctions des sciences sont des emboîtements. La formule $(v \circ u)^{'} = u^{'} \times (v^{'} \circ u)$ unifie toutes les dérivées apprises depuis la première, du signal sinusoïdal à l'exponentielle $e^{k x}$ , et démontre au passage la formule du quotient ; sa lecture inverse fournit les primitives des formes $u^{'} u^{n}$ , $\frac{u ^{'}}{u}$ , $u^{'} e^{u}$ , $u^{'} cos u$ et $u^{'} sin u$ , qui élargissent d'autant le champ des intégrales calculables. Le réflexe à installer tient en deux questions, à se poser devant chaque expression : quelle est la fonction intérieure $u$ ? et où est le facteur $u^{'}$ ? Les exercices vont maintenant l'ancrer, de l'identification des composées jusqu'aux calculs d'énergie.

Le cours en PDF(PDF, 84 Ko)

Les exercices

14 exercices, difficulté croissante de ★ (application directe) à ★★★★ (défi). Les corrigés détaillés sont dans le PDF — cherchez d'abord, le corrigé ensuite : c'est là que ça progresse.

Exercice 1 ★★★★ — Identifier et décomposer des composées

Composée de deux fonctions : définition, identification, décomposition

Écrire chacune des fonctions suivantes sous la forme $x \mapsto v (u (x))$ (ou $t \mapsto v (u (t))$ ), en précisant les fonctions $u$ et $v$ . Dans l'item f., $ω$ désigne une constante réelle non nulle.

a. $f (x) = (3 x - 1)^{4}$

b. $g (t) = cos (2 t)$

c. $h (x) = e^{5 x + 1}$

d. $k (x) = ln (2 x + 3)$ , définie pour $x > - \frac{3}{2}$

e. $m (x) = \frac{1}{x ^{2} + 1}$

f. $s (t) = sin (ω t + \frac{π}{3})$

g. $p (t) = (t^{2} + t)^{3}$

h. $q (t) = e^{- t^{2}}$

Exercice 2 ★★★★ — Composer dans les deux sens

Composée de deux fonctions : définition, identification, décomposition

Partie A. On considère les fonctions $u$ et $v$ définies sur $R$ par $u (x) = 2 x + 1$ et $v (x) = x^{2}$ .

Calculer $(v \circ u) (0)$ , $(v \circ u) (1)$ et $(v \circ u) (- 2)$ .
Calculer $(u \circ v) (0)$ , $(u \circ v) (1)$ et $(u \circ v) (- 2)$ .
Exprimer $(v \circ u) (x)$ en fonction de $x$ , puis développer.
Exprimer $(u \circ v) (x)$ en fonction de $x$ .
Que peut-on en conclure sur $v \circ u$ et $u \circ v$ ?

Partie B. On considère maintenant $u (t) = 3 t$ et $v (x) = cos x$ .

Exprimer $(v \circ u) (t)$ et $(u \circ v) (t)$ .
Calculer $(v \circ u) (\frac{π}{3})$ et $(u \circ v) (\frac{π}{3})$ . Les deux composées sont-elles égales ?

Exercice 3 ★★★★ — Dérivées de puissances de u

Dérivées de u puissance n, cos(u), sin(u), exp(u) et ln(u)

On rappelle que si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$ et $n$ un entier relatif non nul, alors $(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}$ (avec $u$ ne s'annulant pas sur $I$ lorsque $n < 0$ ).

Dériver chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué.

a. $f (x) = (2 x + 3)^{5}$ sur $R$

b. $g (x) = (x^{2} + 1)^{3}$ sur $R$

c. $h (t) = (t^{3} - 2 t)^{4}$ sur $R$

d. $k (x) = \frac{1}{3 x - 5}$ sur $] \frac{5}{3}; + \infty [$

e. $m (x) = \frac{1}{x ^{2} + 1}$ sur $R$

f. $p (t) = \frac{1}{( 2 t + 1 ) ^{2}}$ sur $] - \frac{1}{2}; + \infty [$

Exercice 4 ★★★★ — Dériver des signaux en cosinus et sinus

Dérivées de u puissance n, cos(u), sin(u), exp(u) et ln(u)

On rappelle que si $u$ est dérivable sur $R$ , alors $(cos (u))^{'} = - u^{'} sin (u)$ et $(sin (u))^{'} = u^{'} cos (u)$ .

Dériver chacune des fonctions suivantes, définies et dérivables sur $R$ . L'item d. modélise un signal électrique alternatif de fréquence $50 Hz$ (le temps $t$ est en secondes).

a. $f (x) = cos (3 x)$

b. $g (t) = sin (2 t - \frac{π}{4})$

c. $h (t) = 5 cos (4 t + \frac{π}{6})$

d. $s (t) = 4 sin (100 π t + \frac{π}{6})$

e. $m (x) = cos (x^{2} + 1)$

f. $p (t) = sin (t^{2} - 3 t)$

Exercice 5 ★★★★ — Dérivées avec exponentielle et logarithme composés

Dérivées de u puissance n, cos(u), sin(u), exp(u) et ln(u)

On rappelle que si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$ , alors $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ , et si de plus $u > 0$ sur $I$ , alors $(ln (u))^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ .

Dériver chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué. Pour l'item e., on utilisera aussi la formule de dérivation d'un produit.

a. $f (x) = e^{3 x + 2}$ sur $R$

b. $g (t) = e^{- t^{2} /2}$ sur $R$

c. $h (x) = ln (2 x + 3)$ sur $] - \frac{3}{2}; + \infty [$ (on a bien $2 x + 3 > 0$ )

d. $k (x) = ln (x^{2} + 1)$ sur $R$ (on a bien $x^{2} + 1 > 0$ pour tout réel $x$ )

e. $m (t) = t e^{- t}$ sur $R$

f. $p (t) = 3 e^{- 2 t + 1}$ sur $R$

Exercice 6 ★★★★ — La formule générale de dérivation d'une composée

Dérivée d'une composée : la formule générale

On rappelle la formule générale : si $u$ est dérivable sur $I$ et $v$ est dérivable sur un intervalle contenant $u (I)$ , alors

(v \circ u)^{'} = u^{'} \times (v^{'} \circ u)

Pour chacune des deux fonctions suivantes, préciser $u$ , $v$ , $u^{'}$ et $v^{'}$ , puis assembler la formule pour obtenir la dérivée.

a. $f (x) = (5 x - 2)^{3}$ , définie et dérivable sur $R$ .

b. $g (t) = cos (t^{2} + 1)$ , définie et dérivable sur $R$ .
Soit $k$ un réel non nul. En choisissant $u (t) = k t$ et $v (x) = e^{x}$ , retrouver la formule de dérivation de $t \mapsto e^{k t}$ vue au chapitre sur la fonction exponentielle.
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ , avec $v$ ne s'annulant pas sur $I$ . On veut démontrer la formule de dérivation du quotient en écrivant $\frac{u}{v} = u \times \frac{1}{v}$ .

a. Rappeler l'expression de $(\frac{1}{v})^{'}$ .

b. Appliquer la formule de dérivation d'un produit à $u \times \frac{1}{v}$ .

c. En réduisant au même dénominateur, retrouver $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ .

Exercice 7 ★★★★ — Vrai ou faux sur les dérivées de composées

Dérivée d'une composée : la formule généraleDérivées de u puissance n, cos(u), sin(u), exp(u) et ln(u)

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier : par un calcul si elle est vraie, par un calcul ou un contre-exemple si elle est fausse.

La dérivée de la fonction $t \mapsto e^{- t^{2}}$ est la fonction $t \mapsto e^{- t^{2}}$ .
La dérivée de la fonction $x \mapsto cos (x^{2} + 1)$ est la fonction $x \mapsto - sin (x^{2} + 1)$ .
Pour toutes fonctions $u$ et $v$ dérivables sur $R$ , on a $(v \circ u)^{'} = v^{'} \circ u^{'}$ .
Si $u$ est dérivable et ne s'annule pas sur un intervalle $I$ , alors la dérivée de $\frac{1}{u}$ est du même signe que $u^{'}$ sur $I$ .
Les fonctions $x \mapsto ln (2 x)$ et $x \mapsto ln (x)$ ont la même dérivée sur $] 0; + \infty [$ .

Exercice 8 ★★★★ — Primitives de f(ax + b)

Primitives de f(ax + b)

Rappel. Si $F$ est une primitive de $f$ , alors la fonction $x \mapsto \frac{1}{a} F (a x + b)$ (avec $a \neq = 0$ ) est une primitive de la fonction $x \mapsto f (a x + b)$ .

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes.

a. $t \mapsto (2 t + 1)^{3}$

b. $t \mapsto cos (3 t)$

c. $t \mapsto sin (2 t - \frac{π}{4})$

d. $t \mapsto e^{- t /2}$

e. $t \mapsto (5 - 2 t)^{2}$

f. $t \mapsto \frac{1}{( 3 t + 1 ) ^{2}}$ pour $t > - \frac{1}{3}$

Exercice 9 ★★★★ — Primitives des puissances de u

Primitives de u'u puissance n, u'/u, u'exp(u), u'cos(u) et u'sin(u)

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes, en reconnaissant à chaque fois une forme $u^{'} u^{n}$ (avec $n$ entier relatif, $n \neq = - 1$ ), au besoin après ajustement d'une constante multiplicative. On précisera à chaque fois la fonction $u$ choisie.

a. $t \mapsto 2 t (t^{2} + 1)^{3}$

b. $t \mapsto t (t^{2} - 4)^{2}$

c. $t \mapsto (2 t + 1) (t^{2} + t + 1)^{4}$

d. $t \mapsto \frac{2 t}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}}$

e. $t \mapsto cos (t) sin^{3} (t)$

f. $t \mapsto \frac{t}{( t ^{2} + 3 ) ^{3}}$

Exercice 10 ★★★★ — Primitives de u'/u et u'exp(u)

Primitives de u'u puissance n, u'/u, u'exp(u), u'cos(u) et u'sin(u)

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes, en reconnaissant une forme $\frac{u ^{'}}{u}$ (de primitive $ln (u)$ , valable uniquement sur un intervalle où $u > 0$ ) ou une forme $u^{'} e^{u}$ (de primitive $e^{u}$ ), au besoin après ajustement d'une constante multiplicative. On précisera à chaque fois la fonction $u$ choisie et, pour les formes $\frac{u ^{'}}{u}$ , on justifiera que $u > 0$ sur l'intervalle indiqué.

a. $t \mapsto \frac{2 t}{t ^{2} + 1}$ sur $R$

b. $t \mapsto \frac{3 t ^{2}}{t ^{3} + 5}$ sur $[0; + \infty [$

c. $t \mapsto \frac{e ^{t}}{e ^{t} + 1}$ sur $R$

d. $t \mapsto t e^{- t^{2}}$

e. $t \mapsto e^{2 t + 1}$

f. $t \mapsto (2 t + 3) e^{t^{2} + 3 t}$

Exercice 11 ★★★★ — Primitives trigonométriques et calculs d'intégrales

Primitives de u'u puissance n, u'/u, u'exp(u), u'cos(u) et u'sin(u)

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes, en reconnaissant une forme $u^{'} cos (u)$ , $u^{'} sin (u)$ ou $u^{'} e^{u}$ . On précisera la fonction $u$ choisie.

a. $t \mapsto 2 t cos (t^{2})$
b. $t \mapsto 3 t^{2} sin (t^{3})$
c. $t \mapsto cos (t) e^{s i n t}$
Calculer la valeur exacte de chacune des intégrales suivantes. La notation crochet $[F (t)]_{a}^{b}$ est exigée à chaque calcul.

a. $\int_{0}^{π /2} 2 t cos (t^{2}) d t$
b. $\int_{0}^{π} t sin (t^{2}) d t$
c. $\int_{0}^{π /2} cos (t) e^{s i n t} d t$

Exercice 12 ★★★★ — Reconnaître la bonne forme

Primitives de u'u puissance n, u'/u, u'exp(u), u'cos(u) et u'sin(u)Primitives de f(ax + b)

Pour chacune des fonctions suivantes : dire de quelle forme du chapitre il s'agit ( $u^{'} u^{n}$ , $\frac{u ^{'}}{u}$ , $u^{'} e^{u}$ , $u^{'} cos (u)$ , $u^{'} sin (u)$ ou $f (a t + b)$ ), poser la fonction $u$ (ou préciser $a$ et $b$ ), puis donner une primitive. Pour les formes $\frac{u ^{'}}{u}$ , on vérifiera que $u > 0$ .

1. $t \mapsto 3 t^{2} (t^{3} + 1)^{2}$

2. $t \mapsto \frac{2 t + 1}{t ^{2} + t + 3}$

3. $t \mapsto 2 t e^{t^{2}}$

4. $t \mapsto cos (5 t)$

5. $t \mapsto 3 t^{2} cos (t^{3})$

6. $t \mapsto \frac{e ^{t}}{( e ^{t} + 2 ) ^{2}}$

7. $t \mapsto 2 t sin (t^{2})$

8. $t \mapsto \frac{e ^{2 t}}{e ^{2 t} + 3}$

Exercice 13 ★★★★ — Lecture graphique, la courbe en cloche

Études de fonctions composées et applications physiquesDérivées de u puissance n, cos(u), sin(u), exp(u) et ln(u)

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[- 0, 6; 4, 6]$ par :

g (x) = 4 e^{- (x - 2)^{2}}

Sa courbe représentative $C_{g}$ est donnée ci-dessous.

Courbe en cloche de la fonction g, maximum au point d'abscisse 2 de coordonnées (2 ; 4), tangente horizontale tracée

1. Par lecture graphique, donner le maximum de $g$ sur $[- 0, 6; 4, 6]$ et l'abscisse en laquelle il est atteint. Que peut-on en déduire pour la valeur de $g^{'} (2)$ ?

2. On pose $u (x) = - (x - 2)^{2}$ , de sorte que $g (x) = 4 e^{u (x)}$ . Calculer $u^{'} (x)$ , puis montrer que pour tout $x \in [- 0, 6; 4, 6]$ :

g^{'} (x) = - 8 (x - 2) e^{- (x - 2)^{2}}

3. Étudier le signe de $g^{'} (x)$ sur $[- 0, 6; 4, 6]$ , puis dresser le tableau de variations de $g$ sur cet intervalle. On donnera les valeurs exactes aux bornes, ainsi que des valeurs approchées au millième.

4. Vérifier que les résultats de la question 3 sont cohérents avec le graphique.

Exercice 14 ★★★★ — Décharge d'un condensateur

Études de fonctions composées et applications physiques

Un condensateur chargé se décharge dans une résistance $R = 12 Ω$ . La tension à ses bornes (en volts) est modélisée, pour $t \in [0; 10]$ ( $t$ en secondes), par :

u (t) = 12 e^{- t /2}

Courbe de la tension u(t) = 12 e^(−t/2), décroissante de 12 volts vers 0, constante de temps tau = 2 marquée en pointillés

1. Calculer $u (0)$ . Déterminer $u^{'} (t)$ (dérivée d'une fonction de la forme $e^{k t}$ , vue au chapitre sur la fonction exponentielle), puis justifier le sens de variation de $u$ sur $[0; 10]$ .

2. La puissance dissipée dans la résistance (en watts) est $p (t) = \frac{[ u ( t ) ] ^{2}}{R}$ . En utilisant la propriété $(e^{a})^{2} = e^{2 a}$ , montrer que pour tout $t \in [0; 10]$ :

p (t) = 12 e^{- t}

3. En dérivant $[u (t)]^{2}$ à l'aide de la formule de dérivation de $u^{n}$ (ici $n = 2$ ), vérifier que $p^{'} (t) = \frac{2 u ^{'} ( t ) u ( t )}{R}$ , puis retrouver $p^{'} (t) = - 12 e^{- t}$ .

4. L'énergie dissipée dans la résistance (en joules) entre les instants $t = 0$ et $t = 2$ est :

E = \int_{0}^{2} p (t) d t

Calculer la valeur exacte de $E$ (on utilisera une primitive d'une fonction de la forme $f (a t + b)$ ), puis en donner une valeur approchée arrondie au dixième.

5. Calculer la valeur moyenne de la puissance $p$ sur l'intervalle $[0; 2]$ (valeur exacte, puis arrondi au dixième).

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Le devoir surveillé

Sujet type DS — 60 min, barème sur 20 points. Faites-le en conditions réelles avant de regarder le corrigé (PDF).

Exercice 1 (6 points) — Dérivées de fonctions composées

1. ( $1, 5$ pt, soit $0, 75$ pt par fonction) Écrire chacune des fonctions suivantes sous la forme $v (u (x))$ , en précisant les expressions des fonctions $u$ et $v$ :

a. $f (x) = (x^{2} + 1)^{3}$

b. $g (x) = ln (x^{2} + 4)$

2. ( $4, 5$ pts, soit $0, 75$ pt par dérivée) Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies sur $R$ (sauf f., définie pour $t > - \frac{2}{3}$ ) :

a. $f_{1} (t) = (2 t + 3)^{4}$

b. $f_{2} (t) = \frac{1}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}}$

c. $f_{3} (t) = sin (2 t + \frac{π}{3})$

d. $f_{4} (t) = e^{- 3 t}$

e. $f_{5} (t) = e^{t^{2}}$

f. $f_{6} (t) = ln (3 t + 2)$

Exercice 2 (5 points) — Primitives

1. ( $3$ pts, soit $0, 75$ pt par primitive) Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur $R$ . Pour la fonction c., on justifiera d'un mot que le dénominateur est strictement positif sur $R$ :

a. $g_{1} (t) = cos (2 t)$

b. $g_{2} (t) = 2 t (t^{2} + 1)^{2}$

c. $g_{3} (t) = \frac{2 t + 1}{t ^{2} + t + 1}$

d. $g_{4} (t) = t e^{- t^{2}}$

2. ( $2$ pts) Calculer la valeur exacte de $\int_{0}^{1} t e^{- t^{2}} d t$ . On fera apparaître la notation crochet $[\cdot]_{0}^{1}$ .

Exercice 3 (6 points) — Refroidissement d'une pièce métallique

Dans un atelier dont la température ambiante est constante, égale à $20$ °C, une pièce métallique sort d'un four à la température de $80$ °C. On note $T (t)$ sa température en degrés Celsius à l'instant $t$ , exprimé en minutes. On admet que, pour tout $t$ de $[0; 25]$ :

T (t) = 20 + 60 e^{- t /5}

La courbe représentative de $T$ est donnée ci-dessous.

Courbe décroissante de la température T(t) = 20 + 60 e^(−t/5), de 80 degrés vers l'asymptote horizontale T = 20 en pointillés

1. ( $1$ pt) Vérifier que $T (0) = 80$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

2. ( $1, 5$ pt) Justifier que $T$ est dérivable sur $[0; 25]$ et montrer que, pour tout $t$ de $[0; 25]$ , $T^{'} (t) = - 12 e^{- t /5}$ .

3. ( $1, 5$ pt) Étudier le signe de $T^{'} (t)$ sur $[0; 25]$ , puis dresser le tableau de variations de $T$ sur $[0; 25]$ . On donnera les valeurs exactes aux bornes.

4. ( $1, 5$ pt) Résoudre par le calcul l'équation $T (t) = 30$ sur $[0; 25]$ . On donnera la valeur exacte de la solution, puis un arrondi au dixième de minute, et on vérifiera la cohérence du résultat avec le graphique.

5. ( $0, 5$ pt) La pièce peut être manipulée sans gant dès que sa température est inférieure à $30$ °C. À partir de quel instant l'ouvrier peut-il la manipuler sans gant ?

Exercice 4 (3 points) — Valeur moyenne d'une température

On reprend la pièce métallique de l'exercice 3, dont la température est modélisée sur $[0; 25]$ par $T (t) = 20 + 60 e^{- t /5}$ ( $T$ en degrés Celsius, $t$ en minutes).

1. ( $2$ pts) Calculer la valeur moyenne de $T$ sur l'intervalle $[0; 10]$ , c'est-à-dire $\frac{1}{10} \int_{0}^{10} (20 + 60 e^{- t /5}) d t$ . On donnera la valeur exacte, puis un arrondi au dixième de degré.

2. ( $1$ pt) Interpréter physiquement cette valeur moyenne pour la pièce métallique pendant les dix premières minutes.

Le sujet du DS(PDF, 44 Ko)Le corrigé du DS(PDF, 66 Ko)

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