Tale PCM · Chapitre 04 · Analyse

Équations différentielles

Résolution de y' = ay et y' = ay + b, condition initiale, méthode d'Euler.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Résolution de y' = ay et y' = ay + b
Condition initiale
Méthode d'Euler

Le cours

Ouvrez n'importe quel livre de physique et regardez comment les lois y sont écrites. La loi de la radioactivité ne dit pas « le nombre de noyaux vaut telle formule » : elle dit que le nombre de noyaux qui se désintègrent par seconde est proportionnel au nombre de noyaux présents. La loi du refroidissement ne donne pas la température d'un café en fonction du temps : elle dit que la vitesse à laquelle il refroidit est proportionnelle à l'écart entre sa température et celle de la pièce. La loi d'un circuit électrique relie la tension aux bornes d'un condensateur à la vitesse à laquelle cette tension évolue. Dans les trois cas, la nature ne nous livre pas la grandeur elle-même, mais une relation entre la grandeur et sa vitesse de variation — c'est-à-dire, dans le langage appris en première, entre une fonction et sa dérivée.

Une équation qui relie ainsi une fonction inconnue à ses dérivées s'appelle une équation différentielle, et la résoudre, c'est retrouver la grandeur à partir de la loi qui gouverne sa variation. Ce chapitre est le point de rencontre de tout ce que nous avons construit depuis le début de l'année : la fonction exponentielle va se révéler être la solution des équations les plus fréquentes en sciences, le logarithme servira à exploiter ces solutions (calculer une demi-vie, un temps de charge), et l'esprit du calcul approché du chapitre Intégration reviendra avec la méthode d'Euler. Nous commencerons par comprendre ce qu'est une équation différentielle et ce que signifie « en être solution », puis nous résoudrons complètement les deux familles du programme, $y^{'} = a y$ et $y^{'} = a y + b$ , avant de faire travailler ces outils sur de vrais modèles physiques et chimiques.

Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?

Toutes les équations rencontrées jusqu'ici, comme $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ou $e^{2 x} = 5$ , avaient pour inconnue un nombre : résoudre, c'était trouver les valeurs de $x$ qui rendent l'égalité vraie. Une équation différentielle change radicalement la nature de l'inconnue : on cherche une fonction. L'équation $y^{'} = 3 y$ , par exemple, pose la question suivante : quelles sont les fonctions dont la dérivée vaut, en tout point, trois fois la fonction elle-même ? La lettre $y$ n'y désigne pas un nombre mais la fonction inconnue, et $y^{'}$ sa dérivée.

Définition

Équation différentielle, solution. Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction, et qui fait intervenir cette fonction ainsi qu'une ou plusieurs de ses dérivées ( $y^{'}$ , éventuellement $y^{''}$ , …).

Une fonction $f$ , dérivable sur un intervalle $I$ , est une solution de l'équation différentielle sur $I$ lorsque l'égalité est vraie pour tout réel $x$ de $I$ quand on remplace $y$ par $f (x)$ et $y^{'}$ par $f^{'} (x)$ .

Résoudre une équation différentielle sur un intervalle, c'est trouver toutes ses solutions sur cet intervalle. Retenez bien le « pour tout » de la définition : une égalité vraie en un seul point ne suffit pas, c'est l'égalité de deux fonctions qui est exigée. Un mot également sur les notations, car vous en croiserez deux. En mathématiques, on note volontiers $y^{'}$ la dérivée de la fonction inconnue. En sciences physiques, on préfère la notation différentielle $\frac{d y}{d x}$ , qui rappelle par rapport à quelle variable on dérive — ce qui est précieux quand la variable est le temps. L'équation $y^{'} = 3 y$ s'écrit aussi $\frac{d y}{d x} = 3 y$ , et la loi de la radioactivité s'écrira $\frac{d N}{d t} = - λ N$ : la dérivée de $N$ par rapport au temps $t$ . Les deux notations désignent exactement le même objet, et le programme demande de savoir lire l'une comme l'autre.

Avant de savoir résoudre quoi que ce soit, il y a une compétence plus élémentaire et systématiquement exigée au bac : vérifier qu'une fonction donnée est solution. Aucune inventivité n'est requise, seulement de la rigueur.

Méthode

Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle. Pour vérifier qu'une fonction $f$ est solution d'une équation différentielle sur un intervalle $I$ :

calculer la dérivée $f^{'}$ (et $f^{''}$ si l'équation en a besoin) avec les règles de dérivation ;
remplacer, dans l'équation, $y$ par $f (x)$ et $y^{'}$ par $f^{'} (x)$ ;
transformer l'expression obtenue par le calcul algébrique et constater que l'égalité est vraie pour tout $x$ de $I$ .

Exemple

La fonction carré et l'équation $2 y - x y^{'} = 0$ . Montrons que la fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = x^{2}$ est solution sur $R$ de l'équation différentielle $2 y - x y^{'} = 0$ .

Étape 1. La fonction $f$ est dérivable sur $R$ et $f^{'} (x) = 2 x$ .

Étape 2. Remplaçons $y$ par $f (x)$ et $y^{'}$ par $f^{'} (x)$ dans le membre de gauche :

2 f (x) - x f^{'} (x) = 2 x^{2} - x \times 2 x

Étape 3. Pour tout réel $x$ :

2 x^{2} - x \times 2 x = 2 x^{2} - 2 x^{2} = 0

L'égalité $2 f (x) - x f^{'} (x) = 0$ est vraie pour tout $x$ de $R$ : la fonction $f$ est bien solution de l'équation sur $R$ .

Notez qu'une équation différentielle a en général plusieurs solutions : ici, on vérifierait de la même façon que $x \mapsto 5 x^{2}$ , ou n'importe quelle fonction $x \mapsto k x^{2}$ , est aussi solution de $2 y - x y^{'} = 0$ . C'est un trait constant du chapitre : les solutions viennent par familles, et il faudra une information supplémentaire — une condition initiale — pour en isoler une seule.

Les équations différentielles se présentent sous des formes très variées, et il est bon d'en voir quelques-unes avant de se spécialiser. L'équation $y^{'} + y^{2} = 0$ fait intervenir le carré de la fonction inconnue : on peut vérifier que la fonction $f$ définie sur $] 0; + \infty [$ par $f (x) = \frac{1}{x}$ en est solution, puisque $f^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}}$ et donc $f^{'} (x) + f (x)^{2} = - \frac{1}{x ^{2}} + \frac{1}{x ^{2}} = 0$ pour tout $x > 0$ . Remarquez au passage que cette solution ne vit que sur un intervalle, pas sur $R$ tout entier : d'où l'importance de préciser l'intervalle dans la définition. Autre exemple, essentiel en physique : l'équation $y^{''} + ω^{2} y = 0$ , qui fait intervenir la dérivée seconde, est l'équation de l'oscillateur harmonique — un système masse-ressort, un circuit LC. La fonction $f$ définie par $f (t) = cos (ω t)$ en est solution : en effet $f^{'} (t) = - ω sin (ω t)$ , puis $f^{''} (t) = - ω^{2} cos (ω t)$ , et donc $f^{''} (t) + ω^{2} f (t) = - ω^{2} cos (ω t) + ω^{2} cos (ω t) = 0$ pour tout réel $t$ . Nous ne chercherons jamais à résoudre ces équations-là — savoir vérifier une solution proposée suffit. Le travail de résolution complète, lui, portera sur deux familles précises, les plus importantes des sciences industrielles et de laboratoire, auxquelles le reste du chapitre est consacré.

L'équation $y^{'} = a y$

Commençons par l'équation la plus simple et la plus fondamentale : $y^{'} = a y$ , où $a$ est un réel fixé. Elle traduit mot pour mot la situation physique évoquée en introduction : une grandeur dont la vitesse de variation est proportionnelle à la grandeur elle-même, le coefficient de proportionnalité étant $a$ . Quelles fonctions vérifient cela ? Le chapitre sur la fonction exponentielle a mis en évidence la propriété qui fait toute sa valeur : la dérivée de $x \mapsto e^{a x}$ est $x \mapsto a e^{a x}$ . Autrement dit, l'exponentielle $e^{a x}$ vérifie déjà l'équation. Et elle n'est pas seule : tous ses multiples conviennent aussi. Le théorème suivant affirme qu'il n'y a rien d'autre.

Propriété

Solutions de l'équation $y^{'} = a y$ . Soit $a$ un réel. Les solutions sur $R$ de l'équation différentielle $y^{'} = a y$ sont exactement les fonctions

f : x ⟼ C e^{a x}

où $C$ est une constante réelle quelconque.

Démonstration. Il y a deux choses à prouver : que toutes ces fonctions sont solutions, et qu'il n'en existe aucune autre.

Premier sens : toute fonction $x \mapsto C e^{a x}$ est solution. Soit $C$ un réel et $f (x) = C e^{a x}$ . La fonction $f$ est dérivable sur $R$ et, d'après la formule de dérivation de $e^{a x}$ :

f^{'} (x) = C \times a e^{a x} = a \times C e^{a x} = a f (x)

L'égalité $f^{'} = a f$ est vraie sur $R$ : la fonction $f$ est solution.

Second sens : il n'y a pas d'autre solution. Soit $f$ une solution quelconque de $y^{'} = a y$ sur $R$ . L'astuce consiste à comparer $f$ à l'exponentielle en posant, pour tout réel $x$ :

g (x) = f (x) e^{- a x}

La fonction $g$ est dérivable sur $R$ comme produit de fonctions dérivables, et la formule de dérivation d'un produit donne :

g^{'} (x) = f^{'} (x) e^{- a x} + f (x) \times (- a e^{- a x}) = (f^{'} (x) - a f (x)) e^{- a x}

Or $f$ est solution de l'équation, donc $f^{'} (x) = a f (x)$ pour tout $x$ , c'est-à-dire $f^{'} (x) - a f (x) = 0$ . On en déduit $g^{'} (x) = 0$ pour tout réel $x$ : la fonction $g$ est constante sur $R$ . Notons $C$ sa valeur. Alors $f (x) e^{- a x} = C$ pour tout $x$ et, en multipliant les deux membres par $e^{a x}$ (qui n'est jamais nul) :

f (x) = C e^{a x}

Toute solution est donc bien de la forme annoncée, ce qui achève la démonstration. $□$

Cette démonstration mérite d'être comprise, car elle explique pourquoi l'exponentielle est incontournable : dès qu'une grandeur évolue proportionnellement à elle-même, aucune autre fonction ne peut décrire son évolution. Signalons aussi une propriété de structure de l'ensemble des solutions, que la forme $C e^{a x}$ rend visible, mais qui peut se vérifier directement sur l'équation.

Remarque

Somme et multiple de solutions. Si $f$ et $g$ sont deux solutions de $y^{'} = a y$ sur $R$ , alors la fonction somme $f + g$ est encore solution : en effet $(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'} = a f + a g = a (f + g)$ . De même, si $f$ est solution et $k$ est un réel, alors $k f$ est solution, car $(k f)^{'} = k f^{'} = k \times a f = a (k f)$ . L'ensemble des solutions est donc stable par somme et par multiplication par une constante — c'est une propriété remarquable, que les équations vues plus haut, comme $y^{'} + y^{2} = 0$ , ne partagent pas.

Une équation, une infinité de solutions : une par valeur de $C$ . Graphiquement, cela donne une famille de courbes, et il est très instructif de la regarder.

Famille de courbes solutions de y' = -0,5y pour C = 3, 2, 1, -1, -2

La figure montre cinq solutions de l'équation $y^{'} = - 0, 5 y$ , c'est-à-dire cinq courbes d'équation $y = C e^{- 0, 5 x}$ , pour $C = 3$ , $2$ , $1$ , $- 1$ et $- 2$ . Plusieurs observations s'imposent. Le signe de $C$ décide de tout le comportement vertical : les courbes avec $C > 0$ restent entièrement au-dessus de l'axe des abscisses, celles avec $C < 0$ entièrement en dessous — une solution ne traverse jamais l'axe, sauf la solution nulle $C = 0$ , qui est confondue avec lui. La valeur de $C$ se lit directement sur l'axe des ordonnées, puisque $f (0) = C e^{0} = C$ : chaque courbe coupe l'axe des ordonnées à la hauteur de son coefficient. Enfin, comme $a = - 0, 5 < 0$ , toutes les courbes s'écrasent sur l'axe des abscisses quand $x$ tend vers $+ \infty$ : quelle que soit la valeur de départ, la grandeur s'éteint. Si $a$ était positif, le tableau serait inversé : toutes les solutions non nulles exploseraient vers l'infini. Par un point du plan, il ne passe qu'une seule courbe de la famille : cette remarque graphique prépare la notion de condition initiale, qui viendra bientôt.

Exemple

Résoudre $3 y^{'} = 2 y$ . L'équation n'est pas directement sous la forme du cours, mais un pas de calcul l'y ramène : en divisant les deux membres par $3$ , elle équivaut à

y^{'} = \frac{2}{3} y

C'est une équation du type $y^{'} = a y$ avec $a = \frac{2}{3}$ . D'après la propriété, ses solutions sur $R$ sont les fonctions

f : x ⟼ C e^{\frac{2}{3} x}, C \in R

Prenez l'habitude de ce premier réflexe : toujours réécrire l'équation sous la forme exacte $y^{'} = a y$ avant d'appliquer le cours, pour identifier $a$ sans erreur de signe ni de coefficient.

L'équation $y^{'} = a y + b$

La proportionnalité pure du paragraphe précédent est rarement le fin mot de l'histoire physique. Un condensateur qui se charge, un objet qui se réchauffe dans une pièce : dans ces situations, la vitesse de variation dépend de la grandeur, mais un terme constant s'y ajoute — une source de tension, une température ambiante. Le modèle devient $y^{'} = a y + b$ , avec $a$ un réel non nul et $b$ un réel. Comment le résoudre ? L'idée directrice est de se ramener à l'équation précédente, et pour cela on commence par chercher la solution la plus simple qu'on puisse imaginer : une solution constante.

Méthode

Chercher la solution constante de $y^{'} = a y + b$ . Une fonction constante $y_{0}$ a une dérivée nulle. Elle est donc solution de l'équation si et seulement si $0 = a y_{0} + b$ , c'est-à-dire :

y_{0} = - \frac{b}{a}

L'équation $y^{'} = a y + b$ (avec $a \neq = 0$ ) admet ainsi une unique solution constante, la fonction $x \mapsto - \frac{b}{a}$ . En pratique, on peut retrouver cette valeur sans formule : on écrit « $y$ constante donc $y^{'} = 0$ » et on résout l'équation $0 = a y + b$ obtenue.

Cette solution constante, souvent appelée solution particulière, joue le rôle de niveau d'équilibre : si la grandeur démarre exactement à cette valeur, elle n'en bouge plus jamais, puisque sa vitesse de variation y est nulle. Toutes les autres solutions s'expriment à partir d'elle.

Propriété

Solutions de l'équation $y^{'} = a y + b$ . Soient $a$ un réel non nul et $b$ un réel. Les solutions sur $R$ de l'équation différentielle $y^{'} = a y + b$ sont exactement les fonctions

f : x ⟼ C e^{a x} - \frac{b}{a}

où $C$ est une constante réelle quelconque.

Démonstration. Notons $y_{0} = - \frac{b}{a}$ la solution constante, et montrons l'équivalence suivante : une fonction $f$ est solution de $y^{'} = a y + b$ si et seulement si la fonction $g = f - y_{0}$ est solution de $y^{'} = a y$ . Comme $y_{0}$ est constante, $g$ est dérivable dès que $f$ l'est, et $g^{'} = f^{'}$ . Alors, pour tout réel $x$ :

f^{'} (x) = a f (x) + b ⟺ g^{'} (x) = a (g (x) + y_{0}) + b ⟺ g^{'} (x) = a g (x) + a y_{0} + b ⟺ g^{'} (x) = a g (x)

la dernière équivalence venant de $a y_{0} + b = a \times (- \frac{b}{a}) + b = - b + b = 0$ . Or nous connaissons toutes les solutions de $y^{'} = a y$ : ce sont les fonctions $g (x) = C e^{a x}$ . Donc $f$ est solution de $y^{'} = a y + b$ si et seulement si $f (x) = g (x) + y_{0} = C e^{a x} - \frac{b}{a}$ , ce qu'il fallait démontrer. $□$

La structure du résultat se retient bien : solution générale de l'équation sans second membre, plus solution constante. La partie $C e^{a x}$ est la même famille qu'au paragraphe précédent, simplement décalée verticalement de $- \frac{b}{a}$ ; toute la famille de courbes de la figure précédente, translatée d'un bloc.

Remarque

Pourquoi exiger $a \neq = 0$ ? Si $a = 0$ , l'équation se réduit à $y^{'} = b$ : la dérivée est constante, et retrouver $y$ est un pur problème de primitive, réglé depuis la première — les solutions sont les fonctions $x \mapsto b x + C$ . La division par $a$ dans la formule $- \frac{b}{a}$ n'aurait d'ailleurs aucun sens. Le cas intéressant de ce chapitre est bien $a \neq = 0$ : c'est la présence du terme $a y$ , proportionnel à la fonction elle-même, qui fait entrer l'exponentielle en scène.

Exemple

Résoudre $y^{'} = 2 y + 6$ . Ici $a = 2$ et $b = 6$ . Cherchons d'abord la solution constante : une fonction constante vérifie $y^{'} = 0$ , donc $0 = 2 y + 6$ , d'où $y = - 3$ . On retrouve bien $- \frac{b}{a} = - \frac{6}{2} = - 3$ . D'après la propriété, les solutions sur $R$ sont les fonctions

f : x ⟼ C e^{2 x} - 3, C \in R

Vérifions, comme le fait tout bon calculateur, sur l'une d'elles : si $f (x) = C e^{2 x} - 3$ , alors $f^{'} (x) = 2 C e^{2 x}$ , tandis que $2 f (x) + 6 = 2 C e^{2 x} - 6 + 6 = 2 C e^{2 x}$ . Les deux expressions coïncident pour tout $x$ : nos solutions sont correctes.

Remarque

Comportement des solutions et régime permanent. Le signe de $a$ gouverne le destin des solutions $f (x) = C e^{a x} - \frac{b}{a}$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ .

Si $a < 0$ , alors $e^{a x}$ tend vers $0$ , donc toutes les solutions tendent vers la valeur d'équilibre $- \frac{b}{a}$ : chaque courbe admet la droite d'équation $y = - \frac{b}{a}$ pour asymptote horizontale en $+ \infty$ . C'est la situation physique la plus courante : quel que soit l'état de départ, le système oublie ses conditions initiales et rejoint son régime permanent — un condensateur finit chargé, un café finit à température ambiante.

Si $a > 0$ , au contraire, $e^{a x}$ tend vers $+ \infty$ : toute solution non constante s'éloigne indéfiniment de la valeur d'équilibre, vers $+ \infty$ ou $- \infty$ selon le signe de $C$ . L'équilibre existe toujours, mais il est instable, et le régime est explosif. Le comportement en $- \infty$ s'échange dans les deux cas : c'est alors en $- \infty$ que les solutions se rapprochent (si $a > 0$ ) ou s'éloignent (si $a < 0$ ) de la constante.

Condition initiale

L'équation $y^{'} = 2 y + 6$ possède une infinité de solutions, une par valeur de $C$ . Mais un problème concret n'a qu'une seule réponse : le condensateur de votre circuit était déchargé à l'instant $t = 0$ , le café sortait de la machine à $80$ degrés. Cette information sur l'état de départ s'appelle une condition initiale, et c'est elle qui sélectionne, dans la famille des solutions, l'unique courbe qui raconte votre situation.

Définition

Condition initiale. Soient $x_{0}$ et $y_{0}$ deux réels. Imposer la condition initiale $y (x_{0}) = y_{0}$ à une équation différentielle, c'est chercher une solution $f$ vérifiant de plus $f (x_{0}) = y_{0}$ — autrement dit, une solution dont la courbe passe par le point de coordonnées $(x_{0}; y_{0})$ .

Propriété

Existence et unicité (admise). Soient $a$ un réel non nul, $b$ , $x_{0}$ et $y_{0}$ des réels. L'équation différentielle $y^{'} = a y + b$ admet une unique solution sur $R$ vérifiant la condition initiale $y (x_{0}) = y_{0}$ .

L'existence ne surprend pas : nous allons voir qu'on trouve toujours une valeur de $C$ qui convient. L'unicité, admise par le programme, se comprend bien sur la figure de la famille de courbes : par chaque point du plan passe une et une seule courbe de la famille — deux solutions distinctes ne se croisent jamais. En pratique, la recherche de la solution suit toujours le même chemin en trois étapes.

Méthode

Déterminer la solution vérifiant une condition initiale. Pour trouver la solution de $y^{'} = a y + b$ vérifiant $y (x_{0}) = y_{0}$ :

écrire la forme générale des solutions : $f (x) = C e^{a x} - \frac{b}{a}$ , avec $C$ réel à déterminer ;
imposer la condition initiale : remplacer $x$ par $x_{0}$ et écrire l'équation $f (x_{0}) = y_{0}$ , dont l'inconnue est le nombre $C$ ;
résoudre en $C$ , puis écrire la solution obtenue avec la valeur de $C$ trouvée.

Exemple

La solution de $y^{'} = - 3 y + 6$ vérifiant $y (0) = 5$ .

Étape 1. Ici $a = - 3$ et $b = 6$ , donc $- \frac{b}{a} = - \frac{6}{- 3} = 2$ . Les solutions de l'équation sont les fonctions $f (x) = C e^{- 3 x} + 2$ , avec $C \in R$ .

Étape 2. La condition $y (0) = 5$ s'écrit $f (0) = 5$ , soit :

C e^{0} + 2 = 5

Étape 3. Comme $e^{0} = 1$ , l'équation devient $C + 2 = 5$ , d'où $C = 3$ . L'unique solution cherchée est donc la fonction

f : x ⟼ 3 e^{- 3 x} + 2

Contrôlons le résultat, réflexe indispensable : $f (0) = 3 + 2 = 5$ , la condition initiale est satisfaite ; et $f^{'} (x) = - 9 e^{- 3 x}$ , tandis que $- 3 f (x) + 6 = - 9 e^{- 3 x} - 6 + 6 = - 9 e^{- 3 x}$ : l'équation est vérifiée. Notez enfin, avec la remarque du paragraphe précédent, que $a = - 3 < 0$ : cette solution décroît de $5$ vers son régime permanent $2$ , sans jamais l'atteindre.

Lorsque la condition initiale porte sur un point $x_{0} \neq = 0$ , la troisième étape demande une ligne de plus : l'équation en $C$ contient un facteur $e^{a x_{0}}$ non nul, par lequel on divise. Par exemple, imposer $y (1) = 4$ aux solutions $f (x) = C e^{2 x} - 3$ de $y^{'} = 2 y + 6$ conduit à $C e^{2} - 3 = 4$ , donc $C = \frac{7}{e ^{2}} = 7 e^{- 2}$ , et la solution s'écrit $f (x) = 7 e^{- 2} e^{2 x} - 3 = 7 e^{2 x - 2} - 3$ . Le mécanisme est le même ; seule l'algèbre des exponentielles, bien connue depuis le chapitre deux, entre en jeu.

La méthode d'Euler

Savoir résoudre exactement $y^{'} = a y + b$ est un luxe : la plupart des équations différentielles de la science n'ont pas de solution exprimable par une formule. Que fait-on alors ? Ce que nous avons fait au chapitre Intégration quand la géométrie ne suffisait plus : on calcule une approximation, pas à pas, avec une machine. La méthode porte le nom du mathématicien Leonhard Euler, et son principe tient dans l'approximation la plus naturelle du calcul différentiel : au voisinage d'un point, une courbe se confond presque avec sa tangente. Si $f$ est dérivable en $x$ et si $h$ est un petit pas, alors

f (x + h) \approx f (x) + h f^{'} (x)

Voici comment cette formule fabrique une solution approchée. Prenons l'équation étudiée par le programme : $y^{'} = y$ avec la condition initiale $y (0) = 1$ — sa solution exacte est $C e^{x}$ avec $C = 1$ , c'est-à-dire la fonction exponentielle elle-même. Faisons semblant de ne pas le savoir. Partons du point de départ $y_{0} = 1$ en $x_{0} = 0$ . L'équation nous dit que $f^{'} (x) = f (x)$ : en un point où la fonction vaut $y_{k}$ , sa dérivée vaut aussi $y_{k}$ . L'approximation affine donne alors la valeur approchée suivante :

y_{k + 1} = y_{k} + h \times y_{k} = y_{k} (1 + h)

À chaque pas, on multiplie simplement la valeur courante par $(1 + h)$ , et on avance de $h$ en abscisse : $x_{k + 1} = x_{k} + h$ .

Méthode

Construire une solution approchée par la méthode d'Euler. Pour approcher sur $[x_{0}; x_{0} + nh]$ la solution d'une équation différentielle vérifiant $y (x_{0}) = y_{0}$ :

choisir un pas $h$ (plus il est petit, plus le calcul est précis mais long) ;
partir du point $(x_{0}; y_{0})$ donné par la condition initiale ;
à chaque étape, calculer la valeur de la dérivée au point courant grâce à l'équation différentielle, puis appliquer l'approximation affine ; pour $y^{'} = y$ , cela donne la relation de récurrence $y_{k + 1} = y_{k} (1 + h)$ et $x_{k + 1} = x_{k} + h$ ;
relier les points $(x_{k}; y_{k})$ obtenus : la ligne brisée approche la courbe de la solution.

Déroulons le calcul sur l'intervalle $[0; 1]$ avec le pas $h = 0, 25$ , soit quatre étapes. Chaque valeur s'obtient en multipliant la précédente par $1, 25$ :

$x_{k}$	$0$	$0, 25$	$0, 5$	$0, 75$	$1$
$y_{k}$	$1$	$1, 25$	$1, 5625$	$1, 953125 \approx 1, 9531$	$2, 44140625 \approx 2, 4414$

Au bout de l'intervalle, la méthode annonce $f (1) \approx 2, 4414$ . Or la solution exacte est l'exponentielle, et $f (1) = e \approx 2, 7183$ : notre approximation est trop basse d'environ $0, 28$ . D'où vient l'erreur ? La figure le montre mieux qu'un long discours.

Ligne brisée de la méthode d'Euler avec h = 0,25 comparée à la courbe de l'exponentielle

La méthode d'Euler ne construit pas une courbe mais une ligne brisée : à chaque étape, elle suit la tangente au lieu de suivre la courbe. Comme l'exponentielle est convexe — elle se redresse sans cesse —, chaque segment de tangente passe sous la courbe, et les petites erreurs s'accumulent toutes dans le même sens : la ligne brisée reste en dessous, et l'écart se creuse à mesure qu'on avance. Le remède est évident : raccourcir les segments. Avec un pas plus petit, la tangente est suivie moins longtemps avant d'être recalculée, et la ligne brisée épouse mieux la courbe. Quatre multiplications à la main, c'était faisable ; mille, c'est le travail d'une machine, et la boucle tient en quelques lignes de Python.

h = 0.25
x = 0
y = 1
print(x, y)
while x < 1:
    y = y * (1 + h)   # approximation affine : y' = y
    x = x + h
    print(x, y)

Le programme, exécuté tel quel, affiche exactement les valeurs du tableau et se termine sur $2, 44140625$ . Remplacez la première ligne par h = 0.01 : l'approximation de $e$ devient $2, 7048$ . Avec h = 0.001, elle atteint $2, 7169$ , à moins de deux millièmes de la vraie valeur.

Remarque

Plus le pas est petit, meilleure est l'approximation. C'est la règle générale de la méthode d'Euler : l'erreur commise diminue quand $h$ diminue, au prix d'un plus grand nombre d'étapes de calcul. On retrouve exactement le compromis de la méthode des rectangles du chapitre Intégration : la précision s'achète en quantité de calcul, et c'est l'ordinateur qui paie. Historiquement, c'est d'ailleurs par des constructions de ce type que l'on a tracé les premières courbes exponentielles, avant d'en connaître les formules.

Équations différentielles en physique et en chimie

Tout est en place pour faire ce que ce chapitre promettait : lire une loi physique, reconnaître une équation différentielle du cours, la résoudre et interpréter. Trois modèles classiques, que vous retrouverez en physique-chimie tout au long de l'année, vont nous servir de terrain.

La décroissance radioactive

Un échantillon radioactif contient $N (t)$ noyaux non désintégrés à l'instant $t$ . L'expérience montre que le nombre de désintégrations par unité de temps est proportionnel au nombre de noyaux présents : chaque noyau a, à chaque instant, la même probabilité de se désintégrer. Cette loi s'écrit avec la notation différentielle, la plus naturelle ici :

\frac{d N}{d t} = - λ N

où $λ$ est une constante positive, propre au noyau considéré, appelée constante radioactive. Le signe moins traduit que $N$ diminue : sa dérivée est négative tant qu'il reste des noyaux. Nous reconnaissons une équation du type $y^{'} = a y$ avec $a = - λ$ : ses solutions sont les fonctions $t \mapsto C e^{- λ t}$ . La condition initiale naturelle est le nombre de noyaux au départ, $N (0) = N_{0}$ ; elle donne $C e^{0} = N_{0}$ , donc $C = N_{0}$ , et la loi de décroissance radioactive s'écrit :

N (t) = N_{0} e^{- λ t}

La grandeur reine de ce modèle est la demi-vie : le temps au bout duquel la moitié des noyaux initiaux se sont désintégrés. Son calcul est un très bel exercice de logarithme.

Exemple

Calcul de la demi-vie. La demi-vie $t_{1/2}$ est l'instant où $N (t_{1/2}) = \frac{N _{0}}{2}$ . Écrivons cette équation et résolvons-la :

N_{0} e^{- λ t_{1/2}} = \frac{N _{0}}{2}

En divisant les deux membres par $N_{0}$ (non nul), il vient $e^{- λ t_{1/2}} = \frac{1}{2}$ . Le chapitre sur le logarithme népérien nous a appris à résoudre ce type d'équation : en appliquant $ln$ aux deux membres,

- λ t_{1/2} = ln (\frac{1}{2}) = - ln 2

d'où, en divisant par $- λ$ :

t_{1/2} = \frac{ln 2}{λ}

La demi-vie ne dépend que de $λ$ , pas de $N_{0}$ : que l'échantillon soit gros ou petit, la moitié disparaît toujours dans le même temps. Application numérique : l'iode 131, utilisé en médecine nucléaire, a pour constante radioactive $λ \approx 0, 0862$ jour $^{- 1}$ ; sa demi-vie vaut $t_{1/2} = \frac{ln 2}{0 , 0862} \approx 8, 0$ jours. Au bout de $8$ jours il reste la moitié de l'iode, au bout de $16$ jours le quart, au bout de $24$ jours le huitième : la décroissance exponentielle divise par deux à intervalles réguliers.

La charge d'un condensateur

Second modèle, au cœur des sciences industrielles : un circuit série constitué d'un générateur de tension constante $E$ , d'une résistance $R$ et d'un condensateur de capacité $C_{0}$ . La tension $u (t)$ aux bornes du condensateur obéit, d'après la loi des mailles, à l'équation différentielle :

R C_{0} u^{'} + u = E

Telle quelle, elle ne ressemble pas au cours ; mais isolons $u^{'}$ en divisant par $R C_{0}$ :

u^{'} = - \frac{1}{R C _{0}} u + \frac{E}{R C _{0}}

C'est une équation du type $y^{'} = a y + b$ , avec $a = - \frac{1}{R C _{0}}$ et $b = \frac{E}{R C _{0}}$ . La solution constante vaut $- \frac{b}{a} = \frac{E / ( R C _{0} )}{1/ ( R C _{0} )} = E$ : l'équilibre du circuit est la tension du générateur. Les solutions sont donc les fonctions $u (t) = C e^{- t / (R C_{0})} + E$ . Si le condensateur est initialement déchargé, $u (0) = 0$ , alors $C + E = 0$ , donc $C = - E$ , et :

u (t) = E (1 - e^{- t / (R C_{0})})

Comme $a < 0$ , la remarque sur le régime permanent s'applique pleinement : $u (t)$ croît de $0$ vers son asymptote horizontale $u = E$ , sans jamais l'atteindre exactement. C'est le régime transitoire de la charge, puis le régime permanent où le condensateur, chargé, se comporte comme un interrupteur ouvert. Le produit $τ = R C_{0}$ , homogène à un temps, est la constante de temps du circuit : c'est lui qui fixe la vitesse de la charge, exactement comme $λ$ fixait la vitesse de la décroissance radioactive.

Exemple

Au bout de combien de temps le condensateur est-il chargé à $95 %$ ? Cherchons l'instant $t$ où $u (t) = 0, 95 E$ . L'équation s'écrit :

E (1 - e^{- t / τ}) = 0, 95 E

En divisant par $E$ puis en isolant l'exponentielle : $e^{- t / τ} = 1 - 0, 95 = 0, 05$ . Le logarithme fait le reste :

- \frac{t}{τ} = ln (0, 05) donc t = - τ ln (0, 05) = τ ln (20) \approx 3 τ

puisque $ln (20) \approx 2, 996$ . C'est la règle bien connue des électroniciens : au bout de trois constantes de temps, le régime permanent est atteint à $95 %$ , et on considère la charge comme terminée en pratique. Pour $R = 10 k Ω$ et $C_{0} = 100 μ F$ , la constante de temps vaut $τ = 1 0^{4} \times 1 0^{- 4} = 1$ s : la charge dure environ $3$ secondes.

Le refroidissement de Newton

Troisième modèle : un corps chaud, de température $θ (t)$ , placé dans un environnement de température constante $θ_{amb}$ . La loi du refroidissement de Newton affirme que la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart de température avec l'ambiance :

θ^{'} = - k (θ - θ_{amb})

où $k$ est une constante positive qui dépend du corps et des échanges thermiques. Le signe moins est cohérent : si le corps est plus chaud que la pièce ( $θ > θ_{amb}$ ), la dérivée est négative et la température baisse ; s'il est plus froid, elle monte. Développons pour reconnaître la forme du cours :

θ^{'} = - k θ + k θ_{amb}

C'est encore $y^{'} = a y + b$ , avec $a = - k$ et $b = k θ_{amb}$ , et la solution constante vaut $- \frac{b}{a} = θ_{amb}$ : l'équilibre est la température ambiante, comme le bon sens l'exige. Les solutions s'écrivent $θ (t) = C e^{- k t} + θ_{amb}$ , et la condition initiale $θ (0) = θ_{0}$ donne $C = θ_{0} - θ_{amb}$ , soit finalement :

θ (t) = (θ_{0} - θ_{amb}) e^{- k t} + θ_{amb}

Lisez cette formule avec les yeux du physicien : la température, c'est l'ambiance plus un écart initial qui s'éteint exponentiellement. Le café à $80$ degrés dans une pièce à $20$ degrés suit la loi $θ (t) = 60 e^{- k t} + 20$ : l'écart de $60$ degrés fond exponentiellement, et la tasse rejoint son régime permanent à $20$ degrés.

Les trois modèles racontent, au fond, la même histoire mathématique, et c'est cela qu'il faut retenir : derrière des contextes très différents, le travail du mathématicien est identique.

Méthode

Traduire et résoudre un problème physique. Face à une grandeur régie par une équation différentielle :

mettre l'équation sous la forme du cours $y^{'} = a y + b$ (isoler la dérivée, développer si besoin) et identifier les valeurs de $a$ et de $b$ avec leurs signes ;
écrire les solutions générales $C e^{a x} - \frac{b}{a}$ — la constante $- \frac{b}{a}$ est le régime permanent, dont la valeur doit être physiquement plausible ;
exploiter la condition initiale (l'état du système à l'instant de départ) pour déterminer $C$ et écrire la solution du problème ;
interpréter : sens de variation, comportement en temps long, et résolution d'équations du type $f (t) = c$ à l'aide du logarithme (demi-vie, temps de charge…).

Ce chapitre clôt un cycle entamé au premier jour de l'année. L'intégration nous avait appris à remonter d'une dérivée à une fonction ; l'exponentielle nous avait donné la fonction égale à sa propre dérivée ; le logarithme, l'outil pour inverser l'exponentielle. Les équations différentielles assemblent ces trois pièces : elles posent le problème (retrouver une grandeur à partir de la loi de sa variation), l'exponentielle le résout, le logarithme exploite la solution. Vous disposez désormais du langage dans lequel la physique écrit ses lois d'évolution — et les exercices vont vous faire pratiquer chacun de ses registres : vérifier une solution, résoudre $y^{'} = a y + b$ , ajuster une condition initiale, dérouler une méthode d'Euler, et modéliser des situations réelles.

Le cours en PDF(PDF, 124 Ko)

Les exercices

14 exercices, difficulté croissante de ★ (application directe) à ★★★★ (défi). Les corrigés détaillés sont dans le PDF — cherchez d'abord, le corrigé ensuite : c'est là que ça progresse.

Exercice 1 ★★★★ — Vérifier qu'une fonction est solution

Équations différentielles : vocabulaire et vérification d'une solution

Les quatre questions sont indépendantes. Dans chaque cas, on vérifiera l'égalité demandée en rédigeant le calcul.

1. Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f (x) = 5 e^{3 x}$ . Vérifier que $f$ est solution de l'équation différentielle $y^{'} = 3 y$ .

2. Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f (x) = 2 e^{- x} + 4$ . Vérifier que $f$ est solution de l'équation différentielle $y^{'} = - y + 4$ .

3. Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f (x) = cos (2 x)$ . Calculer $f^{'} (x)$ puis $f^{''} (x)$ , et vérifier que $f$ est solution de l'équation différentielle $y^{''} + 4 y = 0$ .

4. Soit $f$ la fonction définie sur $] 0; + \infty [$ par $f (x) = \frac{1}{x}$ . Vérifier que $f$ est solution sur $] 0; + \infty [$ de l'équation différentielle $y^{'} + y^{2} = 0$ .

Exercice 2 ★★★★ — Reconnaître et reformuler une équation différentielle

Équations différentielles : vocabulaire et vérification d'une solution

1. Mettre chacune des équations différentielles suivantes sous la forme $y^{'} = a y$ ou $y^{'} = a y + b$ , en précisant la valeur de $a$ et, le cas échéant, celle de $b$ .

a. $y^{'} = 5 y$

b. $2 y^{'} + 6 y = 10$

c. $\frac{d N}{d t} = - 0, 3 N$

2. La fonction nulle (la fonction qui vaut $0$ pour tout $x$ ) est-elle solution de l'équation $y^{'} = a y$ ? Est-elle solution de l'équation $y^{'} = a y + b$ lorsque $b \neq = 0$ ? Justifier chaque réponse.

Exercice 3 ★★★★ — Résoudre y' = ay

Résolution de y' = ay

Résoudre chacune des équations différentielles suivantes. On donnera à chaque fois l'ensemble des solutions. Certaines équations demandent d'abord d'être mises sous la forme $y^{'} = a y$ .

a. $y^{'} = 2 y$

b. $y^{'} = - y$

c. $y^{'} = 0, 5 y$

d. $3 y^{'} = 12 y$

e. $y^{'} + 5 y = 0$

f. $\frac{d y}{d x} = - 0, 2 y$

Exercice 4 ★★★★ — Courbes solutions : lecture graphique

Résolution de y' = aySolution vérifiant une condition initiale

La figure ci-dessous représente trois courbes $C_{1}$ , $C_{2}$ et $C_{3}$ . Chacune est la courbe représentative d'une solution de l'équation différentielle $y^{'} = 0, 5 y$ .

Trois courbes solutions de l'équation y' = 0,5y

1. Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle $y^{'} = 0, 5 y$ .

2. Lire graphiquement la valeur en $0$ de la fonction représentée par chaque courbe, puis en déduire la valeur de la constante $C$ associée à $C_{1}$ , à $C_{2}$ et à $C_{3}$ .

3. Parmi ces trois courbes, laquelle représente la solution de l'équation vérifiant la condition initiale $y (0) = - 1$ ?

4. Que peut-on dire de la solution correspondant à $C = 0$ ? À quoi ressemblerait sa courbe ?

Exercice 5 ★★★★ — Résoudre y' = ay + b

Résolution de y' = ay + b

Résoudre chacune des équations différentielles suivantes. On donnera à chaque fois l'ensemble des solutions. Certaines équations demandent d'abord d'être mises sous la forme $y^{'} = a y + b$ .

a. $y^{'} = 2 y + 6$

b. $y^{'} = - 3 y + 9$

c. $y^{'} = 0, 5 y - 2$

d. $2 y^{'} = - y + 5$

e. $y^{'} + 4 y = 8$

f. $\frac{d y}{d t} = - 0, 1 y + 3$

Exercice 6 ★★★★ — La solution particulière constante, pas à pas

Résolution de y' = ay + b

On considère l'équation différentielle

y^{'} = - 2 y + 8

L'objectif de cet exercice est de retrouver, pas à pas, la formule donnant toutes ses solutions.

1. On cherche une solution constante $y_{0}$ : on pose $y_{0} (x) = c$ pour tout réel $x$ , où $c$ est un réel à déterminer. Que vaut la dérivée d'une fonction constante ? En déduire la valeur de $c$ .

2. Soit $f$ une fonction dérivable sur $R$ et $g$ la fonction définie par $g = f - y_{0}$ , c'est-à-dire $g (x) = f (x) - 4$ .

a. Exprimer $g^{'} (x)$ en fonction de $f^{'} (x)$ , puis $- 2 g (x)$ en fonction de $f (x)$ .

b. Montrer que $f$ est solution de $y^{'} = - 2 y + 8$ si et seulement si $g$ est solution de $y^{'} = - 2 y$ .

3. Résoudre $y^{'} = - 2 y$ , puis en déduire toutes les solutions de $y^{'} = - 2 y + 8$ .

4. Vérifier le résultat : pour $f (x) = C e^{- 2 x} + 4$ , calculer $f^{'} (x)$ et $- 2 f (x) + 8$ , et conclure.

Exercice 7 ★★★★ — Condition initiale sur y' = ay

Solution vérifiant une condition initialeRésolution de y' = ay

Dans chaque cas, déterminer la solution de l'équation différentielle vérifiant la condition donnée. On donnera l'expression de la fonction obtenue.

1. Déterminer la solution $f$ de l'équation $y^{'} = 3 y$ telle que $y (0) = 5$ .

2. Déterminer la solution $f$ de l'équation $y^{'} = - 2 y$ telle que $y (1) = 6$ . On exprimera $f (x)$ sous la forme la plus simple possible.

3. Déterminer la solution $f$ de l'équation $5 y^{'} = y$ telle que $y (0) = - 2$ .

Exercice 8 ★★★★ — Condition initiale sur y' = ay + b

Solution vérifiant une condition initialeRésolution de y' = ay + b

Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $y^{'} = - 2 y + 10$ vérifiant la condition initiale $f (0) = 1$ .
Déterminer la solution $g$ de l'équation différentielle $y^{'} = 0, 5 y - 3$ vérifiant la condition initiale $g (0) = 8$ .
Calculer la limite de $f (x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ , puis interpréter ce résultat.

Exercice 9 ★★★★ — Trois courbes et une asymptote

Résolution de y' = ay + bSolution vérifiant une condition initiale

On considère l'équation différentielle $y^{'} = - y + 2$ .

La figure ci-dessous représente trois courbes $C_{1}$ , $C_{2}$ et $C_{3}$ , qui sont les courbes représentatives de trois solutions de cette équation, ainsi que la droite d'équation $y = 2$ tracée en pointillés.

Trois courbes solutions de l'équation y' = -y + 2 et la droite y = 2

Résoudre l'équation différentielle $y^{'} = - y + 2$ sur $R$ .
Les trois courbes correspondent aux valeurs $C = 3$ , $C = 1$ et $C = - 1, 5$ de la constante. En lisant les ordonnées à l'origine sur la figure, associer chaque courbe à sa valeur de $C$ .
Expliquer pourquoi les trois courbes se rapprochent de la droite d'équation $y = 2$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ .
Existe-t-il une solution de l'équation dont la courbe représentative est exactement la droite d'équation $y = 2$ ? Justifier.

Exercice 10 ★★★★ — La méthode d'Euler à la main

Méthode d'Euler

On veut approcher la solution de l'équation différentielle $y^{'} = y$ vérifiant $y (0) = 1$ sur l'intervalle $[0; 2]$ , à l'aide de la méthode d'Euler avec un pas $h = 0, 5$ .

On note $x_{k} = 0, 5 k$ et $y_{k}$ la valeur approchée de $y (x_{k})$ donnée par la méthode.

En utilisant la relation d'Euler $y_{k + 1} = y_{k} + h \times y^{'} (x_{k})$ et l'équation $y^{'} = y$ , justifier que $y_{k + 1} = 1, 5 y_{k}$ .
Compléter le tableau de valeurs suivant :

$x_{k}$	$0$	$0, 5$	$1$	$1, 5$	$2$
$y_{k}$	$1$

La solution exacte est $y = e^{x}$ , donc $y (2) = e^{2} \approx 7, 389$ . Comparer $y_{4}$ à cette valeur et commenter l'écart.
Sans faire de calcul, dire si un pas $h = 0, 25$ donnerait une meilleure ou une moins bonne approximation de $e^{2}$ . Pourquoi ?

Exercice 11 ★★★★ — La méthode d'Euler en Python

Méthode d'Euler

On considère l'équation différentielle $y^{'} = - 0, 5 y + 3$ avec la condition initiale $y (0) = 1$ . On veut approcher $y (4)$ par la méthode d'Euler avec un pas $h = 0, 1$ sur l'intervalle $[0; 4]$ , à l'aide du script Python incomplet suivant :

a = -0.5
b = 3
h = 0.1
y = 1
for k in range(40):
    y = y + h * (...)      # y' calcule au point courant
print(y)

Compléter la ligne marquée ... pour que le script applique la méthode d'Euler à cette équation.
Que représente la valeur affichée par le script ?
Résoudre exactement l'équation différentielle avec la condition initiale $y (0) = 1$ , puis calculer la valeur exacte de $f (4)$ et en donner une valeur approchée à $1 0^{- 3}$ près.
L'exécution du script affiche environ $5, 357$ . Comparer cette valeur à celle de la question 3 et commenter.

Exercice 12 ★★★★ — Décroissance radioactive du césium 137

Modèles physiques : radioactivité, circuits RC, refroidissementRésolution de y' = aySolution vérifiant une condition initiale

Le césium 137 est un isotope radioactif produit notamment dans les réacteurs nucléaires. Le nombre $N (t)$ de noyaux radioactifs présents dans un échantillon à l'instant $t$ (en années) vérifie l'équation différentielle

\frac{d N}{d t} = - λ N

où $λ = 0, 023$ an $^{- 1}$ est la constante radioactive du césium 137. À l'instant $t = 0$ , l'échantillon contient $N_{0} = 1 0^{15}$ noyaux.

Donner la forme générale des solutions de cette équation différentielle.
Exprimer $N (t)$ en tenant compte de la condition initiale $N (0) = N_{0}$ .
La demi-vie $t_{1/2}$ est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initiaux se sont désintégrés. Calculer $t_{1/2}$ pour le césium 137, arrondie au dixième d'année.
Au bout de combien d'années reste-t-il moins de $10 %$ des noyaux initiaux ? Arrondir à l'année.

Exercice 13 ★★★★ — Charge d'un condensateur

Modèles physiques : radioactivité, circuits RC, refroidissementRésolution de y' = ay + bSolution vérifiant une condition initiale

Un condensateur de capacité $C = 0, 5$ F, monté en série avec une résistance $R = 4$ $Ω$ , est branché à l'instant $t = 0$ sur un générateur de tension continue $E = 6$ V. Le condensateur est initialement déchargé.

La tension $u (t)$ (en volts) aux bornes du condensateur vérifie l'équation différentielle

R C u^{'} + u = E avec u (0) = 0.

La courbe de $u (t)$ est donnée ci-dessous.

Courbe de la tension u(t) aux bornes du condensateur, asymptote y = 6

Vérifier que l'équation différentielle peut se réécrire sous la forme $u^{'} = - 0, 5 u + 3$ .
Résoudre cette équation et déterminer l'expression de $u (t)$ en tenant compte de la condition initiale $u (0) = 0$ .
Calculer $u (2)$ (valeur exacte puis arrondie au centième), et retrouver ce résultat sur la figure.
Déterminer la limite de $u (t)$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ et interpréter physiquement ce résultat.
Au bout de quelle durée a-t-on $u (t) = 5, 9$ V ? Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au centième de seconde.

Exercice 14 ★★★★ — Refroidissement d'une pièce métallique (synthèse)

Modèles physiques : radioactivité, circuits RC, refroidissementRésolution de y' = ay + bSolution vérifiant une condition initiale

Dans un atelier dont la température ambiante est constante et égale à $20$ °C, une pièce métallique sort d'un four à la température de $180$ °C. On note $θ (t)$ sa température (en °C) à l'instant $t$ (en minutes). D'après la loi de refroidissement de Newton, $θ$ vérifie l'équation différentielle

θ^{'} = - 0, 05 (θ - 20) .

Montrer que cette équation peut s'écrire sous la forme $y^{'} = a y + b$ , en précisant les valeurs de $a$ et de $b$ .
Résoudre l'équation et exprimer $θ (t)$ en tenant compte de la condition initiale $θ (0) = 180$ .
Calculer la température de la pièce au bout de $10$ minutes (arrondir au degré).
La pièce peut être manipulée sans gant dès que sa température est inférieure à $40$ °C. Au bout de combien de temps est-ce le cas ? Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à la minute près.
Question de synthèse : montrer que la vitesse de refroidissement $θ^{'} (t)$ est proportionnelle à l'écart $θ (t) - 20$ entre la température de la pièce et celle de l'atelier, puis déterminer l'instant où cette vitesse vaut la moitié de sa valeur initiale.

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Le devoir surveillé

Sujet type DS — 60 min, barème sur 20 points. Faites-le en conditions réelles avant de regarder le corrigé (PDF).

Exercice 1 (5 points) — Vérifications et résolutions directes

1. ( $2$ pts, soit $1$ pt par vérification)

a. Vérifier que la fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = 3 e^{- 2 x} + 1$ est solution de l'équation différentielle $y^{'} = - 2 y + 2$ .

b. Vérifier que la fonction $g$ définie sur $R$ par $g (x) = sin (3 x)$ est solution de l'équation différentielle $y^{''} + 9 y = 0$ .

2. ( $3$ pts, soit $1$ pt par résolution) Résoudre sur $R$ chacune des équations différentielles suivantes. On donnera l'ensemble des solutions :

a. $y^{'} = 4 y$

b. $y^{'} + 2 y = 0$

c. $2 y^{'} = - y$

Exercice 2 (6 points) — Équation avec second membre et condition initiale

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y^{'} = - 0, 25 y + 2$ , où $y$ désigne une fonction dérivable sur $R$ .

1. ( $1$ pt) Déterminer la fonction constante solution de $(E)$ .

2. ( $2$ pts) En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$ .

3. ( $2$ pts) Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant la condition initiale $f (0) = 2$ .

4. ( $1$ pt) Déterminer la limite de $f (x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ , et interpréter graphiquement ce résultat pour la courbe représentative de $f$ .

Exercice 3 (4 points) — Méthode d'Euler

On cherche à approcher la solution de l'équation différentielle $y^{'} = y$ vérifiant $y (0) = 1$ sur l'intervalle $[0; 0, 6]$ , par la méthode d'Euler avec le pas $h = 0, 2$ . On note $x_{k} = 0, 2 k$ et $y_{k}$ la valeur approchée de $y (x_{k})$ construite par la méthode.

1. ( $1$ pt) Justifier que la méthode d'Euler conduit ici à la relation $y_{k + 1} = 1, 2 y_{k}$ .

2. ( $2$ pts) Compléter le tableau des valeurs de $y_{k}$ (valeurs exactes) :

$x_{k}$	$0$	$0, 2$	$0, 4$	$0, 6$
$y_{k}$	$1$

3. ( $1$ pt) La solution exacte est $y (x) = e^{x}$ , et $e^{0, 6} \approx 1, 822$ . Comparer cette valeur à $y_{3}$ et proposer un moyen d'améliorer l'approximation.

Exercice 4 (5 points) — Refroidissement d'une boisson

Une tasse de café à $80$ °C est posée dans une salle dont la température ambiante est constante, égale à $20$ °C. On note $θ (t)$ la température du café en degrés Celsius à l'instant $t$ , exprimé en minutes. Selon la loi de refroidissement de Newton, la fonction $θ$ vérifie l'équation différentielle :

θ^{'} = - 0, 1 (θ - 20)

1. ( $1$ pt) Montrer que cette équation peut s'écrire sous la forme $y^{'} = a y + b$ , en précisant les valeurs de $a$ et $b$ .

2. ( $2$ pts) Résoudre cette équation différentielle et déterminer l'expression de $θ (t)$ sachant que $θ (0) = 80$ .

3. ( $1$ pt) Calculer la température du café au bout de $5$ minutes. On donnera la valeur exacte, puis un arrondi au dixième de degré.

4. ( $1$ pt) On considère que le café est buvable lorsque sa température atteint $45$ °C. Déterminer par le calcul au bout de combien de temps le café devient buvable. On donnera la valeur exacte, puis un arrondi au dixième de minute.

Le sujet du DS(PDF, 35 Ko)Le corrigé du DS(PDF, 48 Ko)

Bloqué sur « Équations différentielles » ?

On peut le travailler ensemble dès cette semaine. La première heure est offerte — on fait le point honnêtement, et vous repartez au minimum avec une méthode.

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Ce qu'il faut savoir faire

Le cours

Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?

L'équation y′=ay

L'équation y′=ay+b

Condition initiale

La méthode d'Euler

Équations différentielles en physique et en chimie

La décroissance radioactive

La charge d'un condensateur

Le refroidissement de Newton

Les exercices

Le devoir surveillé

Exercice 1 (5 points) — Vérifications et résolutions directes

Exercice 2 (6 points) — Équation avec second membre et condition initiale

Exercice 3 (4 points) — Méthode d'Euler

Exercice 4 (5 points) — Refroidissement d'une boisson

Bloqué sur « Équations différentielles » ?

L'équation $y^{'} = a y$

L'équation $y^{'} = a y + b$