Fonction logarithme népérien

1. Simplifier chacun des nombres suivants sans calculatrice, en utilisant les relations $e^{\ln x}=x$ (pour $x>0$) et $\ln (e^x)=x$ (pour tout réel $x$) :

2. Expliquer pourquoi les écritures $\ln (-3)$ et $\ln 0$ n'ont pas de sens.

3. Donner les valeurs de $\ln 1$ et de $\ln e$, en justifiant chaque réponse à l'aide de la définition du logarithme népérien.

Résoudre chacune des équations suivantes. Les trois premières se résolvent dans $\mathbb{R}$ ; les trois dernières se résolvent dans $\left]0;+\infty \right[$ (on rappelle que $\ln x$ n'est défini que pour $x>0$).

Donner la solution exacte, puis une valeur approchée au centième près lorsque la solution n'est pas un nombre entier.

Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de $\ln 2$ et de $\ln 3$, à l'aide des propriétés algébriques du logarithme népérien :

1. Simplifier au maximum chacune des expressions suivantes :

2. Soit $x$ un réel strictement positif. Simplifier les expressions $E=\ln (x^2)-\ln x$ et $F=\ln (9x)-\ln (3x)$.

3. Vrai ou faux ? « Pour tous réels $a>0$ et $b>0$, on a $\ln (a+b)=\ln a+\ln b$. » Justifier par un contre-exemple si l'affirmation est fausse.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes. Donner la solution exacte, puis une valeur approchée au centième près lorsque la solution n'est pas un nombre entier.

1. $e^{2x}=5$

2. $e^{-0,5t}=0,1$

3. $3e^{0,2x}=12$

4. $e^{x+1}=e^{2x-3}$

5. $5-2e^{0,4t}=1$

Résoudre chacune des inéquations suivantes. Les inéquations en $\ln x$ se résolvent dans $\left]0;+\infty \right[$, les autres dans $\mathbb{R}$. Donner chaque ensemble de solutions sous forme d'intervalle, avec les bornes exactes, puis une valeur approchée des bornes au centième près lorsqu'elles ne sont pas entières.

1. $e^{0,3t}>4$

2. $e^{-2x}⩽0,05$

3. $\ln x⩾2$

4. $\ln x<-1$

5. $2e^{-0,1t}-1<0$

Dans tout l'exercice, on donne $\ln 2\approx 0,69$ et $\ln 10\approx 2,30$. Les questions 1. à 3. se traitent sans calculatrice.

1. Comparer $\ln 5$ et $\ln 7$ en justifiant.

2. Comparer $2\ln 3$ et $3\ln 2$. On pourra commencer par écrire chacun de ces deux nombres sous la forme du logarithme d'un entier.

3. Donner, en justifiant, le signe de $\ln 0,8$ et celui de $\ln 1,2$.

4. En remarquant que $50=\frac{100}{2}$, exprimer $\ln 50$ en fonction de $\ln 10$ et de $\ln 2$, puis en donner une valeur approchée au centième. En déduire un encadrement de $\ln 50$ par deux entiers consécutifs.

5. Déterminer l'entier $n$ tel que $n⩽\ln 1000<n+1$.

La courbe ci-dessous représente la fonction logarithme népérien sur $\left]0;8,5\right]$. Les points $A(1;0)$, $B$ et $C$ appartiennent à la courbe ; des pointillés repèrent les coordonnées de $B$ et $C$.

1. Lire graphiquement l'image de $1$ par la fonction ln.

2. Résoudre graphiquement les équations $\ln x=1$ et $\ln x=2$. On donnera les valeurs approchées lues sur la figure, puis les valeurs exactes.

3. Résoudre graphiquement l'inéquation $\ln x⩽1$.

4. Décrire le sens de variation de la fonction ln sur $\left]0;+\infty \right[$. Que suggère la courbe pour $\ln x$ lorsque $x$ se rapproche de $0$ ? Lorsque $x$ devient grand ?

5. La courbe coupe-t-elle l'axe des ordonnées ? Justifier.

On note $f$ la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f(x)=\ln x$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative. Sur la figure ci-dessous, on a tracé $\mathcal{C}$, la tangente $T_1$ à $\mathcal{C}$ au point $A(1;0)$ et la tangente $T_2$ à $\mathcal{C}$ au point $B(e;1)$.

On rappelle que la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$.

1. Rappeler l'expression de $f^{\prime }(x)$, puis calculer $f^{\prime }(1)$ et $f^{\prime }(e)$.

2. Déterminer l'équation réduite de $T_1$.

3. Déterminer l'équation réduite de $T_2$ et vérifier que cette droite passe par l'origine du repère.

4. Contrôler la cohérence des résultats des questions 2. et 3. avec la figure.

5. Sur la figure, comment la courbe $\mathcal{C}$ est-elle placée par rapport à la droite $T_1$ ? En déduire une conjecture sous la forme d'une inégalité comparant $\ln x$ et $x-1$ pour tout $x>0$.

On rappelle que le logarithme décimal est défini pour tout $x>0$ par $\log x=\frac{\ln x}{\ln 10}$, et qu'en particulier $\log \left(10^n\right)=n$ pour tout entier relatif $n$. En chimie, le pH d'une solution aqueuse est donné par :

où $\left[{\text{H}}_3{\text{O}}^{+}\right]$ est la concentration en ions oxonium, en mol/L.

1. Calculer sans calculatrice :

2. Exprimer $\log 5$ en fonction de $\ln 5$ et $\ln 10$, puis en donner une valeur approchée au centième.

3. Calculer le pH d'une solution telle que $\left[{\text{H}}_3{\text{O}}^{+}\right]=2,0\times 10^{-5}$ mol/L. On donnera la valeur arrondie au dixième.

4. Une solution a un pH égal à $3,4$. Déterminer sa concentration en ions oxonium, arrondie sous la forme $a\times 10^{-4}$ mol/L avec $a$ arrondi au dixième.

5. On divise par $10$ la concentration en ions oxonium d'une solution. Montrer que son pH augmente exactement d'une unité.

Dans un circuit électrique, l'amplitude d'un signal amorti est modélisée en fonction du temps $t$, en millisecondes, par :

où $u(t)$ est exprimée en volts (V).

1. Donner l'amplitude initiale du signal. Calculer $u^{\prime }(t)$ et en déduire le sens de variation de $u$ sur $\left[0;+\infty \right[$.

2. Déterminer l'instant $t$ auquel l'amplitude vaut exactement $1$ V. On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée au dixième de milliseconde.

3. On considère que le signal est « éteint » lorsque son amplitude devient inférieure à $1\%$ de l'amplitude initiale. Traduire cette condition par une inéquation d'inconnue $t$, puis la résoudre. On donnera la valeur exacte du seuil, puis une valeur approchée au dixième de milliseconde.

4. Soit $\tau >0$ la durée nécessaire pour que l'amplitude soit divisée par $2$ à partir d'un instant $t$ donné, c'est-à-dire telle que $u(t+\tau )=\frac{u(t)}{2}$. Montrer que $\tau$ ne dépend pas de l'instant $t$ choisi et donner sa valeur exacte, puis une valeur approchée au dixième de milliseconde.

On considère la fonction $f$ définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par :

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et montrer que pour tout $x>0$, $f^{\prime }(x)=\frac{x-1}{x}$.

2. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\left]0;+\infty \right[$.

3. Déterminer la limite de $f$ en $0^{+}$, puis dresser le tableau de variations de $f$ sur $\left]0;+\infty \right[$.

4. En déduire que $f$ admet un minimum sur $\left]0;+\infty \right[$, en précisant sa valeur et la valeur de $x$ en laquelle il est atteint.

5. En déduire que pour tout $x>0$, $\ln x⩽x-1$, puis que $\ln x<x$.

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left[1;5\right]$ par :

1. Calculer $g^{\prime }(x)$ et montrer que, pour tout $x\in \left[1;5\right]$, $g^{\prime }(x)=\frac{2(x^2-4)}{x}$.

2. Étudier le signe de $g^{\prime }(x)$ sur $\left[1;5\right]$.

3. Dresser le tableau de variations complet de $g$ sur $\left[1;5\right]$. On donnera les valeurs exactes, ainsi que des valeurs approchées au centième.

4. Justifier que $g$ admet un minimum sur $\left[1;5\right]$ et préciser sa valeur.

5. Expliquer pourquoi l'équation $g(x)=0$ admet exactement deux solutions $x_1$ et $x_2$ sur $\left[1;5\right]$, puis en donner des valeurs approchées au dixième à la calculatrice.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, la justifier ; si elle est fausse, donner un contre-exemple ou la corriger.

a. « Pour tous réels $a>0$ et $b>0$, $\ln (ab)=\ln a\times \ln b$. »

b. « Pour tout $x>1$, $\ln x>0$. »

c. « L'équation $\ln x=-10$ n'a pas de solution. »

d. « $\ln \left(2^{10}\right)=10\ln 2$. »

e. « Pour tout $x>0$, $\ln \left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{\ln x}$. »

f. « La courbe de la fonction $\ln$ admet une tangente de coefficient directeur $\frac{1}{2}$ au point d'abscisse $2$. »

Le nombre de noyaux radioactifs présents dans un échantillon de césium 137 est modélisé par :

où $t$ est le temps écoulé en années, $N_0$ le nombre initial de noyaux et $\lambda =0,023$ an${}^{-1}$ la constante radioactive du césium 137.

1. Justifier que la fonction $N$ est décroissante sur $\left[0;+\infty \right[$.

2. La demi-vie $T$ de l'élément est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initiaux s'est désintégrée. Montrer que $T=\frac{\ln 2}{\lambda }$, puis calculer $T$ au dixième d'année près.

3. Vérifier par le calcul que $N(2T)=\frac{N_0}{4}$. Interpréter ce résultat.

4. Déterminer la durée au bout de laquelle $90\%$ des noyaux initiaux se sont désintégrés. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée au dixième d'année près.

5. Montrer que cette durée vaut environ $3,3$ demi-vies.

Le niveau sonore d'un son d'intensité $I$ (en W/m${}^2$) est donné, en décibels (dB), par :

où $I_0=10^{-12}$ W/m${}^2$ est le seuil d'audibilité. On rappelle que $\log x=\frac{\ln x}{\ln 10}$, et en particulier que $\log \left(10^n\right)=n$ pour tout entier $n$.

1. Calculer le niveau sonore d'une conversation d'intensité $I=10^{-5}$ W/m${}^2$.

2. Un concert affiche un niveau sonore de $100$ dB. Retrouver l'intensité $I$ correspondante.

3. Montrer que si l'intensité d'un son double, alors son niveau sonore augmente d'environ $3$ dB.

4. Montrer que si l'intensité d'un son est multipliée par $10$, alors son niveau sonore augmente exactement de $10$ dB.

5. Un atelier contient $n$ machines identiques, émettant chacune, lorsqu'elle fonctionne seule, un niveau sonore de $65$ dB. Lorsque plusieurs machines fonctionnent ensemble, leurs intensités s'ajoutent.

a. Montrer que le niveau sonore global de l'atelier est $L_n=65+10\log n$.

b. Déterminer le plus petit nombre de machines à partir duquel le niveau sonore de l'atelier dépasse $80$ dB.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[1;10\right]$ par :

1. Calculer $f(1)$ et justifier que $f(x)⩾0$ pour tout $x\in \left[1;10\right]$.

2. Montrer que, pour tout $x\in \left[1;10\right]$, $f^{\prime }(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$.

3. Résoudre l'inéquation $1-\ln x>0$ sur $\left[1;10\right]$.

4. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\left[1;10\right]$. On donnera les valeurs exactes, ainsi que des valeurs approchées au centième.

5. En déduire le maximum de $f$ sur $\left[1;10\right]$, puis montrer que $\ln x⩽\frac{x}{e}$ pour tout $x\in \left[1;10\right]$.

6. L'équation $f(x)=0,3$ admet-elle des solutions sur $\left[1;10\right]$ ? Combien ? En donner des valeurs approchées au dixième à la calculatrice.

1. ($2$ pts) Simplifier chacune des expressions suivantes sans calculatrice. Le résultat sera un nombre entier, une fraction ou un multiple de $\ln 2$, $\ln 3$ ou $\ln 10$ :

2. ($2$ pts, soit $0,5$ pt par expression) Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de $\ln 2$ et $\ln 5$ :

3. ($1$ pt) Un élève affirme : « $\ln (e+e)=1+\ln 2$ ». A-t-il raison ? Justifier soigneusement.

1. ($3$ pts, soit $1$ pt par résolution) Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations et inéquations suivantes. On donnera les solutions en valeur exacte, puis arrondies au centième. Pour l'équation en $\ln$, on précisera l'ensemble de validité :

a. $e^{0,5t}=8$

b. $\ln x=4$

c. $2e^{-0,2t}⩾0,4$

2. ($2$ pts) Un condensateur se décharge dans un circuit. La tension à ses bornes est modélisée par $u(t)=6e^{-t/2}$, où $t$ désigne le temps écoulé en secondes ($t⩾0$) et $u(t)$ la tension en volts. Déterminer par le calcul l'instant à partir duquel la tension devient inférieure à $1$ % de sa valeur initiale. On donnera la valeur exacte, puis un arrondi au dixième de seconde.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[1;4\right]$ par $f(x)=x^2-6\ln x$.

1. ($1$ pt) Calculer $f(1)$ (valeur exacte) et $f(e)$ (valeur exacte, puis arrondi au centième).

2. ($1,5$ pt) Montrer que pour tout $x$ de $\left[1;4\right]$, $f^{\prime }(x)=\frac{2\left(x^2-3\right)}{x}$.

3. ($1,5$ pt) Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\left[1;4\right]$.

4. ($1,5$ pt) Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\left[1;4\right]$. On y fera figurer les valeurs exactes aux bornes et à l'extremum.

5. ($0,5$ pt) En déduire le minimum de $f$ sur $\left[1;4\right]$ (valeur exacte, puis arrondi au centième).

Lors d'une réaction chimique d'ordre 1, la concentration d'un réactif est modélisée par $c(t)=50e^{-0,04t}$, où $t$ désigne le temps écoulé en minutes ($t⩾0$) et $c(t)$ la concentration en mmol/L.

1. ($0,5$ pt) Donner la concentration initiale du réactif.

2. ($1,5$ pt) Le temps de demi-réaction $t_{1/2}$ est la durée au bout de laquelle la concentration initiale a été divisée par $2$. Montrer que $t_{1/2}=\frac{\ln 2}{0,04}=25\ln 2$, puis en donner une valeur approchée au dixième de minute.

3. ($1,5$ pt) Déterminer par le calcul l'instant à partir duquel la concentration devient inférieure à $5$ mmol/L. On donnera la valeur exacte, puis un arrondi au dixième de minute.

4. ($0,5$ pt) En combien de temps la concentration passe-t-elle de $10$ mmol/L à $5$ mmol/L ? Justifier sans effectuer de nouvelle résolution d'équation.